PREKRAČUJÚCE ČÍSLA: ČO TO SÚ, VZORCE, PRÍKLADY, CVIČENIA - MATEMATIKA - 2026

Tieto čísla transcendentálne , sú tie, ktoré nemôžu byť získaný ako v dôsledku polynomiálnej rovnice. Opakom transcendentného čísla je algebraické číslo, ktoré sú riešením polynómovej rovnice typu:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + …… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0

Ak koeficienty a _n , a _-1 , ….. a ₂ , a ₁ , a ₀ sú racionálne čísla, nazývané koeficienty polynómu. Ak je číslo x riešením predchádzajúcej rovnice, potom toto číslo nie je transcendentné.

Obrázok 1. Dve čísla, ktoré majú veľký význam vo vede, sú transcendentné čísla. Zdroj: publicdomainpictures.net.

Analyzujeme niekoľko čísel a uvidíme, či sú transcendentné alebo nie:

a) 3 nie je transcendentná, pretože je riešením x - 3 = 0.

b) -2 nemôže byť transcendentná, pretože je riešením x + 2 = 0.

c) ⅓ je roztok 3x - 1 = 0

d) Riešenie rovnice x ² - 2x + 1 = 0 je √2 -1, takže číslo podľa definície nie je transcendentné.

e) Ani √2 nie je, pretože je to výsledok rovnice x ² - 2 = 0. Štvorcom √2 sa získa 2, ktoré sa odpočíta od 2 rovná nule. Takže √2 je iracionálne číslo, ale nie je transcendentné.

Čo sú to transcendentné čísla?

Problém je v tom, že neexistuje všeobecné pravidlo, ako ich získať (povieme to neskôr), ale najznámejšie sú čísla pi a Neper, ktoré sú označené: π a e.

Číslo π

Číslo π sa prirodzene javí pozorovaním toho, že matematický kvocient medzi obvodom P kruhu a jeho priemerom D, bez ohľadu na to, či ide o malý alebo veľký kruh, vždy uvádza rovnaké číslo, ktoré sa nazýva pi:

π = P / D ≈ 3,14159 ……

To znamená, že ak sa priemer obvodu berie ako merná jednotka, pre všetky z nich, veľké alebo malé, bude obvod vždy P = 3,14… = π, ako je možné vidieť na animácii na obrázku 2.

Obrázok 2. Dĺžka obvodu kružnice je pi násobkom dĺžky priemeru, pričom pi je približne 3,1416.

Aby sa určilo viac desatinných miest, je potrebné zmerať P a D s väčšou presnosťou a potom vypočítať kvocient, ktorý sa urobil matematicky. Záver je taký, že desatinné miesta kvocientu nemajú koniec a nikdy sa neopakujú, takže číslo π okrem toho, že je transcendentné, je tiež iracionálne.

Iracionálne číslo je číslo, ktoré nemožno vyjadriť ako delenie dvoch celých čísel.

Je známe, že každé transcendentné číslo je iracionálne, ale nie je pravda, že všetky iracionálne čísla sú transcendentné. Napríklad √2 je iracionálny, ale nie je transcendentný.

Obrázok 3. Transcendentné čísla sú iracionálne, ale opak nie je pravdivý.

Číslo e

Transcendentné číslo e je základom prirodzených logaritmov a jeho desatinná aproximácia je:

a ≈ 2,718281828459045235360….

Ak by niekto chcel napísať číslo e presne, bolo by potrebné napísať nekonečné desatinné miesta, pretože každé transcendentné číslo je iracionálne, ako už bolo uvedené.

Prvých desať číslic e je ľahko zapamätateľných:

2,7 1828 1828, a hoci sa zdá, že sa opakuje, nedosahuje sa to v desatinných poriadkoch vyšších ako deväť.

Formálnejšia definícia e je nasledovná:

To znamená, že presná hodnota e sa získa vykonaním operácie uvedenej v tomto vzorci, keď prirodzené číslo n má sklon k nekonečnu.

Toto vysvetľuje, prečo môžeme získať iba aproximácie e, pretože bez ohľadu na to, aké veľké je číslo n, väčšie n je vždy možné nájsť.

Pozrime sa na niekoľko aproximácií ako takých:

- keď n = 100, potom (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2,70481, ktoré sa sotva zhoduje s prvým desatinným číslom so „skutočnou“ hodnotou e.

- Ak vyberiete n = 10 000, máte (1 + 1/10 000) ^{10 000} = 2 71815, čo sa zhoduje s „presnou“ hodnotou e na prvých troch desatinných miestach.

Tento proces by sa musel nekonečne sledovať, aby sa získala „skutočná“ hodnota e. Nemyslím si, že na to máme čas, ale skúsme ešte jednu:

Použime n = 100 000:

(1 + 1/100 000) ^{100 000} = 2,7182682372

To má iba štyri desatinné miesta, ktoré sa zhodujú s presnou hodnotou.

Dôležité je pochopiť, že čím vyššia je hodnota n zvolená na výpočet e _n , tým bližšie bude k skutočnej hodnote. Ale táto skutočná hodnota bude mať iba vtedy, keď je n nekonečné.

Obrázok 4. Graficky je znázornené, ako vyššia hodnota n, čím bližšia k e, ale aby sa dospelo k presnej hodnote n, musí byť nekonečná.

Iné dôležité čísla

Okrem týchto slávnych čísel existujú aj ďalšie transcendentné čísla, napríklad:

- 2 ^√2

-Číslo Champernowne v základni 10:

C_10 = 0,123456789101112131415161718192021 ….

-Číslo Champernowne v základni 2:

C_2 = 0,1101110010110111….

- Gama číslo γ alebo Euler-Mascheroniho konštanta:

y = 0,577 215 664 901 532 860 606

Získava sa pomocou nasledujúceho výpočtu:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)

Pretože keď n je veľmi veľké. Aby sme dostali presnú hodnotu gama čísla, bolo by potrebné urobiť výpočet s n nekonečnom. Niečo podobné tomu, čo sme urobili vyššie.

A existuje mnoho ďalších transcendentných čísel. Veľký matematik Georg Cantor, narodený v Rusku a žijúci medzi rokmi 1845 a 1918, ukázal, že množina transcendentných čísel je oveľa väčšia ako množina algebraických čísel.

Vzorce, v ktorých sa objaví transcendentné číslo π

Obvod obvodu

P = π D = 2 π R, kde P je obvod, D je priemer a R je polomer obvodu. Malo by sa pamätať na to, že:

- Priemer obvodu je najdlhšia časť, ktorá spája dva rovnaké body a ktorá vždy prechádza cez jeho stred,

- Polomer je polovicou priemeru a je segmentom, ktorý vedie od stredu k okraju.

Plocha kruhu

A = π R ² = ¼ π D ²

Povrch gule

S = 4 nR2 ^.

Áno, hoci sa to nemusí zdať, povrch gule je rovnaký ako povrch štyroch kruhov s rovnakým polomerom ako guľa.

Objem gule

V = 4/3 π R ³

cvičenie

- Cvičenie 1

Pizzeria „EXÓTICA“ predáva pizzy troch priemerov: malé 30 cm, stredné 37 cm a veľké 45 cm. Chlapec je veľmi hladný a uvedomil si, že dve malé pizze stoja rovnako ako jedna veľká. Čo bude pre neho lepšie, kúpiť dve malé pizze alebo jednu veľkú?

Obrázok 5.- Plocha pizze je úmerná druhej mocnine polomeru, pi je konštanta proporcionality. Zdroj: Pixabay.

Riešenie

Čím väčšia je plocha, tým väčšie množstvo pizze sa z tohto dôvodu vypočíta plocha veľkej pizze a porovná sa s plochou dvoch malých pizze:

Plocha veľkej pizze = ¼ π D ² = ¼ .13,1416⋅45 ² = 1590,44 cm ²

Plocha malej pizze = ¼ π d ² = ¼ .13,1416⋅30 ² = 706,86 cm ²

Preto budú mať dve malé pizze plochu

2 x 706,86 = 1413,72 cm ² .

Je to jasné: budete mať väčšie množstvo pizze, aby ste si kúpili jednu veľkú ako dve malé.

- Cvičenie 2

Pizzeria „EXÓTICA“ predáva aj hemisférickú pizzu s polomerom 30 cm za rovnakú cenu ako pravouhlá s rozmermi 30 x 40 cm na každej strane. Ktorý z nich by si si vybral?

Obrázok 6.- Povrch hemisféry je dvakrát kruhový povrch základne. Zdroj: F. Zapata.

Riešenie

Ako je uvedené v predchádzajúcej časti, povrch gule je štvornásobkom povrchu gule s rovnakým priemerom, takže pologuľka s priemerom 30 cm bude mať:

30 cm pologuľovitá pizza: 1413,72 cm ² (dvakrát kruhový kruh rovnakého priemeru)

Obdĺžnikový pizza: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm ² .

Hemisférická pizza má väčšiu plochu.

Referencie

1. Fernández J. Číslo e. Pôvod a zvedavosť. Obnovené z: soymatematicas.com
2. Užite si matematiku. Eulerovo číslo. Obnovené z: enjoylasmatematicas.com.
3. Figuera, J. 2000. Matematika 1.. Diverzifikované. Vydania CO-BO.
4. García, M. Číslo e v základných počtoch. Získané z: matematica.ciens.ucv.ve.
5. Wikipedia. Číslo PI. Obnovené z: wikipedia.com
6. Wikipedia. Nadprirodzené čísla. Obnovené z: wikipedia.com