SINUSOVÁ VLNA: VLASTNOSTI, ČASTI, VÝPOČET, PRÍKLADY - FYZICKÝ - 2026

Tieto sínusové vlny sú vlnové vzory, ktoré možno opísať matematicky funkcie sínus a kosínus. Presne opisujú prírodné udalosti a časovo premenlivé signály, ako napríklad napätie generované elektrárňami a potom používané v domácnostiach, priemysle a na uliciach.

Elektrické prvky, ako sú rezistory, kondenzátory a induktory, ktoré sú pripojené k vstupom sínusového napätia, vytvárajú sínusové odozvy. Matematika použitá v jej opise je pomerne jednoduchá a bola dôkladne študovaná.

Obrázok 1. Sínusová vlna s niektorými hlavnými priestorovými charakteristikami: amplitúda, vlnová dĺžka a fáza. Zdroj: Wikimedia Commons. Wave_new_sine.svg: KraaiennestOriginally vytvorené ako kosínusová vlna, užívateľ: Pelegs, as Súbor: Wave_new.svgderivative work: Dave3457

Matematika sínusových alebo sínusových vĺn, ako sú známe, je matematika sínusových a kosínusových funkcií.

Sú to opakujúce sa funkcie, čo znamená periodicitu. Obidva majú rovnaký tvar s tým rozdielom, že kosínus sa posunie doľava vzhľadom na sínus o štvrtinu cyklu. Je to vidieť na obrázku 2:

Obrázok 2. Funkcie sin x a cos x sú vzájomne posunuté. Zdroj: F. Zapata.

Potom cos x = hriech (x + π / 2). Pomocou týchto funkcií je znázornená sínusová vlna. Za týmto účelom je príslušná veľkosť umiestnená na vertikálnej osi, zatiaľ čo čas je umiestnený na horizontálnej osi.

Graf vyššie tiež ukazuje opakujúcu sa kvalitu týchto funkcií: vzor sa opakuje nepretržite a pravidelne. Vďaka týmto funkciám je možné vyjadriť napätie a prúdy sínusového typu, ktoré sa môžu meniť v čase, pričom umiestnenie v alebo i predstavuje napätie alebo prúd na vertikálnej osi namiesto y a na horizontálnej osi namiesto x, t času je umiestnený.

Najbežnejším spôsobom vyjadrenia sinusovej vlny je:

Potom sa ponoríme do významu tohto výrazu a definujeme niektoré základné pojmy, aby sme charakterizovali sínusovú vlnu.

časti

Obdobie, amplitúda, frekvencia, cyklus a fáza sú koncepty aplikované na periodické alebo opakujúce sa vlny a sú dôležité na ich správne charakterizovanie.

perióda

Periodická funkcia, ako sú uvedené, ktorá sa opakuje v pravidelných intervaloch, vždy spĺňa nasledujúce vlastnosti:

Kde T je veličina nazývaná periódou vlny a je to čas potrebný na opakovanie fázy vlny. V jednotkách SI je perióda meraná v sekundách.

amplitúda

Podľa všeobecného vyjadrenia sínusovej vlny v (t) = v _m sin (ωt + φ), v _m je maximálna hodnota funkcie, ktorá sa vyskytuje, keď sin (ωt + φ) = 1 (pripomínajúc, že ​​najväčší hodnota, ktorá pripúšťa sínusovú funkciu aj kosínusovú funkciu, je 1). Táto maximálna hodnota je presne amplitúda vlny, známa tiež ako maximálna amplitúda.

V prípade napätia sa bude merať vo voltoch a ak je to prúd, bude to v ampéroch. V zobrazenej sínusovej vlne je amplitúda konštantná, ale v iných druhoch vlny sa amplitúda môže meniť.

cyklus

Je to časť vlny obsiahnutej v období. Na obrázku vyššie sa perióda merala z dvoch po sebe idúcich píkov alebo píkov, ale môže sa začať merať z iných bodov na vlne, pokiaľ sú obmedzené periódou.

Na nasledujúcom obrázku si všimnite, ako cyklus prechádza z jedného bodu do druhého s rovnakou hodnotou (výška) a rovnakým sklonom (sklon).

Obrázok 3. V sínusovej vlne cyklus vždy prebieha v určitom období. Dôležité je, že počiatočný bod a koniec sú v rovnakej výške. Zdroj: Boylestad. Úvod do analýzy obvodov. Pearson.

kmitočet

Je to počet cyklov, ktoré sa vyskytnú za 1 sekundu a je spojený s argumentom sínusovej funkcie: ωt. Frekvencia sa označuje ako f a meria sa v cykloch za sekundu alebo Hertz (Hz) v medzinárodnom systéme.

Frekvencia je inverzná hodnota obdobia, a preto:

Kým frekvencia f je spojená s uhlovou frekvenciou ω (pulzácia) ako:

Uhlová frekvencia je v medzinárodnom systéme vyjadrená v radiánoch za sekundu, ale radiány sú bezrozmerové, takže frekvencia f a uhlová frekvencia ω majú rovnaké rozmery. Všimnite si, že v dôsledku toho produkt ωt poskytuje radiány, a pri výpočte hodnoty sin ωt sa musí brať do úvahy pri použití kalkulačky.

Fáza

Zodpovedá horizontálnemu posunutiu vlny, pokiaľ ide o čas považovaný za referenčný.

Na nasledujúcom obrázku je zelená vlna pred červenou vlnou o čas t _d . Dve sínusové vlny sú vo fáze, keď je ich frekvencia a fáza rovnaká. Ak sa fáza líši, potom sú mimo fázy. Vlny na obrázku 2 sú tiež mimo fázy.

Obrázok 4. Sínusové vlny mimo fázy. Zdroj: Wikimedia commons. Nebol poskytnutý žiadny strojovo čitateľný autor. Kanjo ~ commonswiki prevzatý (na základe autorských práv). ,

Ak je frekvencia vĺn odlišná, budú vo fáze, keď je fáza ωt + φ rovnaká v oboch vlnách v určitých časoch.

Generátor sínusovej vlny

Existuje mnoho spôsobov, ako získať signál sínusovej vlny. Poskytujú ich domáce elektrické zásuvky.

Faradayove vymáhanie práva

Pomerne jednoduchým spôsobom, ako získať sínusový signál, je použitie Faradayovho zákona. To naznačuje, že v obvode s uzavretým prúdom, napríklad v slučke umiestnenej v strede magnetického poľa, sa generuje indukovaný prúd, keď sa tok magnetického poľa v priebehu času mení. V dôsledku toho sa tiež generuje indukované napätie alebo indukovaný emf.

Tok magnetického poľa sa mení, ak sa slučka otáča konštantnou uhlovou rýchlosťou v strede poľa vytvoreného medzi pólmi N a S magnetu znázorneného na obrázku.

Obrázok 5. Generátor vlny podľa Faradayovho zákona indukcie. Zdroj: Zdroj: Raymond A. Serway, Jonh W. Jewett.

Obmedzenie tohto zariadenia je závislosť napätia získaného s frekvenciou otáčania slučky, ako bude podrobnejšie vidieť v príklade 1 v časti Príklady nižšie.

Oscilátor vo Viedni

Ďalším spôsobom, ako získať sínusovú vlnu, tentoraz s elektronikou, je cez Wienov oscilátor, ktorý vyžaduje operačný zosilňovač v spojení s odpormi a kondenzátormi. Týmto spôsobom sa získajú sínusové vlny, ktorých frekvenciu a amplitúdu môže užívateľ modifikovať podľa svojich výhod, nastavením pomocou prepínačov.

Obrázok ukazuje generátor sínusového signálu, pomocou ktorého je možné získať aj ďalšie krivky: medzi inými trojuholníkové a štvorcové.

Obrázok 6. Generátor signálu. Zdroj: Zdroj: Wikimedia Commons. Ocgreg na anglickej Wikipédii.

Ako vypočítať sínusové vlny?

Na vykonávanie výpočtov sínusových vĺn sa používa vedecká kalkulačka, ktorá má trigonometrické funkcie sínus a kosínus, ako aj ich inverzie. Tieto kalkulačky majú režimy na prácu uhlov v stupňoch alebo v radiánoch a je ľahké prevádzať z jednej formy do druhej. Prepočítavací faktor je:

V závislosti od modelu kalkulačky musíte navigovať pomocou tlačidla MODE, aby ste našli možnosť DEGREE, ktorá vám umožňuje pracovať s trigonometrickými funkciami v stupňoch, alebo s možnosťou RAD, aby ste priamo pracovali na uhloch v radiánoch.

Napríklad sin 25º = 0,4226 s kalkulačkou nastavenou na režim °. Prepočítaním 25 ° na radiány získate 0,4363 radiánov a sin 0,4363 rad = 0,425889 ≈ 0,4226.

Osciloskop

Osciloskop je zariadenie, ktoré umožňuje zobrazenie priamych aj striedavých signálov napätia a prúdu na obrazovke. Má gombíky na nastavenie veľkosti signálu na mriežke, ako je to znázornené na nasledujúcom obrázku:

Obrázok 7. Sínusový signál meraný osciloskopom. Zdroj: Boylestad.

Prostredníctvom obrazu poskytnutého osciloskopom a znalosti nastavenia citlivosti v oboch osiach je možné vypočítať parametre vlny, ktoré boli opísané vyššie.

Obrázok ukazuje sínusový napäťový signál ako funkciu času, v ktorom má každá divízia na vertikálnej osi hodnotu 50 milivoltov, zatiaľ čo na horizontálnej osi má každá divízia hodnotu 10 mikrosekúnd.

Amplitúda špička-vrchol sa zistí spočítaním divízií, ktoré vlna vertikálne pokrýva, pomocou červenej šípky:

5 dielikov sa počíta pomocou červenej šípky, takže špičkové napätie je:

Špičkové napätie V _p sa meria od horizontálnej osi 125 mV.

Na nájdenie periódy sa zmeria cyklus, napríklad cyklus ohraničený zelenou šípkou, ktorá pokrýva 3,2 dielikov, potom perióda je:

Príklady

Príklad 1

Pre generátor na obrázku 3 ukázať z Faradayovho zákona, že indukované napätie je sínusové. Predpokladajme, že slučka pozostáva z N zákrut namiesto jedného, ​​všetky s rovnakou oblasťou A a otáčajú sa konštantnou uhlovou rýchlosťou ω v strede rovnomerného magnetického poľa B.

Riešenie

Faradayov zákon hovorí, že indukovaný emf je:

Kde Φ _B je tok magnetického poľa, ktorý bude variabilný, pretože závisí od toho, ako je slučka vystavená poľu v každom okamihu. Záporné znamienko jednoducho opisuje skutočnosť, že tento emf je v rozpore s príčinou, ktorá ho spôsobuje (Lenzov zákon). Tok v jedinom zákrute je:

9 je uhol, ktorý tvorí vektor kolmý na rovinu slučky s poľom B v priebehu rotácie (pozri obrázok), tento uhol sa prirodzene mení ako:

Takže: Φ _B = BAcos 9 = BAcos ωt. Teraz musíme odvodiť tento výraz iba s ohľadom na čas as týmto získame indukovaný emf:

Pretože pole B je jednotné a oblasť slučky sa nemení, opúšťajú mimo derivátu:

Slučka má plochu 0,100 m ² a otáča sa rýchlosťou 60,0 ot / s, pričom jej os rotácie je kolmá na rovnomerné magnetické pole 0,200 T. S vedomím, že cievka má 1000 závitov, nájdite: a) Maximálne generované emf, b Orientácia cievky vo vzťahu k magnetickému poľu pri výskyte maximálneho indukovaného eff.

Obrázok 8. Slučka N sa otáča v strede rovnomerného magnetického poľa a generuje sínusový signál. Zdroj: R. Serway, Fyzika pre vedu a techniku. Zväzok 2. Cengage Learning.

Riešenie

a) Maximálna hodnota emf je ε _max = ωNBA

Pred výmenou hodnôt sa musí jednotka medzinárodného systému odovzdať s frekvenciou 60 ot / s. Je známe, že 1 otáčka je ekvivalentná jednej otáčke alebo 2p radiánom:

60,0 ot / s = 120p radiánov / s

ε _max = 120p radiány x 1000 zákrut x 0.200 T x 0,100 m ² = 7539,82 V = 7,5 kV

b) Ak sa táto hodnota vyskytne, sin ωt = 1:

ωt = θ = 90º,

V tomto prípade je rovina špirály rovnobežná s B , takže vektor kolmý na túto rovinu tvorí s poľom 90 °. K tomu dochádza, keď je čierny vektor na obrázku 8 kolmý na zelený vektor predstavujúci magnetické pole.

Referencie

1. Boylestad, R. 2011. Úvod do analýzy obvodov. 12 .. Vydanie. Pearson. 327-376.
2. Figueroa, D. 2005. Elektromagnetizmus. Fyzika Series pre vedu a techniku. Zväzok 6. Editoval D. Figueroa. Univerzita Simona Bolivara. 115 a 244-245.
3. Figueroa, D. 2006. Fyzikálne laboratórium 2. Redakčné equinoccio. 03-1 a 14-1.
4. Sinusové vlny. Obnovené z: iessierradeguara.com
5. Serway, R. 2008. Fyzika pre vedu a techniku. Zväzok 2. Cengage Learning. 881-884