PRVOČÍSLA: CHARAKTERISTIKY, PRÍKLADY, CVIČENIA - MATEMATIKA - 2026

Tieto prvočísla , tiež nazývaný primárne absolútnu, sú tie, prirodzené čísla, ktoré sú iba deliteľné seba a 1. Táto kategória čísla, ako 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 a mnoho plus.

Namiesto toho je zložené číslo deliteľné samo o sebe číslom 1 a aspoň jedným ďalším číslom. Máme napríklad 12, ktoré je deliteľné 1, 2, 4, 6 a 12. Podľa konvencie 1 nie je zaradený do zoznamu prvočísel alebo do zoznamu zlúčenín.

Obrázok 1. Niektoré prvočísla. Zdroj: Wikimedia Commons.

Znalosť prvočísel sa datuje do staroveku; starí Egypťania ich už používali a určite boli známe už dávno.

Tieto čísla sú veľmi dôležité, pretože akékoľvek prirodzené číslo môže byť vyjadrené súčinom prvočísel, pričom toto zobrazenie je jedinečné, s výnimkou poradia faktorov.

Táto skutočnosť je plne zakotvená v teórii nazývanej základná veta aritmetiky, ktorá uvádza, že čísla, ktoré nie sú prvočísla, sa nevyhnutne skladajú z produktov čísel, ktoré sú prvočísla.

Vlastnosti prvočísel

Tu sú hlavné charakteristiky prvočísel:

- Sú nekonečné, pretože bez ohľadu na to, aké veľké je prvočíslo, vždy nájdete väčšie.

- Ak prvočíslo p presne nerozdeľuje ďalšie číslo a, potom sa hovorí, že p a a sú navzájom prvočíselné. Ak k tomu dôjde, jediný spoločný deliteľ, ktorý majú obidve, je 1.

Nie je potrebné, aby bol absolútnym prvkom. Napríklad 5 je prvočíslo, a hoci 12 nie je, obidve čísla sú medzi prvočíslami, pretože obe majú 1 ako spoločného deliteľa.

- Ak prvočíslo p delí mocninu čísla n, delí tiež n. Zoberme si 100, čo je moc 10, konkrétne 10 ² . Stáva sa, že 2 delia 100 aj 10.

-Všetky prvočísla sú nepárne, s výnimkou čísla 2, preto jej posledná číslica je 1, 3, 7 alebo 9. 5 nie je zahrnutá, pretože hoci je nepárne a prvočíslo, nikdy to nie je konečná číslica iného prvočísla. V skutočnosti všetky čísla končiace na 5 sú násobky tohto čísla, a preto nie sú prvotné.

-Ak je p prvočíslom a deliteľom súčinu dvoch čísiel ab, potom p jedno rozdelí. Napríklad prvočíslo 3 delí produkt 9 x 11 = 99, pretože 3 je deliteľ 9.

Ako zistiť, či je číslo prvočíslo

Primalita je názov, ktorý sa dáva kvalite kvality. Francúzsky matematik Pierre de Fermat (1601 - 1665) našiel spôsob, ako overiť prvotnosť čísla, v takzvanej malej vete Fermata, ktorá hovorí:

"Vzhľadom na prvočíselné prirodzené číslo p a akékoľvek prirodzené číslo väčšie ako 0 je pravda, že ^p - a je násobkom p, pokiaľ je p prvočíslo".

Môžeme to potvrdiť malými číslami, napríklad predpokladajme, že p = 4, o ktorých už vieme, že nie sú prvoradé a už = 6:

6 ⁴ - 6 = 1296 - 6 = 1290

Číslo 1290 nie je presne deliteľné číslom 4, preto číslo 4 nie je prvočíslo.

Urobme teraz test s p = 5, ktorý je prvočíselný a ya = 6:

6 ⁵ - 6 = 7766 - 6 = 7760

7760 je deliteľné číslom 5, pretože akékoľvek číslo, ktoré končí číslom 0 alebo 5, je. V skutočnosti 7760/5 = 1554. Pretože Fermatova malá veta platí, môžeme zabezpečiť, aby 5 bolo prvočíslo.

Dôkaz prostredníctvom teorémy je účinný a priamy pri malom počte, v ktorom je operácia ľahko vykonateľná, ale čo robiť, ak sa od nás požaduje, aby sme zistili prvotnosť veľkého počtu?

V takom prípade sa číslo postupne delí medzi všetky menšie prvočísla, až kým sa nenájde presné delenie alebo kým je kvocient menší ako deliteľ.

Ak je akékoľvek delenie presné, znamená to, že číslo je zložené a ak je kvocient menší ako deliteľ, znamená to, že číslo je prvotné. Uvedieme to do praxe v riešenom cvičení 2.

Spôsoby, ako nájsť prvočíslo

Existuje nekonečne veľa prvočísel a neexistuje jediný vzorec, ktorý by ich určoval. Pri pohľade na niektoré prvočísla, ako sú tieto:

3, 7, 31, 127 …

Zistilo sa, že majú formu 2 ⁿ - 1, kde n = 2, 3, 5, 7, 9 … Zabezpečujeme to:

2 ² - 1 = 4 - 1 = 3 ; 2 ³ - 1 = 8 - 1 = 7 ; 2 ⁵ - 1 = 32 - 1 = 31 ; 2 ⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

Nemôžeme však zaručiť, že 2 ⁿ - 1 je vo všeobecnosti prvoradý, pretože existujú určité hodnoty n, pre ktoré nefunguje, napríklad 4:

2 ⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

A číslo 15 nie je prvoradé, pretože končí číslom 5. Jeden z najväčších známych prvočísel, ktorý sa zistil pomocou počítačových výpočtov, má však tvar 2 ⁿ - 1 s:

n = 57,885,161

Mersenneho vzorec nás uisťuje, že 2 ^p - 1 je vždy prvoradá, pokiaľ je p prvočísla. Napríklad 31 je prvoradý, takže je isté, že 2 ³¹ - 1 je tiež prvoradý :

2 ³¹ - 1 = 2 147 483 647

Vzorec vám však umožňuje určiť iba niektoré prvočísla, nie všetky.

Eulerov vzorec

Nasledujúci polynóm umožňuje nájsť prvočísla za predpokladu, že n je medzi 0 a 39:

P (n) = n ² + n + 41

Neskôr v časti riešených cvičení je príklad jeho použitia.

Sito Eratosthenesovej

Eratosthenes bol fyzik a matematik zo starovekého Grécka, ktorý žil v 3. storočí pred naším letopočtom. Navrhol grafickú metódu na nájdenie prvočísel, ktoré môžeme uviesť do praxe s malými číslami, nazýva sa Eratosthenesovým sitom (sito je ako sito).

- Čísla sú umiestnené v tabuľke, ako je uvedená v animácii.

- Rovné čísla sa potom preškrtnú, s výnimkou dvoch, o ktorých vieme, že sú prvoradé. Všetky ostatné sú násobky tohto, a preto nie sú prvotriedne.

-Viacnásobky 3, 5, 7 a 11 sú tiež označené, všetky z nich sú vylúčené, pretože vieme, že sú prvotriedne.

- násobky 4, 6, 8, 9 a 10 sú už označené, pretože sú zložené, a preto násobky niektorých z uvedených prvočísel.

- Nakoniec čísla, ktoré zostanú neoznačené, sú prvoradé.

Obrázok 2. Animácia sita Eratosthenes. Zdroj: Wikimedia Commons.

cvičenie

- Cvičenie 1

Pomocou Eulerovho polynómu pre prvočísla nájdite 3 čísla väčšie ako 100.

Riešenie

Toto je polynóm, ktorý Euler navrhol, aby našiel prvočísla, ktorá pracuje pre hodnoty n medzi 0 a 39.

P (n) = n ² + n + 41

Na základe pokusu a omylu vyberieme hodnotu n, napríklad n = 8:

P (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

Pretože n = 8 vytvára prvočíslo väčšie ako 100, hodnotíme polynóm pre n = 9 a n = 10:

P (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

P (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- Cvičenie 2

Zistite, či sú nasledujúce čísla prvoradé:

a) 13

b) 191

Riešenie

13 je dosť malý na použitie Fermatovej malej vety a pomocou kalkulačky.

Používame a = 2, takže čísla nie sú príliš veľké, aj keď je možné použiť aj a = 3, 4 alebo 5:

2 ¹³ - 2 = 8190

8190 je deliteľné číslom 2, pretože je párne, preto 13 je prvoradé. Čitateľ to môže potvrdiť rovnakým testom s a = 3.

Riešenie b

191 je príliš veľká na to, aby sa dokázala veta a spoločná kalkulačka, ale môžeme nájsť rozdelenie medzi každé prvočíslo. Vynecháme delenie 2, pretože 191 nie je rovnomerné a delenie nebude presné alebo kvocient menšie ako 2.

Snažíme sa deliť 3:

191/3 = 63 666 …

A nedáva presný údaj, ani je kvocient menší ako deliteľ (63 666 … je väčší ako 3)

Pokračujeme teda v rozdelení 191 medzi prvočísla 5, 7, 11, 13 a presné rozdelenie nie je dosiahnuté ani kvocient menší ako deliteľ. Pokiaľ nie je delený číslom 17:

191/17 = 11, 2352 …

Pretože to nie je presné a 11.2352 … je menšie ako 17, číslo 191 je prvočíslo.

Referencie

1. Baldor, A. 1986. Aritmetika. Kodex vydaní a distribúcií.
2. Prieto, C. Prvočísla. Získané z: paginas.matem.unam.mx.
3. Vlastnosti prvočísel. Získané z: mae.ufl.edu.
4. Smartick. Počiatočné čísla: ako ich nájsť s Eratosthenesovým sitom. Obnovené z: smartick.es.
5. Wikipedia. Prvočíslo. Obnovené z: es.wikipedia.org.