KONJUGUJTE VNÚTORNÉ A VONKAJŠIE UHLY: PRÍKLADY, CVIČENIA - MATEMATIKA - 2026

Tieto uholníky konjugáty sú pridané k výsledkom , aby bolo 360, bez ohľadu na uvedené uhly sú v blízkosti, alebo nie. Na obrázku 1 sú znázornené dva uhly konjugátu, označené a a p.

V tomto prípade majú uhly a a p na obrázku spoločný vrchol a ich strany sú spoločné, preto sú priľahlé. Vzťah medzi nimi je vyjadrený takto:

a + p = 360 °

Obrázok 1. Dva združené stredové uhly, súčet. Zdroj: Wikimedia Commons. Nebol poskytnutý žiadny strojovo čitateľný autor. Thiago R Ramos prevzal (na základe autorských práv). Je to klasifikácia uhlov podľa ich súčtu. Medzi ďalšie dôležité definície patria doplnkové uhly, ktorých súčet je 90 °, a doplnkové uhly, ktoré spolu tvoria 180 °.

Na druhej strane pozrime sa teraz na dve rovnobežné čiary odrezané secantom, ktorých usporiadanie je uvedené nižšie:

Obrázok 2. Paralelné čiary vyrezané secantom. Zdroj: F. Zapata.

Čiary MN a PQ sú rovnobežné, zatiaľ čo čiara RS je šikmá a pretína rovnobežky v dvoch bodoch. Ako je zrejmé, táto konfigurácia určuje vytvorenie 8 uhlov, ktoré boli označené malými písmenami.

Podľa definície uvedenej na začiatku sú uhly a, b, ca d združené. Rovnakým spôsobom sú e, f, gah, pretože oba prípady sú pravdivé:

a + b + c + d = 360 °

A

e + f + g + h = 360 °

Pre túto konfiguráciu sú dva uhly združené, ak sú na tej istej strane vzhľadom na oddeľujúcu líniu RS a oba sú vnútorné alebo vonkajšie. V prvom prípade hovoríme o vnútorných združených uhloch, zatiaľ čo v druhom prípade ide o vonkajšie konjugované uhly.

Príklady

Na obrázku 2 sú vonkajšie uhly tie, ktoré sú mimo oblasti vymedzenej čiarami MN a PQ, sú to uhly A, B, G a H. Kým uhly, ktoré sú medzi týmito dvoma čiarami, sú C, D, E a F.

Teraz je potrebné analyzovať, ktoré uhly sú vľavo a ktoré sú vpravo od secanty.

Vľavo od RS sú uhly A, C, E a G. A vpravo sú uhly B, D, F a H.

Ihneď pristúpime k stanoveniu párových uhlov párov podľa definície uvedenej v predchádzajúcej časti:

-A a G, vonkajšie a naľavo od RS.

-D a F, vnútorné a napravo od RS.

-B a H, vonkajšie a napravo od RS.

-C a E, vnútorné a naľavo od RS.

Vlastnosť združených uhlov medzi rovnobežkami

Spojené uhly medzi rovnobežnými čiarami sú doplnkové, to znamená, že ich súčet sa rovná 180 °. Týmto spôsobom platí pre obrázok 2:

A + G = 180 °

D + F = 180 °

B + H = 180 °

C + E = 180 °

Páry zodpovedajúcich uhlov pre rovnobežné čiary

Sú to tie, ktoré sú na tej istej strane oddeľovacej čiary, nie sú priľahlé a jedna z nich je vnútorná a druhá je vonkajšia. Je dôležité si ich vizualizovať, pretože ich miera je rovnaká, pretože vrcholy sú opačné.

Vrátime sa k obrázku 2, zodpovedajúce dvojice uhlov sú označené ako:

-A a E

-C a G

-B a F

-D a H

Vnútorné uhly štvoruholníka

Štvorholníky sú štvorstranné polygóny, medzi nimi napríklad štvorec, obdĺžnik, lichobežník, rovnobežník a kosoštvorec. Bez ohľadu na ich tvar je v každom z nich pravda, že súčet ich vnútorných uhlov je 360 ​​°, preto spĺňajú definíciu uvedenú na začiatku.

Pozrime sa na niekoľko príkladov kvadrilaterálov a ako vypočítať hodnotu ich vnútorných uhlov podľa informácií v predchádzajúcich oddieloch:

Príklady

a) Tri uhly štvoruholníka merajú 75 °, 110 ° a 70 °. Koľko by mal zostávajúci uhol merať?

b) Nájdite hodnotu uhla ∠Q na obrázku 3 i.

c) Vypočítajte mieru uhla ∠A na obrázku 3 ii.

Riešenie

Nech α je chýbajúci uhol, je uspokojené, že:

a + 75 ° + 110 ° + 70 ° = 360 ° → α = 105 °

Riešenie b

Obrázok 3i je lichobežník a dva z jeho vnútorných uhlov sú v pravom uhle, ktoré sú v rohoch označené farebným štvorcom. Pre tento štvoruholník sa overuje toto:

∠R + ∠S + ∠P + ∠Q = 360 °; ∠S = ∠R = 90 °; ∠P = 60 °

teda:

∠ Q = 2 x 90 ° + 60 ° = 240 °

Riešenie c

Štvoruholník na obrázku 3 ii je tiež lichobežník, pre ktorý platí toto:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360 °

teda:

4x -5 + 3x + 10 +180 = 360

7x + 5 = 180

x = (180 - 5) / 7

x = 25

Na určenie uhla požadovaného vo výroku používame, že ∠A = 4x - 5. Nahradením predtým vypočítanej hodnoty x vyplýva, že ∠A = (4 × 25) -5 = 95 °

cvičenie

- Cvičenie 1

S vedomím, že jeden z uvedených uhlov je 125 °, nájdite miery zostávajúcich 7 uhlov na nasledujúcom obrázku a zdôvodnite odpovede.

Obrázok 4. Čiary a uhly cvičenia 1. Zdroj: F. Zapata.

Riešenie

Uhol 6 a uhol 125 ° sú vnútorné konjugáty, ktorých súčet je 180 °, podľa vlastnosti združených uhlov:

6 + 125 ° = 180 ° → 6 = 180 ° - 125 ° = 55 °

Na druhej strane ∠6 a ∠8 sú protikladné uhly vrcholom, ktorého miera je rovnaká. Preto ∠8 meria 55º.

Uhol ∠1 je tiež oproti vrcholu na 125 °, potom môžeme potvrdiť, že =1 = 125 °. Môžeme sa tiež odvolať na skutočnosť, že príslušné dvojice uhlov majú rovnaké opatrenie. Na obrázku sú tieto uhly:

7 = 125 °

∠2 = ∠6 = 55 °

∠1 = ∠5 = 125 °

4 = 8 = 55 °

- Cvičenie 2

Nájdite hodnotu x na nasledujúcom obrázku a hodnoty všetkých uhlov:

Obrázok 5. Čiary a uhly cvičenia 2. Zdroj: F. Zapata.

Riešenie

Pretože sa jedná o zodpovedajúce páry, vyplýva z toho, že F = 73 °. Na druhej strane súčet konjugovaných párov je 180 °, a preto:

3x + 20 ° + 73 ° = 180 °

3x = 180 ° - 73 ° -20 ° = 87

Nakoniec je hodnota x:

x = 87/3 = 29

Pokiaľ ide o všetky uhly, sú uvedené na nasledujúcom obrázku:

Obrázok 6. Uhly vyplývajúce z cvičenia 2. Zdroj: F. Zapata.

Referencie

1. Uhlové skupiny. Vysvetlenie doplnkových, doplnkových a doplnkových uhlov. Obnovené z: thisiget.com/
2. Baldor, A. 1983. Rovinná a priestorová geometria a trigonometria. Kultúrna skupina Patria.
3. Corral, M. Mathematics LibreTexts: Angles. Obnovené z: math.libretexts.org.
4. Mathmania. Klasifikácia a konštrukcia uhlov podľa ich merania. Obnovené z: Mathania.com/
5. Wentworth, G. Plane Geometry. Získané z: gutenberg.org.
6. Wikipedia. Konjugované uhly. Obnovené z: es.wikipedia.org.