IRACIONÁLNE ČÍSLA: HISTÓRIA, VLASTNOSTI, KLASIFIKÁCIA, PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2026

Tieto iracionálne čísla sú tie, ktorých expresia je nekonečné čísla desatinných bez opakujúceho sa vzoru, preto nemôže byť získané z pomeru medzi dvoma celými číslami.

Medzi najznámejšie iracionálne čísla patria:

Obrázok 1. Zhora nadol tieto iracionálne čísla: pi, Eulerovo číslo, zlatý pomer a dva korene štvorca. Zdroj: Pixabay.

Medzi nimi je bezpochyby π (pi) najznámejší, ale je ich omnoho viac. Všetky patria do množiny reálnych čísel, čo je číselná množina, ktorá zoskupuje racionálne a iracionálne čísla.

Elipsa na obrázku 1 naznačuje, že desatinné miesta pokračujú neurčito, čo sa stane, že priestor bežných kalkulačiek umožňuje zobraziť iba niekoľko.

Ak sa pozrieme pozorne, vždy, keď urobíme kvocient medzi dvoma celými číslami, dostaneme desatinné miesto s obmedzenými číslicami alebo ak nie, s nekonečnými číslami, v ktorých sa opakuje jedna alebo viac. To sa nestáva s iracionálnymi číslami.

História iracionálnych čísel

Veľký staroveký matematik Pythagoras, narodený v roku 582 pnl. Máme to tu naľavo (Babyloňania to možno poznali už dávno).

Obrázok 2. Pythagorova veta sa aplikovala na trojuholník so stranami rovnými 1. Zdroj: Pixabay / Wikimedia Commons.

Keď Pythagoras (alebo pravdepodobne jeho učeník) aplikoval vetu na pravouhlý trojuholník so stranami rovnými 1, našiel iracionálne číslo √2.

Urobil to takto:

c = √1 ² + 1 ² = √1 + 1 = √2

Okamžite si uvedomil, že toto nové číslo nepochádza z podielu medzi dvoma ďalšími prirodzenými číslami, ktoré boli tie známe v tom čase.

Preto to nazval iracionálne a tento objav spôsobil medzi Pythagorejcami veľké znepokojenie a zmätok.

Vlastnosti iracionálnych čísel

-The množina všetkých iracionálnych čísel je označená písmenom I a niekedy ako Q * alebo Q ^C . Spojenie medzi iracionálnymi číslami I alebo Q * a racionálnymi číslami Q vedie k množine reálnych čísel R.

- S iracionálnymi číslami je možné vykonávať známe aritmetické operácie: sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie, splnomocnenie a ďalšie.

- Delenie 0 nie je definované aniracionálnymi číslami.

- Súčet a súčin medzi iracionálnymi číslami nemusí byť nevyhnutne ďalším iracionálnym číslom. Napríklad:

√2 x √8 = √16 = 4

A 4 nie je iracionálne číslo.

- Suma racionálneho čísla plus iracionálneho čísla však poskytuje iracionálny výsledok. Touto cestou:

1 + √2 = 2,41421356237…

- Produkt racionálneho čísla odlišného od 0 iracionálnym číslom je tiež iracionálny. Pozrime sa na tento príklad:

2 x =2 = 2,828427125…

- Inverzia iracionálnych výsledkov vedie k inému iracionálnemu číslu. Vyskúšajte niektoré:

1 / √2 = 0,707106781…

1 / √3 = 0,577350269…

Tieto čísla sú zaujímavé, pretože sú tiež hodnotami niektorých trigonometrických pomerov známych uhlov. Väčšina trigonometrických pomerov sú iracionálne čísla, existujú však výnimky, ako je napríklad sin 30º = 0,5 = ½, čo je racionálne.

- V súčte sú splnené komutatívne a asociatívne vlastnosti. Ak a a b sú dve iracionálne čísla, znamená to, že:

a + b = b + a.

A ak c je iné iracionálne číslo, potom:

(a + b) + c = a + (b + c).

- Distribučná vlastnosť násobenia s ohľadom na sčítanie je ďalšia známa vlastnosť, ktorá platí aj pre iracionálne čísla. V tomto prípade:

a. (b + c) = ab + ac

-Na iracionálne má svoj opak: -a. Ak sa spočítajú, výsledok je 0:

a + (- a) = 0

- Medzi dvoma rôznymi racionálmi existuje aspoň jedno iracionálne číslo.

Umiestnenie iracionálneho čísla na skutočnej linke

Reálna čiara je vodorovná čiara, kde sa nachádzajú skutočné čísla, z ktorých iracionálne čísla sú dôležitou súčasťou.

Na nájdenie iracionálneho čísla na reálnej línii v geometrickej podobe môžeme použiť Pythagorovu teóriu, pravítko a kompas.

Ako príklad ukážeme umiestnenie √5 na reálnej čiare, pre ktorú nakreslíme pravouhlý trojuholník so stranami x = 2 a y = 1, ako je to znázornené na obrázku:

Obrázok 3. Metóda lokalizácie iracionálneho čísla na reálnej línii. Zdroj: F. Zapata.

Podľa Pythagorovej vety je prepona takéhoto trojuholníka:

c = √2 ² + 1 ² = √4 + 1 = √5

Teraz je kompas umiestnený s bodom na 0, kde je tiež jeden z vrcholov pravého trojuholníka. Špička kompasovej ceruzky by mala byť na vrchole A.

Nakreslí sa kruhový oblúk, ktorý rezne na skutočnú čiaru. Pretože vzdialenosť medzi stredom obvodu a akýmkoľvek bodom na ňom je polomer, ktorý sa rovná √5, priesečník je tiež vzdialený √5 od stredu.

Z grafu je zrejmé, že √5 je medzi 2 a 2,5. Kalkulačka nám dáva približnú hodnotu:

5 = 2,236068

A tak postavením trojuholníka s príslušnými stranami sa dajú nájsť iracionálne, ako napríklad √7 a ďalšie.

Klasifikácia iracionálnych čísel

Iracionálne čísla sú rozdelené do dvoch skupín:

-Algebraic

-Vedomé alebo transcendentálne

Algebraické čísla

Algebraické čísla, ktoré môžu alebo nemusia byť iracionálne, sú riešenia polynomiálnych rovníc, ktorých všeobecná podoba je:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +…. + a ₁ x + a _o = 0

Príkladom polynómovej rovnice je kvadratická rovnica, ako je táto:

x ³ - 2x = 0

Je ľahké ukázať, že iracionálne číslo √2 je jedným z riešení tejto rovnice.

Nadprirodzené čísla

Na druhej strane, transcendentné čísla, hoci sú iracionálne, nikdy nevznikajú ako riešenie polynómovej rovnice.

Transcendentné čísla, ktoré sa najčastejšie vyskytujú v aplikovanej matematike, sú π, vzhľadom na jej vzťah k obvodu a číslo e, alebo Eulerovo číslo, ktoré je základom prirodzených logaritmov.

cvičenie

Sivý štvorec sa umiestni na čierny štvorec v polohe vyznačenej na obrázku. Územie čiernym štvorcom je známe, že je 64 cm ² . Koľko sú dĺžky oboch štvorcov?

Obrázok 4. Dva štvorce, z ktorých chceme nájsť dĺžku strán. Zdroj: F. Zapata.

odpoveď

Plocha štvorca so stranou L je:

A = L ²

Pretože oblasť čierneho štvorca má plochu 64 cm ² , jej strana musí byť 8 cm.

Toto meranie je rovnaké ako uhlopriečka šedého štvorca. Ak použijeme pythagorovskú vetu na túto uhlopriečku a nezabúdame na to, že strany štvorca zmerajú to isté, budeme mať:

8 ² = L _g ² + L _g ²

Kde L _g je strana sivého štvorca.

Preto: 2 1 _g ² = 8 ²

Aplikácia druhej odmocniny na obe strany rovnosti:

L _g = (8 / √2) cm

Referencie

1. Carena, M. 2019. Preduniverzitná matematická príručka. Národná univerzita v Litorale.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 9.. Stupeň. Vydania CO-BO.
3. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Vzdelávací portál. Iracionálne čísla a ich vlastnosti. Obnovené z: portaleducativo.net.
5. Wikipedia. Iracionálne čísla. Obnovené z: es.wikipedia.org.