ORTHOEDRON: VZORCE, PLOCHA, OBJEM, UHLOPRIEČKA, PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2026

Orthohedron je objemový alebo trojrozmerný geometrický číslo, ktoré sa vyznačuje tým, že má šesť obdĺžnikové plochy, tak, že protiľahlé plochy sú v rovnobežných rovinách a sú rovnaké alebo kongruentní obdĺžniky. Na druhej strane sú plochy priľahlé k danej ploche v rovinách kolmých na pôvodnú plochu.

Ortoped môže byť tiež považovaný za ortogonálny hranol s pravouhlým dnom, v ktorom pravouhlé uhly tvorené rovinami dvoch plôch susediacich so spoločnou hranou merajú 90 °. Dihedrálny uhol medzi dvoma plochami sa meria na priesečníku plôch s kolmou rovinou, ktorá je pre ne spoločná.

Obrázok 1. Orthoedron. Zdroj: F. Zapata s Geogebra.

Podobne ortoped je obdĺžnikový rovnobežník, pretože takto je rovnobežník definovaný ako objemový útvar šiestich plôch, ktoré sú rovnobežné dve po dvoch.

V ktorejkoľvek rovnobežnosti sú plochy rovnobežníky, ale v pravouhlých rovnobežnostenách musia byť plochy obdĺžnikové.

Časti ortopedónu

Časti polyhedronu, podobne ako ortoredron, sú:

-Aristas

-Vertices

-Faces

Uhol medzi dvoma okrajmi čela ortoedrónu sa zhoduje s uhlom prierezu tvoreným jeho ďalšími dvomi stranami susediacimi s každou z hrán, tvoriacim pravý uhol. Nasledujúci obrázok objasňuje každú koncepciu:

Obrázok 2. Časti ortopedónu. Zdroj: F. Zapata s Geogebra.

- Celkom ortoped má 6 tvárí, 12 hrán a 8 vrcholov.

- Uhol medzi akýmikoľvek dvoma okrajmi je pravý uhol.

- Rovný uhol medzi akýmikoľvek dvoma plochami je tiež pravý.

- Na každej ploche sú štyri vrcholy a na každom vrchole sú tri vzájomne kolmé tváre.

Orthoedrónové vzorce

rozloha

Povrch alebo plocha ortopedu je súčtom plôch jeho tvárí.

Ak tri okraje, ktoré sa stretávajú vo vrchole, majú rozmery a, b, a c, ako je znázornené na obrázku 3, potom má predná strana oblasť c⋅b a spodná strana má oblasť c⋅b.

Potom majú obe bočné steny plochu a⋅b. A konečne, podlahové a stropné plochy majú plochu tienenc.

Obrázok 3. Ortoedrón rozmerov a, b, c. Vnútorná diagonála D a vonkajšia diagonála d.

Pridaním oblasti všetkých tvárí získate:

Berúc spoločný faktor do poriadku:

objem

Ak sa ortoedron považuje za hranol, potom sa jeho objem vypočíta takto:

V tomto prípade je podlaha rozmerov ca a považovaná za pravouhlú základňu, takže plocha základne je c⋅a.

Výška je daná dĺžkou b okrajov ortogonálnych k plochám strán a a c.

Vynásobením plochy základne (a⋅c) výškou b sa získa objem V ortoedónu:

Vnútorná uhlopriečka

V ortoedróne sú dva druhy uhlopriečok: vonkajšie uhlopriečky a vnútorné uhlopriečky.

Vonkajšie uhlopriečky sú na pravouhlých plochách, zatiaľ čo vnútorné uhlopriečky sú segmenty, ktoré spájajú dva protiľahlé vrcholy, pričom sa rozumejú opačnými vrcholmi, ktoré nezdieľajú žiadnu hranu.

V ortopede sú štyri vnútorné uhlopriečky, všetky rovnaké. Dĺžka vnútorných uhlopriečok sa dá zistiť použitím pythagorejskej vety pre pravouhlých trojuholníkov.

Dĺžka d vonkajšej uhlopriečky podlahovej strany ortopeda spĺňa pythagorovský vzťah:

d ² = a ² + c ²

Podobne aj vnútorná uhlopriečka opatrenia D napĺňa pythagorský vzťah:

D ² = d ² + b ² .

Kombinácia dvoch predchádzajúcich výrazov, ktoré máme:

D ² = a ² + c ² + b ² .

Konečne je dĺžka ktorejkoľvek z vnútorných uhlopriečok pravouholníka daná týmto vzorcom:

D = √ (a ² + b ² + c ² ).

Príklady

- Príklad 1

Murár stavia nádrž v tvare ortopeda, ktorého vnútorné rozmery sú: 6 mx 4 mv základni a 2 m na výšku. Pýta sa:

a) Určte vnútorný povrch nádrže, ak je úplne hore otvorený.

b) Vypočítajte objem vnútorného priestoru nádrže.

c) Nájdite dĺžku vnútornej diagonály.

d) Aký je objem nádrže v litroch?

Riešenie

Rozmery obdĺžnikovej základne vezmeme a = 4 ma c = 6 ma výšku b = 2 m

Plocha ortopeda s danými rozmermi je daná nasledujúcim vzťahom:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 m⋅2 m + 2 m⋅6 m + 6 m × 4 m)

To znamená:

A = 2⋅ (8 m ² + 12 m ² + 24 m ² ) = 2⋅ (44 m ² ) = 88 m ²

Predchádzajúci výsledok je oblasť uzavretého ortopedu s danými rozmermi, ale keďže je to nádrž úplne odkrytá v hornej časti, aby sa získal povrch vnútorných stien nádrže, musí sa odčítať plocha chýbajúceho veka, ktorá je:

c⋅a = 6 m ⋅ 4 m = 24 m ² .

Nakoniec sa vnútorný povrch nádrže bude: S = 88 m ² - m otvorená 24 ² = 64 m ² .

Riešenie b

Vnútorný objem nádrže je daný objemom ortopedu vnútorných rozmerov nádrže:

V = a⋅b⋅c = 4 m 2 m ⋅ ⋅ 6 m = 48 m ³ .

Riešenie c

Vnútorná uhlopriečka oktaedronu s rozmermi vnútra nádrže má dĺžku D danú:

√ (a ² + b ² + c ² ) = √ ((4 m) ² + (2 m) ² + (6 m) ² )

Vykonávame uvedené operácie:

D = √ (16 m ² + 4 m ² + 36 m ² ) = √ (56 m ² ) = 2√ (14), m = 7,48 m.

Riešenie d

Na výpočet objemu nádrže v litroch je potrebné vedieť, že objem kubického decimetra sa rovná objemu litra. Predtým bol vypočítaný na objem v metroch kubických, ale musí byť prevedený na kubické decimetre a potom na litre:

V = 48 m ³ = 48 (10 dm), ³ = 4800 dm ³ = 4800 L

- Cvičenie 2

Sklenené akvárium má kubický tvar so stranou 25 cm. Stanovte plochu vm ² , objem v litroch a dĺžku vnútornej diagonály v cm.

Obrázok 4. Sklenené akvárium v ​​tvare kocky.

Riešenie

Plocha sa vypočíta pomocou rovnakého ortopedického vzorca, avšak s prihliadnutím na to, že všetky rozmery sú rovnaké:

A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6⋅ ² = 6⋅ (25 cm), ² = 1250 cm ²

Objem kocky je daný:

V = a ³ = (25 cm), ³ = 15,625 cm ³ = 15,625 (0,1 dm) ³ = 15,625 dm ³ = 15,625 L.

Dĺžka D vnútornej uhlopriečky je:

D = √ (3a ² ) = 25√ (3) cm = 43,30 cm.

Referencie

1. Arias J. GeoGebra: Prisma. Obnovené z: youtube.com.
2. Calculation.cc. Cvičenia a riešené problémy oblastí a objemov. Získané z: výpočt.cc.
3. Salvador R. Pyramid + ortopéd s GEOGEBRA (IHM). Obnovené z: youtube.com
4. Weisstein, Eric. "Orthohedron". MathWorld. Wolfram Research.
5. Wikipedia. Orthohedron Obnovené z: es.wikipedia.com