EULEROVO ČÍSLO ALEBO E-ČÍSLO: KOĽKO TO STOJÍ, VLASTNOSTI, APLIKÁCIE - MATEMATIKA - 2026

Euler číslo alebo číslo e je dobre známe, matematická konštanta, ktorá sa často objavuje v mnohých vedeckých a ekonomických aplikácií, spoločne s číslom n a ďalších dôležitých čísel v matematike.

Vedecká kalkulačka vráti nasledujúcu hodnotu pre číslo e:

Obrázok 1. Eulerovo číslo sa vo vede objavuje často. Zdroj: F. Zapata.

e = 2,718281828 …

Je však známych oveľa viac desatinných miest, napríklad:

e = 2,71828182845904523536…

A moderné počítače našli bilióny desatinných miest pre číslo e.

Je to iracionálne číslo, čo znamená, že má nekonečné množstvo desatinných miest bez opakovania (sekvencia 1828 sa objaví dvakrát na začiatku a už sa viac neopakuje).

A tiež to znamená, že číslo e nemožno získať ako kvocient dvoch celých čísel.

histórie

Číslo e identifikoval vedec Jacques Bernoulli v roku 1683, keď študoval problém zloženého záujmu, predtým sa však nepriamo objavil v dielach škótskeho matematika Johna Napiera, ktorý okolo roku 1618 vynašiel logaritmy.

Bol to však Leonhard Euler v roku 1727, ktorý mu dal meno číslo e a intenzívne študoval jeho vlastnosti. To je dôvod, prečo sa nazýva aj Eulerovo číslo a tiež ako prirodzený základ pre prirodzené logaritmy (exponent), ktoré sa v súčasnosti používajú.

Koľko stojí číslo e?

Číslo e sa oplatí:

e = 2,71828182845904523536…

Elipsa znamená, že existuje nekonečné množstvo desatinných miest av skutočnosti sú dnešné počítače známe milióny.

Reprezentácie čísla e

Existuje niekoľko spôsobov, ako definovať e, ktoré popisujeme nižšie:

Číslo e ako limit

Jedným z rôznych spôsobov, ako je vyjadrené číslo e, je ten, ktorý vedec Bernoulli vo svojich prácach zistil o zloženom záujme:

V ktorej musíte urobiť n veľmi veľké číslo.

Pomocou kalkulačky je ľahké skontrolovať, že keď je n veľmi veľké, predchádzajúci výraz má tendenciu k hodnote e uvedenej vyššie.

Samozrejme si môžeme položiť otázku, ako sa dá vyrobiť veľké n, takže skúsme zaokrúhliť čísla, napríklad tieto:

n = 1 000; 10 000 alebo 100 000

V prvom prípade dostaneme e = 2,7169239…. V druhom e = 2,7181459 … a v treťom je to oveľa bližšie k hodnote e: 2,7182682. Už si vieme predstaviť, že pri n = 1 000 000 alebo väčšom bude aproximácia ešte lepšia.

V matematickom jazyku sa postup približovania n bližšie a bližšie k veľmi veľkej hodnote nazýva limit nekonečna a označuje sa takto:

Na označenie nekonečna sa používa symbol „∞“.

Číslo e ako súčet

Touto operáciou je tiež možné definovať číslo e:

Čísla, ktoré sa nachádzajú v menovateli: 1, 2, 6, 24, 120 … zodpovedajú operácii n!, Kde:

A podľa definície 0! = 1.

Je ľahké skontrolovať, či čím viac pridaných prísad, tým presnejšie je číslo e dosiahnuté.

Urobíme niekoľko testov s kalkulačkou a pridáme ďalšie a ďalšie doplnky:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2,71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2,75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2,76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2,71806

Čím viac výrazov sa pripočíta k súčtu, tým viac sa výsledok podobá e.

Matematici navrhli pre tieto súčty kompaktný zápis, ktorý obsahuje mnoho výrazov, pričom používajú symbol súčtu Σ:

Tento výraz sa číta takto: „súčet od n = 0 do nekonečna 1 medzi n faktoriálnymi“.

Číslo e z geometrického hľadiska

Číslo e má grafické znázornenie vzťahujúce sa na plochu pod grafom krivky:

y = 1 / x

Ak sú hodnoty x medzi 1 a e, táto plocha sa rovná 1, ako je znázornené na nasledujúcom obrázku:

Obrázok 2. Grafické znázornenie čísla e: plocha pod krivkou 1 / x, medzi x = 1 a x = e, má hodnotu 1. Zdroj: F. Zapata.

Vlastnosti čísla e

Niektoré z vlastností čísla e sú:

- Je to iracionálne, inými slovami, nemožno ho získať jednoduchým rozdelením dvoch celých čísel.

-Číslo e je tiež transcendentné číslo, čo znamená, že e nie je riešením žiadnej polynomickej rovnice.

- Súvisí so štyrmi ďalšími slávnymi číslami z oblasti matematiky, konkrétne: π, i, 1 a 0, prostredníctvom Eulerovej identity:

- Takzvané komplexné čísla sa dajú vyjadriť napr.

- Predstavuje základ prírodných alebo prírodných logaritmov súčasnosti (pôvodná definícia Johna Napiera sa trochu líši).

- Je to jediné číslo také, že jeho prirodzený logaritmus sa rovná 1, to znamená:

aplikácia

štatistika

Číslo e sa vyskytuje veľmi často v oblasti pravdepodobnosti a štatistiky a objavuje sa v rôznych distribúciách, ako sú normálne alebo gaussovské, Poissonove a ďalšie.

strojárstvo

V technike je to časté, pretože exponenciálna funkcia y = e ^x je prítomná napríklad v mechanike a elektromagnetizme. Spomedzi mnohých aplikácií môžeme uviesť:

- Kábel alebo reťaz, ktorá visí na koncoch, prijíma tvar krivky daný:

y = (e ^x + e ^-x ) / 2

- Spočiatku vybitý kondenzátor C, ktorý je sériovo pripojený k rezistoru R a zdroju napätia V na nabíjanie, získava určitý náboj Q ako funkciu času t poskytnutého:

Q (t) = CV (1-e- ^{t / RC} )

biológie

Exponenciálna funkcia y = Ae ^Bx s konštantami A a B sa používa na modelovanie bunkového rastu a bakteriálneho rastu.

fyzický

V jadrovej fyzike sú modely rádioaktívneho rozpadu a veku modelované pomocou rádiokarbónového datovania.

hospodárstvo

Pri výpočte zloženého úroku číslo e vzniká prirodzene.

Predpokladajme, že máte určité množstvo peňazí P _O investovať s úrokovou sadzbou aj% ročne.

Ak peniaze necháte 1 rok, po tomto čase budete mať:

Po ďalšom roku bez toho, aby ste sa ho dotkli, budete mať:

A takto to pokračuje n rokov:

Teraz si spomeňte na jednu z definícií e:

Vyzerá to trochu ako výraz pre P, takže musí existovať vzťah.

Budeme rozdeliť nominálnu úrokovú sadzbu i v n časových obdobiach, týmto spôsobom bude zložená úroková sadzba i / n:

Tento výraz vyzerá trochu viac ako náš limit, stále však nie je úplne rovnaký.

Po niektorých algebraických manipuláciách sa však dá ukázať, že vykonaním tejto zmeny premennej:

Naše peniaze P sa stávajú:

A to, čo je medzi zátvorkami, aj keď je napísané písmenom h, sa rovná argumentu limitu, ktorý definuje číslo e, pričom chýba iba limit.

Vytvorme h → ∞ a to, čo je medzi zátvorkami, sa stáva číslom e. To neznamená, že na výber peňazí musíme čakať nekonečne dlho.

Ak sa pozrieme pozorne, pomocou h = n / i a tendencie k ∞, to, čo sme skutočne urobili, je rozloženie úrokovej sadzby na veľmi, veľmi malé časové obdobia:

i = n / h

Toto sa nazýva nepretržité zloženie. V takom prípade sa dá suma peňazí ľahko vypočítať takto:

Kde i je ročná úroková sadzba. Napríklad pri vklade 12 EUR vo výške 9% ročne nepretržitou kapitalizáciou máte po jednom roku:

So ziskom 1,13 €.

Referencie

1. Užite si matematiku. Zložené úroky: Periodické zloženie. Obnovené z: enjoylasmatematicas.com.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 1.. Diverzifikované. Vydania CO-BO.
3. García, M. Číslo e v základných počtoch. Získané z: matematica.ciens.ucv.ve.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Larson, R. 2010. Výpočet premennej. 9 .. Vydanie. McGraw Hill.