DOPLNKOVÉ UHLY: KTORÉ A AKO SA VYPOČÍTAVAJÚ, PRÍKLADY, CVIČENIA - MATEMATIKA - 2026

Dva alebo viac uhlov sú doplnkové uhly, ak súčet ich mier zodpovedá súčtu pravých uhlov. Ako je známe, miera pravého uhla v stupňoch je 90 ° a v radiánoch je π / 2.

Napríklad dva uhly susediace s preponou pravouhlého trojuholníka sa navzájom dopĺňajú, pretože súčet ich mier je 90 °. Nasledujúci obrázok je v tomto ohľade veľmi ilustratívny:

Obrázok 1. Vľavo niekoľko uhlov so spoločným vrcholom. Vpravo je uhol 60o, ktorý dopĺňa uhol α (alfa). Zdroj: F. Zapata.

Na obrázku 1 sú znázornené celkom štyri uhly. a a p sa vzájomne dopĺňajú, pretože susedia a ich súčet dokončí pravý uhol. Podobne je β komplementárny s γ, z čoho vyplýva, že γ a α majú rovnakú mieru.

Teraz, keď sa súčet a a ô rovná 90 stupňom, je možné konštatovať, že a a ô sa navzájom dopĺňajú. Ďalej, pretože p a 5 majú rovnaké komplementárne a, dá sa povedať, že p a 5 majú rovnaké miery.

Príklady doplnkových uhlov

Nasledujúce príklady požadujú nájdenie neznámych uhlov označených otáznikmi na obrázku 2.

Obrázok 2. Rôzne príklady doplnkových uhlov. Zdroj: F. Zapata.

- príklady A, B a C

Nasledujúce príklady sú usporiadané v poradí zložitosti.

Príklad A

Na obrázku vyššie je, že susedné uhly a a 40 ° sa sčítajú do pravého uhla. To znamená, že a + 40 ° = 90 °, a teda = 90 ° - 40 ° = 50 °.

Príklad B

Pretože p je komplementárny s uhlom 35 °, potom β = 90 ° - 35 ° = 55 °.

Príklad C

Z obrázku 2C je zrejmé, že súčet y + 15 ° + 15 ° = 90 °. Inými slovami, y je komplementárne k uhlu 30 ° = 15 ° + 15 °. Takže:

y = 90 ° - 30 ° = 60 °

- príklady D, E a F

V týchto príkladoch je zahrnutých viac uhlov. Aby bolo možné nájsť neznáme, musí čitateľ aplikovať pojem komplementárny uhol toľkokrát, koľko je potrebné.

Príklad D

Pretože X je doplnok k 72 °, znamená to, že X = 90 ° - 72 ° = 18 °. Ďalej Y predstavuje doplnok k X, takže Y = 90 ° - 18 ° = 72 °.

Nakoniec je Z komplementárne s Y. Z vyššie uvedeného vyplýva, že:

Z = 90 ° - 72 ° = 18 °

Príklad E

Uhly 5 a 2 5 sú komplementárne, preto 8 + 2 = = 90 °.

To znamená, 3 8 = 90 °, čo znamená, že 8 = 90 ° / 3 = 30 °.

Príklad F

Ak nazývame U uhol medzi ω a 10º, potom je U obidvom doplnkom, pretože sa pozoruje, že ich súčet dokončí pravý uhol. Z toho vyplýva, že U = 80º. Pretože U je komplementárne k ω, potom ω = 10º.

cvičenie

Nižšie sú navrhnuté tri cvičenia. Vo všetkých z nich sa musí nájsť hodnota uhlov A a B v stupňoch, aby boli splnené vzťahy znázornené na obrázku 3.

Obrázok 3. Ilustrácie doplnkových uhlových cvičení. Zdroj: F. Zapata.

- Cvičenie 1

Stanovte hodnoty uhlov A a B z časti I) obrázku 3.

Riešenie

Z uvedeného obrázku je zrejmé, že A a B sa vzájomne dopĺňajú, a preto A + B = 90 °. Nahradíme výraz A a B ako funkciu x uvedenú v časti I):

(x / 2 + 7) + (2x + 15) = 90

Pojmy sa potom vhodne zoskupia a získa sa jednoduchá lineárna rovnica:

(5x / 2) + 22 = 90

Odčítaním 22 u oboch členov máme:

5x / 2 = 90 - 22 = 68

Nakoniec sa hodnota x vymaže:

x = 2 * 68/5 = 136/5

Teraz sa uhol A nájde nahradením hodnoty X:

A = (136/5) / 2 +7 = 103/5 = 20,6 °.

Kým uhol B je:

B = 2 * 136/5 + 15 = 347/5 = 69,4 °.

- Cvičenie 2

Nájdite hodnoty uhlov A a B obrázku II, obrázok 3.

Riešenie

Pretože A a B sú komplementárne uhly, vyplýva z toho: A + B = 90 °. Nahradením výrazu A a B ako funkcie x uvedeného v časti II) obrázku 3 máme:

(2x10) + (4x40) = 90

Rovnaké termíny sú zoskupené do rovnice:

6 x + 30 = 90

Vydelením oboch členov číslom 6 získate:

x + 5 = 15

Z toho vyplýva, že x = 10º.

teda:

A = 2 x 10 - 10 = 10 °

B = 4 x 10 + 40 = 80 °.

- Cvičenie 3

Stanovte hodnoty uhlov A a B z časti III) na obrázku 3.

Riešenie

Obrázok je opäť starostlivo analyzovaný, aby sa našli komplementárne uhly. V tomto prípade máme A + B = 90 stupňov. Nahradením výrazu A a B ako funkcie x uvedeného na obrázku máme:

(-x +45) + (4x -15) = 90

3 x + 30 = 90

Rozdelenie oboch členov na 3 vedie k nasledujúcemu:

x + 10 = 30

Z toho vyplýva, že x = 20º.

Inými slovami, uhol A = -20 +45 = 25 °. A na druhej strane: B = 4 * 20 -15 = 65 °.

Kolmé bočné uhly

Uvádza sa, že dva uhly majú kolmé strany, ak každá strana má na druhej kolmicu. Nasledujúci obrázok objasňuje tento koncept:

Obrázok 4. Uhly kolmých strán. Zdroj: F. Zapata.

Na obrázku 4 sú napríklad pozorované uhly a a 9. Teraz si všimnite, že každý uhol má svoju kolmú polohu pod druhým uhlom.

Je tiež zrejmé, že a a 9 majú rovnaký komplementárny uhol z, preto pozorovateľ okamžite dospeje k záveru, že a a 9 majú rovnaké rozmery. Potom sa zdá, že ak majú dva uhly kolmé strany, sú si rovné, ale pozrime sa na iný prípad.

Teraz zvážte uhly α a ω. Tieto dva uhly majú tiež zodpovedajúce kolmé strany, nemožno ich však považovať za rovné, pretože jeden je ostrý a druhý tupý.

Všimnite si, že ω + θ = 180 °. Ďalej 9 = a. Ak nahradíte tento výraz z v prvej rovnici, dostanete:

δ + α = 180 °, kde δ a α sú vzájomne kolmé uhly strán.

Všeobecné pravidlo pre uhly kolmých strán

1. Baldor, JA 1973. Rovinná a priestorová geometria. Stredoamerický kultúrny.
2. Matematické zákony a vzorce. Systémy na meranie uhlu. Obnovené z: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Získané z: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Doplnkové uhly. Obnovené z: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Dopravník. Obnovené z: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: história, časti, prevádzka. Získané z: lifeder.com