ATÓMOVÝ MODEL DIRAC JORDAN: CHARAKTERISTIKY A POSTULÁTY - FYZICKÝ - 2026

Dirac-Jordán modelu atómu je relativistická zovšeobecnenie Hamiltonovho operátora v rovnici, ktorá popisuje funkciu kvantovej vlny elektrónu. Na rozdiel od predošlého modelu, Schrodingera, nie je potrebné vynútiť rotáciu pomocou Pauliho vylučovacieho princípu, pretože to vyzerá prirodzene.

Model Dirac-Jordan navyše obsahuje relativistické korekcie, interakciu spin-orbit a Darwinov výraz, ktoré zodpovedajú jemnej štruktúre elektronických hladín atómu.

Obrázok 1. Elektronické orbitaly v atóme vodíka pre prvé tri energetické úrovne. Zdroj: Wikimedia Commons.

Od roku 1928 sa vedci Paul AM Dirac (1902-1984) a Pascual Jordan (1902-1980) rozhodli zovšeobecniť kvantovú mechaniku vyvinutú Schrodingerom tak, aby zahŕňala Einsteinove špeciálne korekcie relativity.

Dirac vychádza z Schrodingerovej rovnice, ktorá pozostáva z diferenciálneho operátora nazývaného Hamiltonián, ktorý pracuje s funkciou známou ako funkcia elektrónových vĺn. Schrodinger však nezohľadnil relativistické účinky.

Riešenie vlnovej funkcie umožňuje vypočítať oblasti, v ktorých sa s určitým stupňom pravdepodobnosti nachádza elektrón okolo jadra. Tieto oblasti alebo zóny sa nazývajú orbitaly a závisia od určitých diskrétnych kvantových čísel, ktoré definujú energiu a moment hybnosti elektrónu.

postuláty

V kvantových mechanických teóriách, či už relativistických alebo nie, neexistuje pojem obežnej dráhy, pretože ani polohu ani rýchlosť elektrónu nie je možné špecifikovať súčasne. Ďalej špecifikovanie jednej z premenných vedie k úplnej nepresnosti v druhej.

Hamiltonián je matematický operátor, ktorý pôsobí na funkciu kvantovej vlny a je budovaný z energie elektrónu. Napríklad voľný elektrón má celkovú energiu E, ktorá závisí od jeho lineárnej hybnosti p, ako je táto:

E = ( p ² ) / 2m

Ak chceme skonštruovať hamiltonovský jazyk, začneme týmto výrazom a nahradíme p kvantovým operátorom hybnosťou:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

Je dôležité poznamenať, že termíny p a p sú rôzne, pretože prvý z nich je hybnosť a druhý je diferenciálny operátor spojený s hybnosťou.

Ďalej je i imaginárna jednotka a ħ Planckova konštanta delená 2π, čím sa získa Hamiltonovský operátor H voľného elektrónu:

H = (H ² / 2m) ∂ ² / ∂ r ²

Ak chcete nájsť hamiltonián elektrónu v atóme, pridajte interakciu elektrónu s jadrom:

H = (H2 / 2m) ∂ ² / ∂ r ² - eΦ (r)

V predchádzajúcom výraze -e je elektrický náboj elektrónu a Φ (r) elektrostatický potenciál produkovaný centrálnym jadrom.

Teraz operátor H pôsobí na vlnovú funkciu ψ podľa Schrodingerovej rovnice, ktorá je napísaná takto:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Diracove štyri postuláty

Prvý postulát : relativistická vlnová rovnica má rovnakú štruktúru ako Schrodingerova vlnová rovnica, čo sa mení H:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Druhý postulát : Hamiltonovský operátor je konštruovaný na základe vzťahu Einsteinovej energie a hybnosti, ktorý je napísaný takto:

E = (m ² c ⁴ + p ² c ² ) ^1/2

V predchádzajúcom vzťahu, ak má častica hybnosť p = 0, potom máme slávnu rovnicu E = mc ^2, ktorá vyjadruje energiu v pokoji ktorejkoľvek častice hmoty m s rýchlosťou svetla c.

Tretí postulát : na získanie hamiltonovského operátora sa používa rovnaké kvantizačné pravidlo, aké sa používa v Schrodingerovej rovnici:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

Na začiatku nebolo jasné, ako zaobchádzať s týmto diferenciálnym operátorom pôsobiacim v druhej odmocnine, a tak sa Dirac rozhodol získať lineárneho Hamiltonovského operátora na operátore hybnosti a odtiaľ vznikol jeho štvrtý postulát.

Štvrtý postulát : Aby sa zbavil druhej odmocniny vo vzorci relativistickej energie, Dirac navrhol túto štruktúru pre E ² :

Aby to bola pravda, je samozrejme potrebné určiť koeficienty alfa (α0, al, α2, α3).

Diracova rovnica

Vo svojej kompaktnej podobe je Diracova rovnica považovaná za jednu z najkrajších matematických rovníc na svete:

Obrázok 2. Diracova rovnica v kompaktnej forme. Zdroj: F. Zapata.

A vtedy je zrejmé, že konštantné alfy nemôžu byť skalárne veličiny. Jediným spôsobom, ako je splnená rovnosť štvrtého postulátu, je to, že ide o konštantné matice 4 × 4, ktoré sa nazývajú matice Dirac:

Okamžite pozorujeme, že vlnová funkcia prestáva byť skalárnou funkciou a stáva sa vektorom so štyrmi zložkami nazývanými spinor:

Atóm Dirac-Jordán

Na získanie atómového modelu je potrebné prejsť z rovnice voľného elektrónu do rovnice elektrónu v elektromagnetickom poli produkovanom atómovým jadrom. Táto interakcia sa berie do úvahy zahrnutím skalárneho potenciálu Φ a vektorového potenciálu A do hamiltonovského jazyka:

Vlnová funkcia (spinor), ktorá je výsledkom začlenenia tohto Hamiltoniana, má nasledujúce charakteristiky:

- Plní špeciálnu relativitu, pretože zohľadňuje vnútornú energiu elektrónu (prvý člen relativistického Hamiltoniana)

- Má štyri roztoky zodpovedajúce štyrom zložkám rozmetávača

- Prvé dva roztoky zodpovedajú jednému odstreďovaniu + ½ a druhým odstreďovaniu - ½

- Nakoniec ďalšie dve riešenia predpovedajú existenciu antihmoty, pretože zodpovedajú pozitivónom s opačnými točeniami.

Veľkou výhodou Diracovej rovnice je, že korekcie základného Schrodingera Hamiltoniana H (o) možno rozdeliť do niekoľkých výrazov, ktoré ukážeme nižšie:

V predchádzajúcej expresii V je skalárny potenciál, pretože vektorový potenciál A je nula, ak sa predpokladá, že centrálny protón je stacionárny, a preto sa neobjaví.

Dôvod, že Diracove korekcie na riešeniach Schrodingerovcov vo vlnovej funkcii, sú jemné. Vyplývajú zo skutočnosti, že posledné tri podmienky korigovaného Hamiltoniana sú rozdelené rýchlosťou c na druhú mocninu, čo je obrovské množstvo, čo ich robí číselne malými.

Relativistické korekcie energetického spektra

Pomocou Dirac-Jordanovej rovnice nájdeme korekcie energetického spektra elektrónu v atóme vodíka. Korekcie energie v atómoch s viac ako jedným elektrónom v približnej forme sa tiež nachádzajú prostredníctvom metodológie známej ako poruchová teória.

Podobne, model Dirac nám umožňuje nájsť jemnú štruktúru korekcie hladín vodíkovej energie.

Avšak ešte jemnejšie korekcie, ako je hyperjemná štruktúra a Lambov posun, sa získavajú z pokročilejších modelov, ako je napríklad teória kvantového poľa, ktorá sa zrodila presne z príspevkov modelu Dirac.

Nasledujúci obrázok ukazuje, ako vyzerajú Diracove relativistické korekcie hladín energie:

Obrázok 3. Korekcie Diracovho modelu na hladiny atómu vodíka. Zdroj: Wikimedia Commons.

Napríklad riešenia Diracovej rovnice správne predpovedajú pozorovaný posun na úrovni 2s. Je to dobre známa korekcia jemnej štruktúry v línii Lyman-alfa vodíkového spektra (pozri obrázok 3).

Mimochodom, jemná štruktúra je názov uvedený v atómovej fyzike na zdvojnásobenie radov emisného spektra atómov, čo je priamym dôsledkom elektronického roztočenia.

Obrázok 4. Rozdelenie jemnej štruktúry pre základný stav n = 1 a prvý excitovaný stav n = 2 v atóme vodíka. Zdroj: R Wirnata. Relativistické korekcie atómov vodíka. Researchgate.net

Články záujmu

Atómový model De Broglie.

Chadwickov atómový model.

Heisenbergov atómový model.

Perrinov atómový model.

Thomsonov atómový model.

Daltonov atómový model.

Schrödingerov atómový model.

Atómový model Demokrita.

Bohrov atómový model.

Referencie

1. Atómová teória. Obnovené z wikipedia.org.
2. Elektrónový magnetický moment. Obnovené z wikipedia.org.
3. Quanta: Príručka pojmov. (1974). Oxford University Press. Obnovené z Wikipedia.org.
4. Atómový model Dirac Jordan. Obnovené z prezi.com.
5. Nový kvantový vesmír. Cambridge University Press. Obnovené z Wikipedia.org.