EULEROVA METÓDA: NA ČO SLÚŽI, POSTUP A CVIČENIA - MATEMATIKA - 2026

Eulerova metóda je najjednoduchšie a jednoduché postupy používané na nájdenie numerická riešeniu približné na obyčajné diferenciálne rovnice v prvom poradí, za predpokladu, že počiatočný stav je známy.

Bežná diferenciálna rovnica (ODE) je rovnica, ktorá spája neznámu funkciu jednej nezávislej premennej s jej derivátmi.

Postupné aproximácie podľa Eulerovej metódy. Zdroj: Oleg Alexandrov

Ak je najväčšou deriváciou, ktorá sa objavuje v rovnici, stupeň jedna, potom je to obyčajná diferenciálna rovnica prvého stupňa.

Najbežnejším spôsobom, ako napísať rovnicu prvého stupňa, je:

x = x ₀

y = y ₀

Čo je to Eulerova metóda?

Eulerova metóda spočíva v hľadaní numerického riešenia diferenciálnej rovnice v intervale medzi X ₀ a X _f .

Najprv je interval diskretizovaný v n + 1 bodoch:

x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ …, x _n

Získajú sa takto:
x _i = x ₀ + ih

Kde h je šírka alebo krok podintervalov:

Pri počiatočnom stave je potom možné derivát poznať aj na začiatku:

y '(x _o ) = f (x _o , y _o )

Tento derivát predstavuje sklon dotyčnice k krivke funkcie y (x) presne v bode:

Ao = (x _o , y _o )

Potom sa urobí približná predpoveď hodnoty funkcie y (x) v nasledujúcom bode:

y (x ₁ ) ≈ y ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Získal sa ďalší približný bod riešenia, ktorý by zodpovedal:

A ₁ = (x ₁ , y ₁ )

Postup sa opakuje, aby sa získali nasledujúce body

₂ , A ₃ …, x _n

Na obrázku znázornenom na začiatku predstavuje modrá krivka presné riešenie diferenciálnej rovnice a červená krivka predstavuje približné približné body získané Eulerovou procedúrou.

Riešené cvičenia

Cvičenie 1

I ) Nech je diferenciálna rovnica:

Pri počiatočných podmienkach x = a = 0; a _a = 1

Pomocou Eulerovej metódy získame približné riešenie y na súradnici X = b = 0,5, pričom interval rozdelíme na n = 5 častí.

Riešenie

Numerické výsledky sú zhrnuté takto:

Z čoho vyplýva, že riešenie Y pre hodnotu 0,5 je 1,4851.

Poznámka: Na vykonanie výpočtov sa použil program Smath Studio, bezplatný program na bezplatné použitie.

Cvičenie 2

II ) Pokračovanie v diferenciálnej rovnici z cvičenia I), nájdite presné riešenie a porovnajte ho s výsledkom získaným Eulerovou metódou. Nájdite chybu alebo rozdiel medzi presným a približným výsledkom.

Riešenie

Presné riešenie nie je ťažké nájsť. Derivát funkcie sin (x) je známy ako funkcia cos (x). Preto riešením y (x) bude:

y (x) = sin x + C

Aby sa splnila počiatočná podmienka a (0) = 1, musí sa konštanta C rovnať 1. Presný výsledok sa potom porovná s približným:

Dospelo sa k záveru, že v vypočítanom intervale má aproximácia tri významné čísla presnosti.

Cvičenie 3

III ) Zoberme diferenciálnu rovnicu a jej počiatočné podmienky uvedené nižšie:

y, (x) = - y ²

Pri počiatočnej podmienke x ₀ = 0; a ₀ = 1

Pomocou Eulerovej metódy nájdite približné hodnoty riešenia y (x) v intervale x =. Použite krok h = 0,1.

Riešenie

Eulerova metóda je veľmi vhodná na použitie s tabuľkovým procesom. V tomto prípade použijeme tabuľku geogebra, bezplatný a open-source program.

Tabuľka na obrázku zobrazuje tri stĺpce (A, B, C), prvý je premenná x, druhý stĺpec predstavuje premennú y a tretí stĺpec je derivát y '.

Riadok 2 obsahuje počiatočné hodnoty X, Y, Y '.

Krok hodnoty 0,1 bol umiestnený do bunky absolútnej polohy ($ D $ 4).

Počiatočná hodnota y0 je v bunke B2 a y1 je v bunke B3. Na výpočet y _{1 sa} použije vzorec:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Tento tabuľkový vzorec by mal byť číslo B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

Podobne by y2 bol v bunke B4 a jeho vzorec je uvedený na nasledujúcom obrázku:

Obrázok tiež ukazuje graf presného riešenia a body A, B, …, P približného riešenia pomocou Eulerovej metódy.

Newtonovská dynamika a Eulerova metóda

Klasickú dynamiku vyvinul Isaac Newton (1643 - 1727). Pôvodnou motiváciou Leonarda Eulera (1707 - 1783) k rozvoju tejto metódy bolo práve riešenie rovnice druhého Newtonovho zákona v rôznych fyzikálnych situáciách.

Newtonov druhý zákon sa zvyčajne vyjadruje ako diferenciálna rovnica druhého stupňa:

Kde x predstavuje polohu objektu v čase t. Tento predmet má hmotnosť ma je vystavený pôsobeniu sily F. Funkcia f sa týka sily a hmotnosti nasledovne:

Na použitie Eulerovej metódy sú potrebné počiatočné hodnoty času t, rýchlosti v a polohy x.

Nasledujúca tabuľka vysvetľuje, ako možno z počiatočných hodnôt t1, v1, x1 dosiahnuť aproximáciu rýchlosti v2 a polohy x2 v okamihu t2 = t1 + Δt, kde Δt predstavuje malé zvýšenie a zodpovedá kroku v metóde Euler.

Cvičenie 4

IV ) Jedným zo základných problémov v mechanike je to, že blok hmoty M je viazaný na pružinu (alebo pružinu) elastickej konštanty K.

Newtonov druhý zákon o tomto probléme by vyzeral takto:

V tomto príklade vezmeme pre jednoduchosť M = 1 a K = 1. Približné riešenia polohy xa rýchlosti v pomocou Eulerovej metódy nájdite v časovom intervale rozdelením intervalu na 12 častí.

Zoberte 0 ako počiatočný okamih, počiatočnú rýchlosť 0 a počiatočnú polohu 1.

Riešenie

Numerické výsledky sú uvedené v nasledujúcej tabuľke:

Zobrazujú sa aj grafy polohy a rýchlosti medzi časmi 0 a 1,44.

Navrhované cvičenia pre domácnosť

Cvičenie 1

Na určenie približného riešenia pomocou Eulerovej metódy pre diferenciálnu rovnicu použite tabuľku:

y '= - Exp (-y) s pôvodnými podmienkami x = 0, y = -1 v intervale x =

Začnite krokom 0,1. Vyneste výsledok.

Cvičenie 2

Pomocou tabuľky nájdite numerické riešenia nasledujúcej kvadratickej rovnice, kde y je funkciou nezávislej premennej t.

y '' = - 1 / y² s pôvodnými podmienkami t = 0; a (0) = 0,5; y '(0) = 0

Nájdite riešenie v intervale pomocou kroku 0,05.

Vyneste výsledok: y vs t; y 'vs t

Referencie

1. Metóda Eurler Prevzatá z wikipedia.org
2. Eulerov riešiteľ. Prevzaté z en.smath.com