RACIONÁLNE ČÍSLA: VLASTNOSTI, PRÍKLADY A OPERÁCIE - MATEMATIKA - 2026

Tieto racionálne čísla sú všetky čísla môžu byť získané ako delenie dvoch celých čísel. Príklady racionálnych čísel sú: 3/4, 8/5, -16/3 a tie, ktoré sú uvedené na nasledujúcom obrázku. V racionálnom čísle je uvedený kvocient, ktorý je možné urobiť neskôr, ak je to potrebné.

Obrázok predstavuje akýkoľvek predmet, okrúhly pre väčšie pohodlie. Ak ju chceme rozdeliť na 2 rovnaké časti, ako v pravej časti, máme dve polovice a každá má hodnotu 1/2.

Obrázok 1. Racionálne čísla sa používajú na rozdelenie celku na niekoľko častí. Zdroj: Freesvg.

Rozdelením do 4 rovnakých častí získame 4 kusy a každá z nich má hodnotu 1/4, ako na obrázku v strede. A ak sa musí rozdeliť na 6 rovnakých častí, každá časť by mala hodnotu 1/6, čo vidíme na obrázku vľavo.

Samozrejme by sme to mohli rozdeliť aj na dve nerovnaké časti, napríklad sme si mohli ponechať 3/4 časti a ušetriť 1/4 časti. Možné sú aj ďalšie delenia, napríklad 4/6 diely a 2/6 diely. Dôležité je, že súčet všetkých častí je 1.

Týmto spôsobom je zrejmé, že racionálnymi číslami môžete rozdeliť, počítať a distribuovať veci ako jedlo, peniaze, pôdu a všetky druhy predmetov v zlomkoch. A tak sa rozširuje počet operácií, ktoré je možné vykonávať s číslami.

Racionálne čísla sa dajú vyjadriť aj v desiatkovej forme, ako je zrejmé z nasledujúcich príkladov:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333 …

3/4 = 0,75

1/7 = 0,142857142857142857 ………

Neskôr ukážeme, ako prejsť z jednej formy do druhej s príkladmi.

Vlastnosti racionálnych čísel

Racionálne čísla, ktorých množinu označíme písmenom Q, majú nasledujúce vlastnosti:

-Q obsahuje prirodzené čísla N a celé čísla Z.

Berúc do úvahy, že akékoľvek číslo a sa dá vyjadriť ako kvocient medzi ním a 1, je ľahké vidieť, že medzi racionálnymi číslami sú aj prirodzené čísla a celé čísla.

Prirodzené číslo 3 teda môžeme písať ako zlomok a tiež -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

Týmto spôsobom je Q numerická množina, ktorá obsahuje väčší počet čísiel, čo je veľmi potrebné, pretože „okrúhle“ čísla nie sú dostatočné na opísanie všetkých možných operácií.

- Racionálne čísla sa môžu sčítavať, odčítavať, násobiť a deliť, výsledkom operácie je racionálne číslo: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

- Medzi každou dvojicou racionálnych čísel je vždy možné nájsť ďalšie racionálne číslo. V skutočnosti medzi dvoma racionálnymi číslami sú nekonečné racionálne čísla.

Napríklad medzi racionálmi 1/4 a 1/2 sú racionály 3/10, 7/20, 2/5 (a mnoho ďalších), ktoré je možné overiť ich vyjadrením ako desatinné miesta.

- Každé racionálne číslo možno vyjadriť ako: i) celé číslo alebo ii) obmedzené (prísne) alebo periodické desatinné miesto: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,16666666 ……

- Rovnaké číslo môžu predstavovať nekonečné ekvivalentné zlomky a všetky patria do skupiny Q. Pozrime sa na túto skupinu:

Všetci predstavujú desatinné miesto 0,428571 …

- Pokiaľ sú všetky ekvivalentné frakcie, ktoré predstavujú rovnaké číslo, kanadickým zástupcom tohto čísla neredukovateľná frakcia, najjednoduchšia zo všetkých. Kanonický predstaviteľ vyššie uvedeného príkladu je 3/7.

Obrázok 2.- Množina Q racionálnych čísel. Zdroj: Wikimedia Commons. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

Príklady racionálnych čísel

- Vlastné zlomky, tie, v ktorých je čitateľ menší ako menovateľ:

- zlomkové zlomky, ktorých čitateľ je väčší ako menovateľ:

-Naturálne čísla a celé čísla:

- ekvivalentné frakcie:

Desatinné zobrazenie racionálneho čísla

Ak je čitateľ vydelený menovateľom, nájde sa desatinná forma racionálneho čísla. Napríklad:

2/5 = 0,4

3/8 = 0,375

1/9 = 0,111111…

6/11 = 0,545454…

V prvých dvoch príkladoch je počet desatinných miest obmedzený. To znamená, že po rozdelení sa nakoniec získa zvyšok 0.

Na druhej strane, v nasledujúcich dvoch je počet desatinných miest nekonečný, a preto sú umiestnené elipsy. V druhom prípade existuje vzor v desatinných miestach. V prípade zlomku 1/9 sa číslo 1 opakuje neurčito, zatiaľ čo v 6/11 je to 54.

Ak k tomu dôjde, desatinné číslo sa považuje za periodické a označuje ho zástupný znak:

Transformujte desatinné miesto na zlomok

Ak ide o obmedzené desatinné miesto, čiarka sa jednoducho odstráni a menovateľ sa stáva jednotkou, za ktorou nasleduje nula, ako je počet desatinných miest. Napríklad, ak chcete transformovať desatinné číslo 1,26 na zlomok, napíšte ho takto:

1,26 = 126/100

Výsledná frakcia sa potom maximálne zjednoduší:

126/100 = 63/50

Ak je desatinné miesto neobmedzené, najskôr sa zistí obdobie. Nasledujú tieto kroky na nájdenie výslednej frakcie:

- Čitateľ je odpočítaním medzi číslom (bez čiarky alebo zástupného znaku) a časťou, ktorá nemá zástupný znak.

- Menovateľ je celé číslo s rovnakým počtom 9, ako sú čísla pod obvodom, a toľko 0, ako sú čísla v desatinnej časti, ktoré nie sú pod obvodom.

Poďme nasledovať tento postup na transformáciu desatinného čísla 0.428428428 … na zlomok.

- Najprv je identifikovaná perióda, čo je sekvencia, ktorá sa opakuje: 428.

- Po vykonaní operácie sa odpočítava číslo bez čiarky alebo prízvuku: 0428 od časti, ktorá nemá obrez, ktorý je 0. Zostáva takto 428 - 0 = 428.

- Menovateľ je skonštruovaný s vedomím, že pod obvodom sú 3 obrázky a všetky sú pod obvodom. Preto je menovateľ 999.

- Nakoniec sa frakcia vytvorí a podľa možnosti zjednoduší:

0,428 = 428/999

Nie je možné viac zjednodušiť.

Operácie s racionálnymi číslami

- Sčítanie a odčítanie

Zlomky s rovnakým menovateľom

Ak majú zlomky rovnaký menovateľ, sčítanie a / alebo odčítanie je veľmi jednoduché, pretože čitatelia sa jednoducho pridávajú algebraicky, pričom rovnaké ako sčítania sa pridávajú ako menovateľ výsledku. Nakoniec, ak je to možné, je to zjednodušené.

príklad

Vykonajte nasledujúce algebraické sčítanie a zjednodušte výsledok:

Výsledná frakcia je už neredukovateľná.

Zlomky s rôznymi menovateľmi

V tomto prípade sa doplnkové látky nahradia ekvivalentnými frakciami s rovnakým menovateľom a potom sa použije už opísaný postup.

príklad

Algebraicky pridajte nasledujúce racionálne čísla, čo zjednoduší výsledok:

Kroky sú:

- Stanovte najmenší spoločný násobok (lcm) menovateľov 5, 8 a 3:

lcm (5,8,3) = 120

Toto bude menovateľ výslednej frakcie bez zjednodušenia.

- Pre každú frakciu: vydelte LCM menovateľom a vynásobte čitateľom. Výsledok tejto operácie sa spolu s príslušným znamienkom vloží do čitateľa zlomku. Týmto spôsobom sa získa frakcia ekvivalentná originálu, ale s LCM ako menovateľom.

Napríklad pre prvú frakciu je čitateľ skonštruovaný takto: (120/5) x 4 = 96 a dostaneme:

Rovnakým spôsobom postupujte pri zvyšných frakciách:

Nakoniec sa ekvivalentné zlomky nahradia bez zabudnutia ich znamienka a vykoná sa algebraický súčet čitateľov:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Násobenie a delenie

Násobenie a delenie sa vykonáva podľa pravidiel uvedených nižšie:

Obrázok 3. Pravidlá znásobovania a delenia racionálnych čísel. Zdroj: F. Zapata.

V každom prípade je dôležité pamätať na to, že množenie je komutatívne, čo znamená, že poradie faktorov nemení produkt. Toto sa nestane pri rozdelení, preto je potrebné dbať na to, aby sa dodržiavalo poradie medzi dividendami a deliteľmi.

Príklad 1

Vykonajte nasledujúce operácie a zjednodušte výsledok:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4/5) ÷ (2/9)

Odpoveď na

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Odpoveď b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

Príklad 2

Luisa mala 45 dolárov. Strávil desatinu nákupom knihy a 2/5 toho, čo zostalo na tričku. Koľko peňazí zostáva Luisa? Výsledok vyjadrte ako neredukovateľnú frakciu.

Riešenie

Cena knihy (1/10) x 45 USD = 0,1 x 45 USD = 4,5 USD

Preto Luisa zostala s:

45 - 4,5 $ = 40,5 $

S týmito peniazmi šla Luisa do obchodu s odevmi a kúpila si tričko, ktorého cena je:

(2/5) x 40,5 = 16,2 $

Teraz má Luisa vo svojom portfóliu:

40,5 - 16,2 $ = 24,3 $

Aby sme to vyjadrili ako zlomok, píšeme takto:

24,3 = 243/10

To je nezmeniteľné.

Referencie

1. Baldor, A. 1986. Aritmetika. Kodex vydaní a distribúcií.
2. Carena, M. 2019. Manuál matematiky. Národná univerzita v Litorale.
3. Figuera, J. 2000. Matematika 8. Ediciones Co-Bo.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Racionálne čísla. Získané z: Cimanet.uoc.edu.
6. Racionálne čísla. Obnovené z: webdelprofesor.ula.ve.