NULOVÝ UHOL: DEFINÍCIA A VLASTNOSTI, PRÍKLADY, CVIČENIA - MATEMATIKA - 2026

Uhol null je ten, ktorého opatrenia je 0, a to ako v stupňoch a v radiánoch alebo inom systéme merania uhla. Preto mu chýba šírka alebo otvor, ktorý sa vytvára medzi dvoma rovnobežnými čiarami.

Aj keď jej definícia znie dosť jednoducho, nulový uhol je veľmi užitočný v mnohých fyzikálnych a inžinierskych aplikáciách, ako aj v navigácii a dizajne.

Obrázok 1. Medzi rýchlosťou a zrýchlením vozidla je nulový uhol, preto auto ide rýchlejšie a rýchlejšie. Zdroj: Wikimedia Commons.

Existujú fyzické veličiny, ktoré sa musia vyrovnať paralelne, aby sa dosiahli určité účinky: ak sa auto pohybuje v priamke na diaľnici a medzi jeho vektorom rýchlosti v a jeho vektorom zrýchlenia a je 0 °, auto sa pohybuje rýchlejšie a rýchlejšie, ale ak auto Pri brzdení je jeho zrýchlenie opačné ako jeho rýchlosť (pozri obrázok 1).

Nasledujúci obrázok zobrazuje rôzne typy uhlov vrátane nulového uhla doprava. Ako je vidieť, uhol 0 ° nemá šírku alebo otvor.

Obrázok 2. Typy uhlov vrátane nulového uhla. Zdroj: Wikimedia Commons. Óriási.

Príklady nulových uhlov

Je známe, že rovnobežné čiary spolu vytvárajú nulový uhol. Ak máte vodorovnú čiaru, je rovnobežná s osou x karteziánskeho súradnicového systému, a preto jej sklon k nej je 0. Inými slovami, vodorovné čiary majú nulový sklon.

Obrázok 3. Vodorovné čiary majú nulový sklon. Zdroj: F. Zapata.

Tiež trigonometrické pomery nulového uhla sú 0, 1 alebo nekonečno. Preto je nulový uhol prítomný v mnohých fyzikálnych situáciách, ktoré zahŕňajú operácie s vektormi. Tieto dôvody sú:

-sin 0 ° = 0

-co 0 ° = 1

-tg 0 ° = 0

-sek 0 ° = 1

-cosec 0º → ∞

-ctg 0º → ∞

Budú užitočné analyzovať niektoré príklady situácií, v ktorých prítomnosť nulového uhla zohráva zásadnú úlohu:

- Účinky nulového uhla na fyzikálne veličiny

Pridanie vektora

Keď sú dva vektory rovnobežné, uhol medzi nimi je nula, ako je vidieť na obrázku 4a vyššie. V tomto prípade sa súčet obidvoch uskutoční umiestnením jeden po druhom a veľkosť súčtového vektora je súčtom veľkostí doplnkov (obrázok 4b).

Obrázok 4. Súčet rovnobežných vektorov, v tomto prípade je uhol medzi nimi nulový uhol. Zdroj: F. Zapata.

Keď sú dva vektory rovnobežné, uhol medzi nimi je nula, ako je vidieť na obrázku 4a vyššie. V tomto prípade sa súčet oboch vykoná tak, že sa jeden po druhom umiestnia a veľkosť súčtového vektora je súčtom hodnôt aditív (obrázok 4b).

Krútiaci moment alebo krútiaci moment

Krútiaci moment alebo krútiaci moment spôsobuje rotáciu tela. Závisí to od veľkosti použitej sily a od toho, ako sa aplikuje. Veľmi reprezentatívnym príkladom je kľúč na obrázku.

Pre najlepší účinok otáčania je sila pôsobiaca kolmo na rukoväť kľúča, buď nahor alebo nadol, ale neočakáva sa žiadna rotácia, ak je sila rovnobežná s rukoväťou.

Obrázok 5. Keď je uhol medzi vektormi polohy a sily nulový, nevzniká žiadny krútiaci moment, a preto nedochádza k žiadnemu efektu otáčania. Zdroj: F. Zapata.

Matematicky je krútiaci moment τ definovaný ako vektorový produkt alebo krížový produkt medzi vektormi r (polohový vektor) a F (silový vektor) na obrázku 5:

τ = r x F

Veľkosť krútiaceho momentu je:

τ = r F sin θ

Θ je uhol medzi r a F . Ak je sin θ = 0, krútiaci moment je nula, v tomto prípade θ = 0 ° (alebo tiež 180 °).

Tok elektrického poľa

Tok elektrického poľa je skalárne množstvo, ktoré závisí od intenzity elektrického poľa, ako aj od orientácie povrchu, cez ktorý prechádza.

Na obrázku 6 je kruhový povrch oblasti A, ktorými je elektrické siločiary E-pass . Orientácia povrchu je daná normálnym vektorom n . Vľavo pole a normálny vektor tvoria ľubovoľný ostrý uhol 9, v strede spolu vytvárajú nulový uhol a napravo sú kolmé.

Keď sú E a n kolmé, čiary poľa nekrižujú povrch, a preto je tok nulový, zatiaľ čo keď uhol medzi E a n je nula, čiary úplne prechádzajú povrchom.

Označenie toku elektrického poľa gréckym písmenom Φ (čítané „fi“), jeho definícia pre jednotné pole ako na obrázku, vyzerá takto:

Φ = E • n A

Bod v strede oboch vektorov označuje bodový produkt alebo skalárny produkt, ktorý je alternatívne definovaný takto:

Φ = E • n A = EAcos

Tučné písmo a šípky nad písmenom sú zdroje na rozlíšenie medzi vektorom a jeho veľkosťou, ktorá je označená normálnymi písmenami. Pretože cos 0 = 1, tok je maximálny, keď E a n sú rovnobežné.

Obrázok 6. Tok elektrického poľa závisí od orientácie medzi povrchom a elektrickým poľom. Zdroj: F. Zapata.

cvičenie

- Cvičenie 1

Na bodový objekt X pôsobia dve sily P a Q súčasne, obidve sily spočiatku medzi nimi zvierajú uhol 9. Čo sa stane s veľkosťou výslednej sily, keď 9 klesne na nulu?

Obrázok 7. Uhol medzi dvoma silami, ktoré pôsobia na telo, sa zmenšuje, až kým sa nezruší, v takom prípade veľkosť výslednej sily získa svoju maximálnu hodnotu. Zdroj: F. Zapata.

Riešenie

Veľkosť výslednej sily Q + P sa postupne zvyšuje až do maxima, keď sú Q a P úplne rovnobežné (obrázok 7 vpravo).

- Cvičenie 2

Uveďte, či je nulový uhol riešením nasledujúcej trigonometrickej rovnice:

Riešenie

Trigonometrická rovnica je rovnica, v ktorej je neznáma časťou argumentu trigonometrického pomeru. Na vyriešenie navrhovanej rovnice je vhodné použiť vzorec pre kosínus dvojitého uhla:

cos 2x = cos ² x - sin ² x

Pretože týmto spôsobom sa argument na ľavej strane stáva x namiesto 2x. takže:

cos ² x - sin ² x = 1 + 4 sin x

Na druhej strane cos ² x + sin ² x = 1, takže:

cos ² x - sin ² x = cos ² x + sin ² x + 4 sin x

Výraz cos ² x sa ruší a zostáva:

- sin ² x = sin ² x + 4 sin x → - ² sin ² x - 4 sinx = 0 → ² sin ² x + 4 sinx = 0

Teraz sa vykoná táto zmena premennej: sinx = u a rovnica sa stane:

2u ² + 4u = 0

2u (u + 4) = 0

Čí sú riešenia: u = 0 a u = -4. Vrátením zmeny by sme mali dve možnosti: sin x = 0 a sinx = -4. Toto posledné riešenie nie je životaschopné, pretože sínus ľubovoľného uhla je medzi -1 a 1, takže nám zostáva prvá alternatíva:

sin x = 0

Preto x = 0 ° je riešením, ale funguje aj akýkoľvek uhol, ktorého sínus je 0, ktorý môže byť tiež 180 ° (radiány π, 360 ° (2 π radians) a príslušné zápory).

Najbežnejšie riešenie trigonometrickej rovnice je: x = kπ, kde k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…. k celé číslo.

Referencie

1. Baldor, A. 2004. Rovinná a priestorová geometria s trigonometriou. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. Figueroa, D. (2005). Séria: Fyzika pre vedu a techniku. Zväzok 3. Časticové systémy. Editoval Douglas Figueroa (USB).
3. Figueroa, D. (2005). Séria: Fyzika pre vedu a techniku. Zväzok 5. Elektrická interakcia. Editoval Douglas Figueroa (USB).
4. OnlineMathLearning. Druhy uhlov. Obnovené z: onlinemathlearning.com.
5. Zill, D. 2012. Algebra, trigonometria a analytická geometria. McGraw Hill Interamericana.