ROZVINUTÝ ZÁPIS: ČO TO JE, PRÍKLADY A CVIČENIA - MATEMATIKA - 2026

Rozvinutý notácie je taká, v ktorej je číselný údaj vyjadrený ako súčet kde namiesto hodnota každej číslice, ktoré tvoria množstvo sa berie do úvahy.

Napríklad, keď píšete číslo podobné 2345, každá číslica v ňom má hierarchiu pozícií. Čítanie od krajnej pravice smerom doľava zvyšuje hierarchiu alebo hodnotu.

Obrázok 1. S deviatimi grafami je možné znázorniť ľubovoľné číslo.

Na obrázku 2345 predstavuje číslica 5 päť jednotiek, číslica 4 predstavuje štyri desiatky, 3 zodpovedá tretej pozícii zľava doprava, a preto 3 predstavuje tri stovky, nakoniec 2 predstavuje dva tisíce. Inými slovami, v rozvinutom alebo rozšírenom zápise sa číslo 2345 píše takto:

2345 = 2 tisíce + 3 stovky + 4 desiatky + 5

Dá sa však vyjadriť aj nasledujúcim spôsobom:

2345 = 2 x 1 000 + 3 x 100 + 4 x 10 + 5 x 1.

Tiež číslo 2345 možno písať ako súčet právomocí 10:

2345 = 2 x 10 ^ 3 + 3 x 10 ^ 2 + 4 x 10 ^ 1 + 5 x 10 ^ 0

Ak obvod → znamená zdvihnúť sa k označenému exponentu. Napríklad 10 ^ 3 = 10 x 10 x 10 = 1000. Ďalším spôsobom, ako napísať exponenty, je použitie horného indexu:

2345 = 2 x 10 ³ + 3 x 10 ² + 4 x 10 ¹ + 5 x 10 ⁰

Pozičné číslovacie systémy

Arabský číselný systém sú čísla, ktoré sa denne používajú na drvivej väčšine kontinentov a krajín sveta. Arabské číslice sú základným systémom 10, pretože na písanie ľubovoľného čísla sa používa desať symbolov alebo grafov. Týchto desať symbolov je:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Len s jedným z týchto symbolov je možné vyjadriť čísla od nuly do deväť. Na vyjadrenie čísiel väčších ako deväť sa používa pozičný systém v základnej desiatke. Číslo 10 je desať a nula. Číslo 11 je desať a jednotka. Číslo 123 (sto dvadsaťtri) je sto, dve desiatky a tri. Písomné vo forme právomocí desiatich bude číslo 123:

1 × 10 ^ 2 + 2 × 10 ^ 1 + 3 × 10 ^ 0

Kde:

10 ^ 2 = 10 x 10 = 100

10 ^ 1 = 10

10 ^ 0 = 1.

V tomto príklade je zrejmé, že pozícia číslice úplne vpravo je pozícia 0 a predstavuje počet jednotiek, pozícia druhej číslice sprava doľava je pozícia 1 a predstavuje počet desiatok, tretia číslica (sprava) vľavo) má pozíciu 2 a predstavuje stovky.

Obrázok 2. Vyvinutý zápis obrázku 123.

Zlomkové alebo desatinné čísla

So systémom desatinných pozícií je tiež možné reprezentovať čísla alebo čísla, ktoré sú menšie ako jednotka alebo sú väčšie ako jednotka, ale nie celé čísla, to znamená, že majú zlomky jednotky.

Ako zlomok ½ v arabskom desatinnom systéme, tj polovica jednotky, sa píše:

½ = 0,5

Na dosiahnutie tohto výrazu v našom základnom systéme boli implicitne vykonané nasledujúce operácie:

1 - čitateľ a menovateľ sa vynásobia číslom 5, aby sa dosiahol ekvivalentný zlomok 5/10 = 1/2.

2 - Delenie 10 je ekvivalentné znásobeniu sily v základnej desiatke exponentom mínus jedna (10 ^ -1), to znamená, 5/10 = 5 × 10 ^ -1.

3 - Záporný exponent označuje, koľkokrát je označená číslica posunutá alebo umiestnená doprava z pozície jednotky, v našom prípade by to bolo 0,5.

4- ½ = 0,5 v rozšírenom zápise sa píše takto:

0,5 = 0x10 ^ 0 + 5 x 10 ^ -1

Kde 10 ^ -1 = 0,1 je jedna desatina (zlomok zodpovedajúci jednotke rozdelený na 10 rovnakých častí).

Týmto spôsobom číslo 0,5 zodpovedá piatim desatinám, ale číslo 0,05 zodpovedá 5 stotinám a 0,005 až 5 tisícinám.

Príklady rozšíreného zápisu

Príklad 1

Vzhľadom na obrázok 40201 v štandardnom zápise ho skonvertujte do rozšíreného zápisu.

Riešenie:

4 × 10000 + 0x1000 + 2 × 100 + 0x10 + 1 × 1 = 40201

Príklad 2

Napíšte zlomok ¾ do rozšíreného zápisu.

Riešenie:

V takom prípade máte tri štvrtiny jednotky.

3/4 = 15/20 = 75/100 = 0,75 = 7/10 + 5/100 =

7 × 10 ^ -1 + 5 × 10 ^ -2.

Slovami by to vyzeralo takto:

Frakcia ¾ zodpovedá siedmim desatinám plus päťstotinám.

Vyvinuté notové cvičenia

Cvičenie 1

Povedzte slovami rozšírený výraz čísla 40201 z príkladu 1.

Riešenie:

Vypracovaný zápis vyzerá takto:

40201 = 4 × 10000 + 0x1000 + 2 × 100 + 0x10 + 1 × 1

V slovnom jazyku sa hovorí:

Štyri desiatky tisíc, plus nula tisíc, plus dvesto, plus nula desiatok, plus jedna jednotka.

Cvičenie 2

Vyjadrite predchádzajúci číselný údaj slovami a rozbaľte zodpovedajúcu vetu.

Riešenie:

Číslo 40201 slovami je vyjadrené takto:

Štyridsať tisíc dvesto jedna

Predchádzajúca veta sa môže rozvíjať ako:

40 × 1 000 + 2 × 100 + 1

Dá sa povedať, že spôsob vyslovovania čísel je čiastočne rozvinutým spôsobom vyjadrenia.

Cvičenie 3

Napíšte číslo 7/3 v rozšírenej podobe.

Riešenie:

Je to číslo vyjadrené ako nesprávny zlomok, pretože keďže čitateľ je väčší ako menovateľ, je tento číselný údaj väčší ako jednota.

Táto nevhodná frakcia sa môže rozložiť ako súčet frakcií 6/3 + 1/3. Prvá z frakcií vedie k celému číslu 2, zatiaľ čo 1/3 = 0,3333333, kde sa číslica 3 neurčito opakuje. Takže rozšírený desatinný výraz na obrázku 7/3 bude vždy približným výrazom:

7/3 = 2 + 1/3 ≃ 2 + 0,333 = 2 + 3 x 10 ^ -1 + 3 x 10 ^ -2 + 3 x 10 ^ -3.

Cvičenie 6

Napíšte štandardný zápis a potom v rozšírenej podobe číslo: dvadsaťtri miliárd dvesto päťdesiat miliónov päťsto dvadsaťšesť tisíc tristo dvadsať päť a tri dvadsaťtri tisíciny.

Riešenie:

Malo by sa pamätať na to, že jedna miliarda predstavuje miliardu. Slovo miliarda bolo prijaté Španielskou kráľovskou akadémiou v roku 1995 na žiadosť zosnulého venezuelského prezidenta Rafaela Calderu, člena venezuelskej akadémie jazyka. V takom prípade je číslo pre cvičenie v štandardnom zápise napísané takto:

23,2501526,325,023

23 miliárd + 250 miliónov + 526 tisíc + 325 jednotiek + 23 tisícin.

23 × 10 ^ 9 + 250 × 10 ^ 6 + 526 × 10 ^ 3 + 325 × 10 ^ 0 + 23 × 10 ^ -3

Nakoniec je číslo napísané v rozšírenom zápise:

2 × 10 ^ 10 + 3 × 10 ^ 9 + 2 × 10 ^ 8 + 5 × 10 ^ 7 + 0x10 ^ 6 + 5 × 10 ^ 5 + 2 × 10 ^ 4 + 6 × 10 ^ 3 + 3 × 10 ^ 2 + 2 × 10 ^ 1 + 5 × 10 ^ 0 + 0x10 ^ -1 + 2 × 10 ^ -2 + 3 × 10 ^ -3.

Referencie

1. Khan Academy. Grafy s hodnotou miesta. Obnovené z: es.khanacademy.org
2. Khan Academy. Napíšte číslo v rozšírenej podobe (video). Obnovené z: es.khanacademy.org
3. Ifrah, Geoges (1998): Univerzálna história čísel. Espasa Calpe SA
4. Wikipedia. Pozičné označenie. Obnovené z: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Miliarda. Obnovené z: es.wikipedia.com