IMAGINÁRNE ČÍSLA: VLASTNOSTI, APLIKÁCIE, PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2026

Predstavivými číslami sú tie, ktoré riešia rovnicu, v ktorej sa neznáme, vyvýšené na štvorec rovná zápornému reálnemu číslu. Imaginárna jednotka je i = √ (-1).

V rovnici: z ² = - a, z je imaginárne číslo, ktoré je vyjadrené takto:

z = √ (-a) = i√ (a)

Byť pozitívnym skutočným číslom. Ak a = 1, potom z = i, kde i je imaginárna jednotka.

Obrázok 1. Zložitá rovina znázorňujúca niektoré skutočné čísla, niektoré imaginárne čísla a niektoré zložité čísla. Zdroj: F. Zapata.

Vo všeobecnosti je čisto imaginárne číslo z vždy vyjadrené v tvare:

z = y⋅i

Kde y je skutočné číslo a i je imaginárna jednotka.

Rovnako ako sú skutočné čísla zobrazené na riadku, ktorý sa nazýva skutočný riadok, podobne sa na imaginárnom riadku zobrazujú imaginárne čísla.

Imaginárna čiara je vždy pravouhlá (90 ° tvar) k skutočnej čiare a tieto dve čiary definujú karteziánsku rovinu nazývanú komplexná rovina.

Na obrázku 1 je znázornená komplexná rovina a na nej sú znázornené niektoré reálne čísla, niektoré imaginárne čísla a tiež niektoré komplexné čísla:

X ₁ , X ₂ , X ₃ sú reálne čísla

Y ₁ , Y ₂ , Y ₃ sú imaginárne čísla

Z ₂ a Z ₃ sú komplexné čísla

Číslo O je skutočná nula a tiež imaginárna nula, takže pôvod O je komplexná nula vyjadrená:

0 + 0i

vlastnosti

Množinu imaginárnych čísel označujú:

I = {……, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., I,…., 2i,…., 3i, ……}

A môžete definovať niektoré operácie v tejto číselnej množine. Z týchto operácií nie je vždy možné získať imaginárne číslo, preto sa na ne pozrime podrobnejšie:

Pridajte a odčítajte imaginárny obsah

Imaginárne čísla sa môžu navzájom odčítavať a odčítavať, čo vedie k novému imaginárnemu číslu. Napríklad:

3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Produkt imaginárny

Ak sa vytvorí produkt jedného imaginárneho čísla s druhým, výsledkom je skutočné číslo. Na kontrolu skontrolujte nasledujúcu operáciu:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

A ako vidíme, -6 je skutočné číslo, hoci sa získalo vynásobením dvoch čistých imaginárnych čísel.

Produkt reálneho čísla iným imaginárnym

Ak sa skutočné číslo vynásobí i, výsledkom bude imaginárne číslo, ktoré zodpovedá 90-stupňovej rotácii proti smeru hodinových ručičiek.

A to je to, že aj ² zodpovedá dvoch po sebe nasledujúcich otáčok 90 stupňov, čo je ekvivalentné vynásobením -1, to znamená, že aj ² = -1. Je vidieť na nasledujúcom diagrame:

Obrázok 2. Násobenie imaginárnou jednotkou i zodpovedá 90 ° otáčkam proti smeru hodinových ručičiek. Zdroj: wikimedia commons.

Napríklad:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

Posilnenie imaginárneho postavenia

Môžete zadefinovať potenciáciu imaginárneho čísla exponentu celého čísla:

i ¹ = i

i ² = IXI = √ (-1) x √ (-1) = -1

i ³ = IXI ² = -i

i ⁴ = i ² xi ² = -1 x -1 = 1

i ⁵ = IXI ⁴ = i

Všeobecne platí, že i ⁿ = i ^ (n mod 4), kde mod je zvyšok rozdelenia medzi n a 4.

Negatívne celočíselné zosilnenie sa môže vykonať aj:

i ^-1 = 1 / i ¹ = i / (ixi ¹ ) = i / (i ² ) = i / (-1) = -i

i- ² = 1 / i ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

Všeobecne je imaginárne číslo b⋅i zvýšené na moc n:

(b⋅i) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n mod 4)

Uvádzame niekoľko príkladov:

(5 i) ¹² = 5 ¹² i ¹² = 5 ¹² i ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

( 5i ) ¹¹ = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ aj ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1024

Súčet skutočného čísla a imaginárneho čísla

Ak pridáte skutočné číslo s imaginárnym číslom, výsledok nie je skutočný ani imaginárny, je to nový typ čísla nazývaného komplexné číslo.

Napríklad, ak X = 3,5 a Y = 3,75i, výsledkom je komplexné číslo:

Z = X + Y = 3,5 + 3,75 i

Všimnite si, že v súčte nemožno reálne a imaginárne časti zoskupiť, takže komplexné číslo bude mať vždy skutočnú a imaginárnu časť.

Táto operácia rozširuje množinu reálnych čísel na najširšie komplexné čísla.

aplikácia

Názov imaginárnych čísel navrhol francúzsky matematik René Descartes (1596 - 1650) ako výsmech alebo nesúhlas s návrhom toho istého, ktorý urobil taliansky matematik storočia Raffaelle Bombelli.

Ďalší veľkí matematici, napríklad Euler a Leibniz, podporili Descartesa v tomto nesúlade a nazvali imaginárnymi číslami obojživelné čísla, ktoré boli roztrhané medzi bytím a ničím.

Názov imaginárnych čísiel zostáva dodnes, ale ich existencia a význam sú veľmi reálne a hmatateľné, pretože sa prirodzene objavujú v mnohých oblastiach fyziky, ako napríklad:

- Teória relativity.

- V elektromagnetizme.

-Kvantová mechanika.

Cvičenia s imaginárnymi číslami

- Cvičenie 1

Nájdite riešenia tejto rovnice:

z ² + 16 = 0

Riešenie

z ² = -16

Pri oboch odmocninách máme:

√ (z ² ) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

Inými slovami, riešenia pôvodnej rovnice sú:

z = + 4i oz = -4i.

- Cvičenie 2

Nájdite výsledok zvýšenia imaginárnej jednotky na výkon 5 mínus odpočet imaginárnej jednotky zvýšenej na výkon -5.

Riešenie

i ⁵ - i- ⁵ = i ⁵ - 1 / i ⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (IXI) = i - i / (- 1) = i + i = 2i

- Cvičenie 3

Nájdite výsledok nasledujúcej operácie:

(3i) ³ + 9i

Riešenie

3 ³ i ³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Cvičenie 4

Nájdite riešenia nasledujúcej kvadratickej rovnice:

(-2x) ² + 2 = 0

Riešenie

Rovnica je usporiadaná takto:

(-2x) ² = -2

Potom sa vezme druhá odmocnina oboch členov

√ ((- 2x) ² ) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

Potom vyriešime x, aby sme konečne získali:

x = ± 2/2 i

To znamená, že existujú dve možné riešenia:

x = (-2/2) i

Alebo iné:

x = - (-2/2) i

- Cvičenie 5

Nájdite hodnotu Z definovanú:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Riešenie

Vieme, že druhá odmocnina záporného reálneho čísla je imaginárne číslo, napríklad √ (-9) sa rovná √ (9) x √ (-1) = 3i.

Na druhej strane, √ (-4) sa rovná √ (4) x √ (-1) = 2i.

Pôvodná rovnica tak môže byť nahradená:

3i x 2i - 7 = 6 i ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6-7 = -13

- Cvičenie 6

Nájdite hodnotu Z vyplývajúcu z nasledujúceho delenia dvoch komplexných čísel:

Z = (9 - i ² ) / (3 + i)

Riešenie

Čitateľ výrazu môže byť faktorizovaný pomocou nasledujúcej vlastnosti:

takže:

Z = / (3 + i)

Výsledný výraz je zjednodušený nižšie a zostáva

Z = (3 - i)

Referencie

1. Earl, R. Komplexné čísla. Obnovené z: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 1.. Diverzifikované. Vydania CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Výber tém z matematiky. Publikácie Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Predstavivosť čísla. Obnovené z: en.wikipedia.org