BOOLEOVSKÁ ALGEBRA: HISTÓRIA, VETY A POSTULÁTY, PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2026

Booleovské algebry alebo Booleovské algebry je algebraický zápis používa na liečbu binárnych premenných. Zahŕňa štúdie akejkoľvek premennej, ktorá má iba 2 možné výsledky, vzájomne sa dopĺňajúce a vzájomne sa vylučujúce. Napríklad premenné, ktorých jedinou možnosťou je pravdivá alebo nepravdivá, správna alebo nesprávna, zapnutá alebo vypnutá, sú základom štúdia logickej algebry.

Booleovská algebra predstavuje základ digitálnej elektroniky, vďaka čomu je dnes úplne prítomná. Riadi sa koncepciou logických brán, kde sú obzvlášť ovplyvnené známe operácie v tradičnej algebre.

Zdroj: pexels.com

histórie

Booleovskú algebru predstavil v roku 1854 anglický matematik George Boole (1815 - 1864), ktorý bol v tom čase učiteľom, ktorý sa učil samostatne. Jeho obavy vyplynuli z existujúceho sporu medzi Augustom De Morganom a Williamom Hamiltonom o parametre, ktoré definujú tento logický systém.

George Boole argumentoval, že definícia číselných hodnôt 0 a 1 zodpovedá v oblasti logiky interpretácii Nothing a Universe.

Zámerom George Boole bolo definovať prostredníctvom vlastností algebry výrazy výrokovej logiky potrebné na zvládnutie premenných binárneho typu.

V roku 1854 boli najvýznamnejšie časti booleovskej algebry uverejnené v knihe „Preskúmanie zákonov myslenia, na ktorých sú založené matematické teórie logiky a pravdepodobnosti“.

Tento zvedavý názov by sa neskôr zhrnul ako „Zákony myslenia“ („Zákony myslenia“). Titul sa stal slávou vďaka okamžitej pozornosti, ktorú získal od tej doby matematickej komunity.

V roku 1948 ju Claude Shannon použil pri návrhu bistabilných elektrických spínacích obvodov. Toto poslúžilo ako úvod do aplikácie booleovskej algebry v rámci celej elektronicko-digitálnej schémy.

štruktúra

Základné hodnoty v tomto type algebry sú 0 a 1, ktoré zodpovedajú FALSE a TRUE. Základné operácie v booleovskej algebre sú 3:

- AND prevádzka alebo spojenie. Zastúpené bodkou (.). Synonymum produktu.

- ALEBO prevádzka alebo rozpojenie. Znázornené krížikom (+) Synonymum súčtu.

- NIE JE prevádzka alebo negácia. Reprezentuje predponu NOT (NOT A). Je tiež známy ako doplnok.

Ak sú v sade A2 zákony vnútorného zloženia definované ako súčin a súčet (. +), Hovorí sa, že trojica (A. +) je booleovská algebra, iba ak táto trojitá väzba spĺňa podmienku mreže. rozdeľovacej.

Na definovanie distribučnej mriežky musia byť medzi danými operáciami splnené distribučné podmienky:

, je distribučný vzhľadom na súčet + a. (b + c) = (a. b) + (a. c)

+ je distribučný vo vzťahu k produktu. a + (b. c) = (a + b). (a + c)

Prvky, ktoré tvoria množinu A, musia byť binárne, musia mať teda hodnoty vesmíru alebo dutiny.

aplikácia

Jeho hlavným aplikačným scenárom je digitálna vetva, kde slúži na štruktúrovanie obvodov, ktoré tvoria príslušné logické operácie. Umenie jednoduchosti obvodov v prospech optimalizácie procesov je výsledkom správneho použitia a praxe booleovskej algebry.

Od vypracovania elektrických panelov, cez prenos dát až po dosiahnutie programovania v rôznych jazykoch, často nájdeme logickú algebru vo všetkých druhoch digitálnych aplikácií.

Booleovské premenné sú veľmi bežné v štruktúre programovania. V závislosti od použitého programovacieho jazyka sa v kóde použijú štrukturálne operácie, ktoré tieto premenné používajú. Podmienky a argumenty každého jazyka pripúšťajú booleovské premenné na definovanie procesov.

postuláty

Existujú vety, ktoré riadia štrukturálne logické zákony booleovskej algebry. Rovnakým spôsobom existujú postuláty na poznať možné výsledky v rôznych kombináciách binárnych premenných v závislosti od vykonávanej operácie.

Súčet (+)

Operátor OR, ktorého logickým prvkom je únia (U), je pre binárne premenné definovaný takto:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Produkt (.)

Operátor AND, ktorého logickým prvkom je priesečník (∩), je pre binárne premenné definovaný takto:

0. 0 = 0

0. 1 = 0

jeden. 0 = 0

jeden. 1 = 1

Opak (NIE)

Operátor NOT, ktorého logickým prvkom je doplnok (X) ', je pre binárne premenné definovaný takto:

NOT 0 = 1

NOT 1 = 0

Mnoho postulátov sa líši od ich náprotivkov v konvenčnej algebre. Je to kvôli doméne premenných. Napríklad pridanie elementov vesmíru do booleovskej algebry (1 + 1) nemôže poskytnúť konvenčný výsledok 2, pretože nepatrí medzi prvky binárnej množiny.

vety

Pravidlo nula a jednoty

Každá jednoduchá operácia, ktorá zahŕňa prvok s binárnymi premennými, je definovaná:

0 + A = A

1 + A = 1

0. A = 0

jeden. A = A

Rovnaké právomoci alebo idempotencia

Operácie medzi rovnakými premennými sú definované ako:

A + A = A

TO. A = A

doplnenie

Každá operácia medzi premennou a jej doplnkom je definovaná ako:

A + NOT A = 1

TO. NOT A = 0

Involúcia alebo dvojitá negácia

Akákoľvek dvojitá negácia sa bude považovať za prirodzenú premennú.

NOT (NOT A) = A

komutatívne

A + B = B + A; Komutatívnosť sumy.

TO. B = B. TO; Komutativita výrobku.

asociatívne

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Asociácia sumy.

TO. (B. C) = (A. B). C = A. B. C; Asociativita produktu.

rozdeľovacia

A + (B. C) = (A + B). (A + C); Distribučnosť sumy vzhľadom na produkt.

TO. (B + C) = (A. B) + (A + C); Distribučnosť produktu vzhľadom na sumu.

Zákony absorpcie

Medzi viacerými referenciami existuje veľa zákonov o absorpcii, niektoré z najznámejších sú:

TO. (A + B) = A

TO. (NOT A + B) = A. B

NOT A (A + B) = NOT A. B

(A + B). (A + NOT B) = A

A + A. B = A

A + NOT A. B = A + B

NOT A + A. B = NOT A + B

TO. B + A. NOT B = A

Morganova veta

Sú to transformačné zákony, ktoré spracovávajú páry premenných, ktoré interagujú medzi definovanými operáciami booleovskej algebry (+.).

NOT (A. B) = NOT A + NOT B

NOT (A + B) = NOT A. NIE B

A + B = NOT (NOT A + NOT B)

TO. B = NOT (NOT A. NOT B)

duality

Všetky postuláty a vety majú fakultu duality. To znamená, že výmenou premenných a operácií sa výsledný návrh overí. To znamená, že pri výmene 0 za 1 a A za OR alebo naopak; vytvorí sa výraz, ktorý bude tiež úplne platný.

Napríklad, ak sa používa postulát

jeden. 0 = 0

A uplatňuje sa dualita

0 + 1 = 1

Získa sa ďalší dokonale platný postulát.

Mapa Karnaugh

Mapa Karnaugha je schéma používaná v booleovskej algebre na zjednodušenie logických funkcií. Pozostáva z dvojrozmerného usporiadania podobného pravdivostným tabuľkám výrokovej logiky. Údaje z tabuliek pravdy môžu byť priamo zachytené na mape Karnaugha.

Mapa Karnaugha môže obsahovať procesy až 6 premenných. Pre funkcie s väčším počtom premenných sa odporúča zjednodušenie procesu pomocou softvéru.

Navrhol ju v roku 1953 Maurice Karnaugh a bol založený ako pevný nástroj v oblasti booleovskej algebry, pretože jej implementácia synchronizuje ľudský potenciál s potrebou zjednodušiť booleovské výrazy, čo je kľúčový aspekt v plynulosti digitálnych procesov.

Príklady

Booleovská algebra sa používa na redukciu logických brán v obvode, kde prioritou je priniesť komplexnosť alebo úroveň obvodu na najnižšiu možnú mieru vyjadrenia. Je to spôsobené výpočtovým oneskorením, ktoré každá brána predpokladá.

V nasledujúcom príklade budeme sledovať zjednodušenie logického výrazu na jeho minimálny výraz pomocou teorémov a postulátov Booleovskej algebry.

NOT (AB + A + B). NOT (A + NOT B)

NOT. NOT (A + NOT B); Factoring A so spoločným faktorom.

NOT. NOT (A + NOT B); Podľa vety A + 1 = 1.

NIE (A + B). NOT (A + NOT B); podľa vety A. 1 = A

(NIE A. NIE B). ;

Morganovou vetou NIE (A + B) = NIE A. NIE B

(NIE A. NIE B). (NOT A. B); Veta s dvojitou negáciou NOT (NOT A) = A

NIE A. NIE B. NIE A. B; Algebraické zoskupenie.

NIE A. NIE A. NIE B. B; Komutativita výrobku A. B = B. TO

NIE A. NIE B. B; Podľa vety A. A = A

NIE A. 0; Podľa vety A. NOT A = 0

0; Podľa vety A. 0 = 0

TO. B. C + NOT A + A. NIE B. C

TO. C. (B + NOT B) + NOT A; Factoring (A. C) so spoločným faktorom.

TO. C. (1) + NOT A; Veta A + NIE A = 1

TO. C + NOT A; Pravidlom nulovej vety a jednoty 1. A = A

NOT A + C ; Podľa zákona Morgan A + NOT A. B = A + B

Pre toto riešenie sa Morganov zákon musí rozšíriť tak, aby vymedzoval:

NIE (NIE A). C + NOT A = NOT A + C

Pretože NOT (NOT A) = A na základe prevratu.

Zjednodušte logickú funkciu

NIE A. NIE B. NOT C + NOT A. NIE B. C + NOT A. NOT C až na minimálny výraz

NIE A. NIE B. (NOT C + C) + NOT A. NOT C; Faktoring (NOT A. NOT B) so spoločným faktorom

NIE A. NIE B. (1) + NOT A. NOT C; Veta A + NIE A = 1

(NOT A. NOT B) + (NOT A. NOT C); Pravidlom nulovej vety a jednoty 1. A = A

NOT A (NOT B + NOT C); Factoring NOT A so spoločným faktorom

NIE A. NOT (B. C); Morganovými zákonmi NOT (A. B) = NOT A + NOT B

NOT Morganovými zákonmi NOT (A. B) = NOT A + NOT B

Ktorákoľvek zo 4 možností uvedená tučným písmom predstavuje možné riešenie na zníženie úrovne obvodu

Zjednodušte logickú funkciu na jej najjednoduchšiu formu

(A. NOT B. C + A. NOT B. B. D + NOT A. NOT B). C

(A. NOT B. C + A. 0. D + NOT A. NOT B). C; Podľa vety A. NOT A = 0

(A. NIE B. C + 0 + NIE A. NIE B). C; Podľa vety A. 0 = 0

(A. NIE B. C + NIE A. NIE B). C; Podľa vety A + 0 = A

TO. NIE B. C. C + NOT A. NIE B. C; Distribučnosťou produktu vzhľadom na sumu

TO. NIE B. C + NOT A. NIE B. C; Podľa vety A. A = A

NIE B. C (A + NOT A) ; Faktoring (NOT B. C) so spoločným faktorom

NIE B. C (1); Veta A + NIE A = 1

NIE B. C; Pravidlom nulovej vety a jednoty 1. A = A

Referencie

1. Booleovská algebra a jej aplikácie J. Eldon Whitesitt. Continental Publishing Company, 1980.
2. Matematika a inžinierstvo v informatike. Christopher J. Van Wyk. Ústav počítačových vied a technológií. Národný úrad pre normy. Washington, DC 20234
3. Matematika pre informatiku. Eric Lehman. Google Inc.
   F Thomson Leighton Katedra matematiky a informatiky a Laboratória AI, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies.
4. Prvky abstraktnej analýzy. Mícheál O'Searcoid PhD. Katedra matematiky. Univerzitná univerzita v Dubline, Beldfield, Dublind.
5. Úvod do logiky a metodológie deduktívnych vied. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxfordská univerzitná tlač.