DOPLNKOVÉ UHLY: ČO SÚ, VÝPOČET, PRÍKLADY, CVIČENIA - MATEMATIKA - 2026

Dva alebo viac sú doplnkové uhly, ak súčet ich mier zodpovedá mierke priameho uhla. Miera priameho uhla, tiež nazývaného rovinný uhol, v stupňoch je 180 ° a v radiánoch je π.

Napríklad zistíme, že tri vnútorné uhly trojuholníka sú doplnkové, pretože súčet ich mier je 180 °. Na obrázku 1 sú znázornené tri uhly. Z vyššie uvedeného vyplýva, že a a p sú doplnkové, pretože susedia a ich súčet uzatvára priamy uhol.

Obrázok 1: a a p sú doplnkové. α a y sú doplnkové. Zdroj: F. Zapata.

Na rovnakom obrázku sú aj uhly α a γ, ktoré sú tiež doplnkové, pretože súčet ich mier sa rovná mierke rovinného uhla, tj 180 °. Nedá sa povedať, že uhly β a γ sú doplnkové, pretože keďže sú oba uhly tupé, ich rozmery sú väčšie ako 90 °, a preto ich súčet presahuje 180 °.

Zdroj: lifeder.com

Namiesto toho je možné konštatovať, že miera uhla ß sa rovná mierke uhla γ, pretože ak β je doplnkom k α a γ je doplnkom k α, potom β = γ = 135 °.

Príklady

V nasledujúcich príkladoch je potrebné nájsť neznáme uhly označené otáznikmi na obrázku 2. Siahajú od najjednoduchších príkladov po trochu prepracovanejšie, aby čitateľ mal byť opatrnejší.

Obrázok 2. Niekoľko vypracovaných príkladov doplnkových uhlov. Zdroj: F. Zapata.

Príklad A

Na obrázku je znázornené, že susedné uhly a a 35 ° sa rovnajú rovinnému uhlu. To znamená, že α + 35 ° = 180 °, a preto platí, že: α = 180 ° - 35 ° = 145 °.

Príklad B

Pretože β je doplnkové s uhlom 50 °, vyplýva z toho, že β = 180 ° - 50 ° = 130 °.

Príklad C

Z obrázku 2C je možné pozorovať tento súčet: γ + 90 ° + 15 ° = 180 °. To znamená, že γ je doplnkový s uhlom 105 ° = 90 ° + 15 °. Dospelo sa teda k záveru, že:

y = 180 ° - 105 ° = 75 °

Príklad D

Pretože X je doplnok k 72 °, znamená to, že X = 180 ° - 72 ° = 108 °. Ďalej Y predstavuje doplnok k X, takže Y = 180 ° - 108 ° = 72 °.

A nakoniec je Z doplnkové so 72 °, preto Z = 180 ° - 72 ° = 108 °.

Príklad E

Uhly δ a 2δ sú doplnkové, preto δ + 2δ = 180 °. Čo znamená, že 3 5 = 180 °, a to nám zase umožňuje písať: 5 = 180 ° / 3 = 60 °.

Príklad F

Ak nazývame uhol medzi 100 ° a 50 ° U, potom je U obidvom doplnkom, pretože sa pozoruje, že ich súčet dokončí rovinný uhol.

Z toho vyplýva, že U = 150 °. Pretože U je oproti vrcholu oproti W, potom W = U = 150 °.

cvičenie

Nižšie sú navrhnuté tri cvičenia, pričom vo všetkých sa musí nájsť hodnota uhlov A a B v stupňoch, aby boli splnené vzťahy znázornené na obrázku 3. Pri riešení všetkých sa používa pojem doplnkových uhlov.

Obrázok 3. Obrázok na riešenie cvičení I, II a III na doplnkových uhloch. Všetky uhly sú v stupňoch. Zdroj: F. Zapata.

- Cvičenie I

Stanovte hodnoty uhlov A a B z časti I) obrázku 3.

Riešenie

A a B sú doplnkové, z ktorých máme, že A + B = 180 stupňov, potom je výraz A a B nahradený ako funkcia x, ako sa zdá na obrázku:

(x + 15) + (5x + 45) = 180

Získa sa lineárna rovnica prvého poriadku. Na jeho vyriešenie sú termíny zoskupené nižšie:

6 x + 60 = 180

Vydelením oboch členov šiestimi máme:

x + 10 = 30

A konečne riešenie znamená, že x má hodnotu 20º.

Teraz musíme pripojiť hodnotu x, aby sme našli požadované uhly. Preto je uhol A: A = 20 + 15 = 35 °.

Pokiaľ ide o jeho časť, uhol B je B = 5 * 20 + 45 = 145 °.

- Cvičenie II

Nájdite hodnoty uhlov A a B z časti II) na obrázku 3.

Riešenie

Pretože A a B sú doplnkové uhly, máme A + B = 180 stupňov. Nahradením výrazu A a B ako funkcie x uvedeného v časti II) obrázku 3 máme:

(-2x + 90) + (8x - 30) = 180

Opäť sa získa rovnica prvého stupňa, pre ktorú musia byť termíny vhodne zoskupené:

6 x + 60 = 180

Vydelením oboch členov šiestimi máme:

x + 10 = 30

Z toho vyplýva, že x má hodnotu 20º.

Inými slovami, uhol A = -2 * 20 + 90 = 50 °. Zatiaľ čo uhol B = 8 * 20 - 30 = 130 °.

- Cvičenie III

Stanovte hodnoty uhlov A a B z časti III) obrázka 3 (v zelenej farbe).

Riešenie

Pretože A a B sú doplnkové uhly, máme A + B = 180 stupňov. Výraz A a B musíme nahradiť ako funkciu x uvedenú na obrázku 3, z ktorej máme:

(5x - 20) + (7x + 80) = 180

12 x + 60 = 180

Vydelením obidvoch členov 12 na riešenie hodnoty x, máme:

x + 5 = 15

Nakoniec sa zistí, že x má hodnotu 10 stupňov.

Teraz pristúpime k nahradeniu a nájdeme uhol A: A = 5 * 10-20 = 30 °. A pre uhol B: B = 7 x 10 + 80 = 150 °

Doplnkové uhly v dvoch rovnobežkách odrezané secantom

Obrázok 4. Uhly medzi dvoma rovnobežkami rezané secantom. Zdroj: F. Zapata.

Dve rovnobežné čiary vyrezané secantom sú v niektorých problémoch spoločnou geometrickou konštrukciou. Medzi týmito čiarami je vytvorených 8 uhlov, ako je znázornené na obrázku 4.

Z týchto 8 uhlov sú niektoré páry uhlov doplnkové, ktoré uvádzame nižšie:

1. Vonkajšie uhly A a B a vonkajšie uhly G a H
2. Vnútorné uhly D a C a vnútorné uhly E a F
3. Vonkajšie uhly A a G a vonkajšie uhly B a H
4. Vnútorné uhly D a E a interiéry C a F

Pre úplnosť sa tiež nazývajú uhly navzájom rovnaké:

1. Interné náhrady: D = F a C = E
2. Vonkajšie alternatívy: A = H a B = G
3. Zodpovedajúce: A = E a C = H
4. Protiklady vrcholu A = C a E = H
5. Zodpovedajúce: B = F a D = G
6. Vrcholové protiklady B = D a F = G

- Cvičenie IV

S odkazom na obrázok 4, ktorý ukazuje uhly medzi dvoma rovnobežnými čiarami rezanými secantom, určte hodnotu všetkých uhlov v radiánoch, pričom viem, že uhol A = π / 6 radiánov.

Riešenie

A a B sú doplnkové vonkajšie uhly, takže B = π - A = π - π / 6 = 5π / 6

A = E = C = H = n / 6

B = F = D = G = 5π / 6

Referencie

1. Baldor, JA 1973. Rovinná a priestorová geometria. Stredoamerický kultúrny.
2. Matematické zákony a vzorce. Systémy na meranie uhlu. Obnovené z: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Získané z: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Doplnkové uhly. Obnovené z: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Dopravník. Obnovené z: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: história, časti, prevádzka. Získané z: lifeder.com