Uhol vpísaný kruhu , je ten, ktorý má svoj vrchol na kružnici a jeho lúče sú sečné alebo tangenta k nej. V dôsledku toho bude zapísaný uhol vždy vypuklý alebo plochý.
Na obrázku 1 je znázornených niekoľko uhlov vyznačených na ich príslušných obvodoch. Uhol ∠EDF je vpísaný tak, že jeho vrchol D je po obvode a jeho dva lúče.
V rovnoramennom trojuholníku sú uhly susediace so základňou rovnaké, preto ∠BCO = ∠ABC = α. Na druhej strane ∠COB = 180º - β.
Vzhľadom na súčet vnútorných uhlov trojuholníka COB máme:
a + a + (180 ° - P) = 180 °
Z toho vyplýva, že 2 a = β alebo čo je ekvivalentné: α = β / 2. To súhlasí s tým, čo sa veta 1 uvádza: miera zapísaného uhla je polovica stredového uhla, ak obidva uhly spájajú rovnaký akord.
Ukážka 1b
Obrázok 6. Pomocná konštrukcia, ktorá ukazuje, že a = β / 2. Zdroj: F. Zapata s Geogebra.
V tomto prípade máme vpísaný uhol ∠ABC, v ktorom je stred O kruhu v uhle.
Ak chcete v tomto prípade dokázať vetu 1, nakreslite pomocný lúč) .push ({});
Podobne, stredový uhol p 1 a β 2 sú priľahlé k uvedenému lúč. Máme teda rovnakej situácii ako výstavný 1a, takže možno povedať, že α 2 = β 2 /2 a a 1 = β 1 /2. Ako α = α 1 + α 2 a β = β 1 + β 2 majú preto, že α = α 1 + α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2 ) / 2 = β / dva.
Na záver α = β / 2, ktorý spĺňa vetu 1.
- veta 2
Obrázok 7. Zaznamenané uhly rovnakej miery a, pretože spájajú rovnaký oblúk A⌒C. Zdroj: F. Zapata s Geogebra.
- Veta 3
Vložené uhly, ktoré spájajú akordy toho istého stupňa, sú rovnaké.
Obrázok 8. Vnorené uhly, ktoré tlmia akordy rovnakej miery, majú rovnaké rozmery β. Zdroj: F. Zapata s Geogebra.
Príklady
- Príklad 1
Ukážte, že vpísaný uhol, ktorý sa pripája k priemeru, je pravý uhol.
Riešenie
Stredový uhol ∠AOB spojený s priemerom je rovinný uhol, ktorého miera je 180 °.
Podľa vety 1 má každý uhol vyznačený na obvode, ktorý leží v rovnakom pásme (v tomto prípade je to priemer), mierku polovice stredového uhla, ktorý leží v rovnakom pásme, ktorý je v našom príklade 180 ° / 2 = 90 °.
Obrázok 9. Každý zapísaný uhol, ktorý sa pripája k priemeru, je pravý uhol. Zdroj: F. Zapata s Geogebra.
- Príklad 2
Čiara (BC) dotýkajúca sa bodu A k obvodu C určuje vpísaný uhol ∠BAC (pozri obrázok 10).
Overte, či je splnená veta 1 vnorených uhlov.
Obrázok 10. Zaznamenaný uhol BAC a jeho stredový vypuklý uhol AOA. Zdroj: F. Zapata s Geogebra.
Riešenie
Uhol ∠BAC je vpísaný, pretože jeho vrchol je po obvode a jeho strany [AB] a [AC) sú tangenciálne k obvodu, takže je definícia zapísaného uhla splnená.
Na druhej strane, vpísaný uhol ∠BAC tlmí oblúk A⌒A, čo je celý obvod. Stredový uhol, ktorý prechádza pod oblúkom A⌒A, je konvexný uhol, ktorého mierka je úplný uhol (360 °).
Zaznamenaný uhol, ktorý zasahuje celý oblúk, meria polovicu pridruženého stredového uhla, tj ∠BAC = 360 ° / 2 = 180 °.
Pri všetkých vyššie uvedených skutočnostiach sa overuje, či tento konkrétny prípad spĺňa vetu 1.
Referencie
- Baldor. (1973). Geometria a trigonometria. Stredoamerické kultúrne vydavateľstvo.
- EA (2003). Prvky geometrie: s cvičením a kompasovou geometriou. Univerzita v Medellíne.
- Geometria 1. ESO. Uhly po obvode. Získané z: edu.xunta.es/
- Celá veda. Navrhované cvičenia uhlov po obvode. Obnovené z: francesphysics.blogspot.com
- Wikipedia. Zapísaný uhol. Obnovené z: es.wikipedia.com