INVERZNÁ MATICA: VÝPOČET A VYRIEŠENÉ CVIČENIE - MATEMATIKA - 2026

Inverzné matice danej matice je matica, ktorá násobí pôvodný dáva matice identity. Inverzná matica je užitočná na riešenie systémov lineárnych rovníc, a preto je dôležité vedieť, ako ju vypočítať.

Matice sú veľmi užitočné vo fyzike, strojárstve a matematike, pretože sú kompaktným nástrojom na riešenie zložitých problémov. Užitočnosť matíc je vylepšená, ak sú nevratné a je známa aj ich inverzia.

Obrázok 1. Znázornená je všeobecná matica 2 x 2 a jej inverzná matica. (Pripravil Ricardo Pérez)

V oblasti grafického spracovania, veľkých dát, ťažby dát, strojového učenia a ďalších sa používajú efektívne a rýchle algoritmy na hodnotenie inverznej matice nxn matíc s veľmi veľkými n, rádovo tisíce alebo milióny.

Na ilustráciu použitia inverznej matice pri manipulácii so systémom lineárnych rovníc začneme najjednoduchším prípadom zo všetkých: 1 × 1 matíc.

Najjednoduchší prípad: uvažuje sa lineárna rovnica jednej premennej: 2 x = 10.

Cieľom je nájsť hodnotu x, ale urobí sa to „matica“.

Matica M = (2), ktorá násobí vektor (x), je matica 1 × 1, ktorá vedie k vektoru (10):

M (x) = (10)

Inverzia matice M je označená M ^-1 .

Všeobecný spôsob, ako napísať tento „lineárny systém“, je:

MX = B, kde X je vektor (x) a B je vektor (10).

Podľa definície je inverzná matica matica, ktorá vynásobená pôvodnou maticou vedie k matici identity I:

M ^-1 M = I

V uvažovanom prípade je matica M- ¹ matica (1/2), to znamená, M- ¹ = (1/2), pretože M- ¹ = M (1) = (1) = I

Aby sme našli neznámy vektor X = (x), v navrhnutej rovnici sa oba členy vynásobia inverznou maticou:

M ^-1 M (x) = M ^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

Dosiahla sa rovnosť dvoch vektorov, ktoré sú rovnaké iba vtedy, keď sú ich zodpovedajúce prvky rovnaké, tj x = 5.

Vypočítanie inverzie matice

Motiváciou výpočtu inverznej matice je nájsť univerzálnu metódu riešenia lineárnych systémov, ako je napríklad nasledujúci systém 2 × 2:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

Podľa krokov v prípade 1 × 1, ktoré sme študovali v predchádzajúcej časti, píšeme systém rovníc v maticovej podobe:

Obrázok 2. Lineárny systém v maticovej podobe.

Tento systém je napísaný v kompaktnom vektorovom zápise nasledovne:

MX = B

kde

Ďalším krokom je nájsť inverziu M.

Metóda 1: Použitie Gaussovej eliminácie

Použije sa Gaussova metóda eliminácie. Tieto operácie pozostávajú z vykonávania elementárnych operácií na riadkoch matice:

- Vynásobte riadok nenulovým číslom.

- Pridajte alebo odčítajte ďalší riadok z riadku alebo násobok iného riadku.

- Vymieňajte riadky.

Cieľom je prostredníctvom týchto operácií previesť pôvodnú maticu na maticu identity.

Keď sa to urobí, v matici M sa na maticu identity použijú rovnaké operácie. Keď sa po niekoľkých operáciách na riadkoch M transformuje na jednotkovú maticu, potom sa pôvodná jednotka stane inverznou maticou M, t . ^J.

1 - Začneme procesom zápisu matice M a vedľa nej matice jednotiek:

2 - Pridáme dva riadky a výsledok umiestnime do druhého riadku, čím získame nulu v prvom prvku druhého riadku:

3 - Druhý riadok vynásobíme -1 a získame 0 a 1 v druhom riadku:

4- Prvý riadok sa vynásobí ½:

5 - Pridá sa druhý a prvý a výsledok sa umiestni do prvého riadku:

6 - Na dokončenie procesu sa prvý riadok vynásobí 2, aby sa získala matica identity v prvom riadku a inverzná matica pôvodnej matice M v druhom:

To znamená:

Systémové riešenie

Po získaní inverznej matice sa systém rovníc vyrieši aplikáciou inverznej matice na oba členy kompaktnej vektorovej rovnice:

M ^-1 M X = M ^-1 B

X = M ^-1 B

Ktorý vyzerá takto:

Potom sa uskutoční násobenie matíc, aby sa získal vektor X:

Metóda 2: použitím pripojenej matrice

Pri tomto druhom spôsobe je inverzná matica vypočítať z adjoint matrice pôvodnej matice A .

Predpokladajme maticu A danú:

kde _{i, j} je prvok v rade i a stĺpci j matice A .

Priľahlá matica A sa bude nazývať Adj (A) a jej prvky sú:

ad _{i, j} = (-1) ^{(i + j)} ¦Ai, j¦

kde Ai, j je komplementárny spodný matrica vyrábaná odstraňovaním riadok aj stĺpec a j pôvodné matice A . Stĺpce ¦ ¦ označujú, že sa určuje determinant, to znamená , že „Ai, j¦ je determinantom minoritnej doplnkovej matice.

Inverzný maticový vzorec

Vzorec na nájdenie inverznej matice začínajúcej od susednej matice pôvodnej matice je nasledujúci:

Je inverznej matice A , A ^-1 , je transpozícia adjoint z A delené determinant A .

Premiestniť ^T z matice A je získaný výmenou riadkov pre stĺpce, to znamená, že prvý rad sa stane prvom stĺpci a v druhom rade sa stáva druhý stĺpec, a tak ďalej až do dokončenia n riadkov pôvodné matice.

Cvičenie bolo vyriešené

Nech je matica A nasledovná:

Vypočíta sa každý prvok priľahlej matice A: Adj (A)

Z toho vyplýva, že priľahlá matica A, Adj (A) je nasledovná:

Potom sa vypočíta determinant matice A, det (A):

Nakoniec sa získa inverzná matica A:

Referencie

1. Anthony Nicolaides (1994) Determinanty a matice. Pass publikácie.
2. Awol Assen (2013) Štúdia o výpočte determinantov 3 × 3
3. Casteleiro Villalba M. (2004) Úvod do lineárnej algebry. ESIC Editorial.
4. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
5. Jenny Olive (1998) Maths: Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
6. Richard J. Brown (2012) 30-sekundová matematika: 50 najrozšírenejších teórií rozširujúcich myseľ v matematike. Ivy Press Limited.
7. Matrix. Lap Lambert Academic Publishing.