Existuje ortogonálna matica, keď uvedená matica vynásobená jej transpozíciou vedie k matici identity. Ak je inverzia matice rovnaká ako transpozícia, potom je pôvodná matica ortogonálna.
Ortogonálne matice majú charakteristiku, že počet riadkov sa rovná počtu stĺpcov. Ďalej sú riadkové vektory jednotkové ortogonálne vektory a transponované riadkové vektory tiež.
Obrázok 1. Príklad ortogonálnej matice a spôsob, akým transformuje geometrické objekty. (Pripravil Ricardo Pérez)
Keď sa ortogonálna matica vynásobí vektormi vektorového priestoru, vytvorí izometrickú transformáciu, to znamená transformáciu, ktorá nemení vzdialenosti a zachováva uhly.
Typickým predstaviteľom ortogonálnych matíc sú rotačné matice. Transformácie ortogonálnych matíc vo vektorovom priestore sa nazývajú ortogonálne transformácie.
Geometrické transformácie rotácie a odrazu bodov predstavovaných ich karteziánskymi vektormi sa uskutočňujú aplikáciou ortogonálnych matíc na pôvodné vektory, aby sa získali súradnice transformovaných vektorov. Z tohto dôvodu sa ortogonálne matice v počítačovej grafike často používajú.
vlastnosti
Matica M je kolmá ak vynásobí jeho premiestniť M T poskytuje v dôsledku toho je matica identity I . Podobne výsledok transpozície ortogonálnej matrice pôvodnou maticou vedie k matici identity:
MM T = M T M = I
V dôsledku predchádzajúceho tvrdenia sme dospeli k záveru, že transpozícia ortogonálnej matice je rovnaká ako jej inverzná matica:
M T = M -1 .
Sada ortogonálnych matíc dimenzie nxn tvorí ortogonálnu skupinu O (n). A podmnožina O (n) ortogonálnych matíc s determinantom +1 tvorí skupinu Unitary Special Matrices SU (n). Matice skupiny SU (n) sú matice, ktoré vytvárajú lineárne transformácie rotácie, tiež známe ako skupina rotácií.
demonštrácie
Chceme ukázať, že matica je ortogonálna, a iba vtedy, ak sú riadkové vektory (alebo stĺpcové vektory) navzájom ortogonálne a sú v norme 1.
Predpokladajme, že riadky ortogonálnej matice nxn sú n ortonormálne vektory dimenzie n. Ak je označený v 1 , v 2 , …, V n k n vektorom platí:
Ak je zrejmé, že sada riadkových vektorov je skutočne sada ortogonálnych vektorov s normou jedna.
Príklady
Príklad 1
Ukážte, že matica 2 x 2, ktorá vo svojom prvom riadku obsahuje vektor v1 = (-1 0) a vo svojom druhom riadku je vektor v2 = (0 1) ortogonálna matica.
Riešenie: Matica M je skonštruovaná a jej transpozícia M T je vypočítaná :
V tomto príklade je matica M samo-transponovaná, to znamená, že matica a jej transpozícia sú identické. Vynásobte M jeho transpozíciou M T :
Je overené, že MM T sa rovná matici identity:
Keď sa matica M vynásobí súradnicami vektora alebo bodu, získajú sa nové súradnice, ktoré zodpovedajú transformácii, ktorú matica robí na vektore alebo bode.
Obrázok 1 ukazuje, ako M transformuje vektor u na u ' a tiež ako M transformuje modrý polygón na červený polygón. Pretože M je ortogonálne, potom je to ortogonálna transformácia, ktorá zachováva vzdialenosti a uhly.
Príklad 2
Predpokladajme, že máte maticu 2 x 2 definovanú v reáli danú týmto výrazom:
Nájdite skutočné hodnoty a, b, cad tak, že matica M je ortogonálna matica.
Riešenie: Podľa definície je matica ortogonálna, ak je vynásobená jej transpozíciou, získa sa matica identity. Pamätajúc na to, že transponovaná matica sa získa z pôvodných výmenných riadkov za stĺpce, získa sa táto rovnosť:
Pri násobení matíc máme:
Vyrovnaním prvkov ľavej matice s prvkami matice identity napravo získame systém štyroch rovníc so štyrmi neznámymi a, b, cad.
Navrhujeme pre a, b, ca nasledujúce výrazy z hľadiska trigonometrických pomerov sínus a kosínus:
S týmto návrhom a na základe základnej trigonometrickej identity sa prvá a tretia rovnica automaticky uspokojujú v rovnosti maticových prvkov. Tretia a štvrtá rovnica sú rovnaké av maticovej rovnosti po nahradení navrhovaných hodnôt to vyzerá takto:
čo vedie k nasledujúcemu riešeniu:
Nakoniec sa získajú nasledujúce riešenia pre ortogonálnu matricu M:
Všimnite si, že prvé z riešení má determinant +1, takže patrí do skupiny SU (2), zatiaľ čo druhé riešenie má determinant -1, a preto nepatrí do tejto skupiny.
Príklad 3
Vzhľadom na nasledujúcu maticu nájdite hodnoty aab, aby sme mali ortogonálnu maticu.
Riešenie: Aby bola daná matica ortogonálna, musí byť produktom s transpozíciou matica identity. Potom sa uskutoční maticový produkt danej matrice s transponovanou maticou, ktorý vedie k nasledujúcemu výsledku:
Ďalej sa výsledok prirovnáva k matici identity 3 x 3:
V druhom riadku má tretí stĺpec (ab = 0), ale a nemôže byť nula, pretože inak by nebola splnená rovnosť prvkov druhého riadku a druhého stĺpca. Potom nevyhnutne b = 0. Nahradením b za hodnotu 0 máme:
Potom je rovnica vyriešená: 2a ^ 2 = 1, ktorej riešenia sú: + √√2 a -½√2.
Ak vezmeme pozitívne riešenie pre a, získa sa táto ortogonálna matrica:
Čitateľ môže ľahko overiť, či sú riadkové vektory (a tiež stĺpcové vektory) ortogonálne a jednotné, to znamená ortorormálne.
Príklad 4
Ukážte, že matica A, ktorej riadkové vektory sú v1 = (0, -1 0) , v2 = (1, 0, 0) a v3 = (0 0 -1), je ortogonálna matica. Ďalej nájdite vektory, ktoré sú transformované z kanonického základu i, j, k na vektory u1 , u2 a u3 .
Riešenie: Malo by sa pamätať na to, že prvok (i, j) matice vynásobený jej transpozíciou je skalárnym súčinom vektora v riadku (i) produktom stĺpca (j) transpozície. Okrem toho sa tento výrobok rovná Kroneckerovej delte v prípade, že matica je ortogonálna:
V našom prípade to vyzerá takto:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
S ktorými sa ukazuje, že ide o ortogonálnu maticu.
Ďalej u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) a nakoniec u3 = A k = (0, 0, -1)
Referencie
- Anthony Nicolaides (1994) Determinanty a matice. Pass publikácie.
- Birkhoff a MacLane. (1980). Modern Algebra, ed. Vicens-Vives, Madrid.
- Casteleiro Villalba M. (2004) Úvod do lineárnej algebry. ESIC Editorial.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Jenny Olive (1998) Maths: Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) 30-sekundová matematika: 50 najrozšírenejších teórií rozširujúcich myseľ v matematike. Ivy Press Limited.
- Wikipedia. Ortogonálna matica. Obnovené z: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Ortogonálna matica. Obnovené z: en.wikipedia.com