JEDNOROZMERNÉ VLNY: MATEMATICKÉ VYJADRENIE A PRÍKLADY - FYZICKÝ - 2026

Jedno- rozmerové vlny sú tie, ktoré sa šíria len v jednom smere, bez ohľadu na to, či dôjde k vibráciám v rovnakom smere šírenia, alebo nie. Dobrým príkladom je vlna, ktorá prechádza napnutým reťazcom ako je gitara.

V priečnej rovinnej vlne častice vibrujú vo vertikálnom smere (stúpajú a klesajú, pozri červenú šípku na obrázku 1), ale je to jednorozmerné, pretože rušenie sa pohybuje iba v jednom smere, sledujúc žltú šípku.

Obrázok 1: Obrázok predstavuje jednorozmernú vlnu. Všimnite si, že hrebene a údolia tvoria čiary, ktoré sú vzájomne rovnobežné a kolmé na smer šírenia. Zdroj: vlastný.

Jednodimenzionálne vlny sa objavujú pomerne často v každodennom živote. V nasledujúcej časti sú opísané niektoré príklady z nich a tiež vlny, ktoré nie sú jednorozmerné, aby sa jasne stanovili rozdiely.

Príklady jednorozmerných a jednodimenzionálnych vĺn

Jednorozmerné vlny

Tu je niekoľko príkladov jednorozmerných vĺn, ktoré je možné ľahko pozorovať:

- Puls zvuku, ktorý prechádza cez priamu lištu, pretože je to porucha, ktorá sa šíri po celej dĺžke tyče.

- Vlna, ktorá prechádza kanálom vody, aj keď posun hladiny vody nie je rovnobežný s kanálom.

- Vlny, ktoré sa šíria na povrchu alebo trojrozmerným priestorom, môžu byť tiež jednorozmerné, pokiaľ sú ich vlnové čelá rovnobežné a navzájom sa pohybujú iba v jednom smere.

Non-jednorozmerné vlny

Príkladom jednorozmernej vlny sú vlny, ktoré sa vytvárajú na nehybnej vodnej hladine pri páde kameňa. Je to dvojrozmerná vlna s valcovitou čelo vlny.

Obrázok 2. Obrázok predstavuje príklad toho, čo NIE JE jednorozmerná vlna. Všimnite si, že hrebene a doliny tvoria kruhy a smer šírenia je radiálny smerom von, jedná sa teda o kruhovú dvojrozmernú vlnu. Zdroj: Pixabay.

Ďalším príkladom jednorozmernej vlny je zvuková vlna, ktorú vytvára žabka výbuchom v určitej výške. Toto je trojrozmerná vlna s čelnými sférickými vlnami.

Matematické vyjadrenie jednorozmernej vlny

Najobecnejším spôsobom vyjadrenia jednorozmernej vlny, ktorá sa šíri bez útlmu v pozitívnom smere osi xy rýchlosťou v, je matematicky:

V tomto výraze y predstavuje rušenie v polohe x v čase t. Tvar vlny je daný funkciou f. Napríklad vlnová funkcia znázornená na obrázku 1 je: y (x, t) = cos (x - vt) a obraz vlny zodpovedá okamžitému t = 0.

Vlna, ako je táto, opísaná kosínusovou alebo sinusovou funkciou, sa nazýva harmonická vlna. Hoci to nie je jediný priebeh, ktorý existuje, je nanajvýš dôležitý, pretože ktorúkoľvek inú vlnu možno predstavovať ako superpozíciu alebo súčet harmonických vĺn. Je to známa Fourierova veta, ktorá sa tak široko používa na opis signálov všetkého druhu.

Keď sa vlna pohybuje v zápornom smere osi x, jednoducho zmeňte argument v na v, pričom ponechajte:

Obrázok 3 zobrazuje animáciu vlny, ktorá sa pohybuje vľavo: je to forma nazývaná Lorentzianova funkcia a jej matematický výraz je:

V tomto príklade je rýchlosť šírenia v = 1, jedna jednotka priestoru pre každú jednotku času -.

Obrázok 3. Príklad Lorentzianovej vlny, ktorá sa pohybuje vľavo rýchlosťou v = 1. Zdroj: Pripravil F. Zapata s Geogebra.

Jednorozmerná vlnová rovnica

Vlnová rovnica je parciálna derivačná rovnica, ktorej riešením je samozrejme vlna. Stanovuje matematický vzťah medzi priestorovou časťou a časovou časťou a má formu:

Spracovaný príklad

Nasleduje všeobecný výraz y (x, t) pre harmonickú vlnu:

a) Opíšte fyzikálny význam parametrov A, k, ω a θo.

b) Aký význam majú príznaky ± v kosínovom argumente?

c) Overte, či daný výraz je skutočne riešením vlnovej rovnice predchádzajúcej časti a nájdite rýchlosť v šírenia.

Riešenie)

Charakteristiky vlny sa nachádzajú v nasledujúcich parametroch:

Druhá derivácia podľa t: ∂ ² a / ∂t ² = -ω ² . A ⋅ cos (k ⋅ x ± ω ⋅ t + θo)

Tieto výsledky sú nahradené vlnovou rovnicou:

Obaja A a kosínus sú zjednodušené, pretože sa objavujú na oboch stranách rovnosti a argument kosínus je rovnaký, preto sa výraz znižuje na:

Ktorá umožňuje získať rovnicu pre v z hľadiska co a k:

Referencie

1. E-vzdelávací. Rovnica jednorozmerných harmonických vĺn. Získané z: e-ducativa.catedu.es
2. Roh fyziky. Vlnové triedy. Získané z: fisicaparatontos.blogspot.com.
3. Figueroa, D. 2006. Vlny a kvantová fyzika. Séria: Fyzika pre vedu a techniku. Editoval Douglas Figueroa. Univerzita Simona Bolivara. Caracas Venezuela.
4. Fyzikálne laboratórium. Získané z: fisicalab.com.
5. Peirce, A. Prednáška 21: Jednorozmerná vlnová rovnica: D'Alembertovo riešenie. Obnovené z: ubc.ca.
6. Vlnová rovnica. Obnovené z: en.wikipedia.com