MORGAN LAWS - MATEMATIKA - 2026

L oči Morgan sú derivačných pravidlá používaná vo výrokovej logiky, ktoré stanovujú, čo je výsledkom odmietnutie disjunkcia a konjunkcia výrokov či výrokovej premennej. Tieto zákony boli definované matematikom Augustom De Morganom.

Morganove zákony sú veľmi užitočným nástrojom na preukázanie platnosti matematického zdôvodnenia. Neskôr ich zovšeobecnil v koncepte množín matematik George Boole.

Táto zovšeobecnenie Boole je úplne rovnocenné s pôvodnými Morganovými zákonmi, ale je vyvinuté špeciálne pre súbory a nie pre návrhy. Táto zovšeobecnenie je známe aj ako Morganove zákony.

Preskúmanie výrokovej logiky

Predtým, ako sa pozrieme na to, čo konkrétne sú Morganove zákony a ako sa používajú, je užitočné pamätať si na niektoré základné pojmy výrokovej logiky. (Viac informácií nájdete v článku o výrokovej logike).

V oblasti matematickej (alebo výrokovej) logiky je záver záver, ktorý sa vydáva zo súboru priestorov alebo hypotéz. Tento záver spolu s vyššie uvedenými priestormi vedie k vzniku tzv. Matematického uvažovania.

Takéto odôvodnenie musí byť preukázateľné alebo zamietnuté; to znamená, že nie všetky závery alebo závery v matematickom zdôvodnení sú platné.

klam

Klamný záver z určitých hypotéz, o ktorých sa predpokladá, že sú pravdivé, sa nazýva klam. Fallaci majú zvláštnosť, že sú argumentmi, ktoré sa zdajú byť správne, ale matematicky to tak nie je.

Propozičná logika je presne zodpovedná za vývoj a poskytovanie metód, pomocou ktorých je možné matematické zdôvodnenie potvrdiť alebo vyvrátiť bez akýchkoľvek nejasností; to znamená, vyvodiť platný záver z priestorov. Tieto metódy sú známe ako inferenčné pravidlá, ktorých súčasťou sú Morganove zákony.

propozície

Základnými prvkami výrokovej logiky sú výroky. Návrhy sú vyhlásenia, ktoré možno označiť za platné alebo nie, ale nemôžu byť pravdivé alebo nepravdivé súčasne. V tejto veci by nemala existovať nejednoznačnosť.

Rovnako ako je možné čísla kombinovať pomocou operácií sčítania, odčítania, násobenia a delenia, návrhy môžu byť ovládané pomocou známych logických spojív (alebo konektorov): negácia (¬, „nie“), disjunkcia (V , „Alebo“), spojenie (Ʌ, „a“), podmienené (→, „ak …, potom …“) a dvojväzkové (↔, „iba a iba vtedy“).

Aby sa pracovalo všeobecnejšie, namiesto zvažovania konkrétnych tvrdení sa zvažujú výrokové premenné, ktoré predstavujú akýkoľvek výrok, a zvyčajne sa označujú malými písmenami p, q, r, s atď.

Výrokový vzorec je kombináciou výrokových premenných pomocou niektorých logických spojív. Inými slovami, je to zloženie výrokových premenných. Zvyčajne sa označujú gréckymi písmenami.

Hovorí sa, že výroková receptúra ​​logicky naznačuje ďalšie, keď je výrok pravdivý vždy, keď je výrok pravdivý. Označuje to:

Keď je logická implikácia medzi dvoma výrokovými vzorcami recipročná - to znamená, že keď je predchádzajúca implikácia platná aj v opačnom zmysle - vzorce sa považujú za logicky ekvivalentné a označujú sa

Logická rovnocennosť je druh rovnosti medzi výrokovými vzorcami a umožňuje, aby sa v prípade potreby nahradil druhým.

Morganove zákony

Morganove zákony pozostávajú z dvoch logických ekvivalentov medzi dvoma výrokovými formami, a to:

Tieto zákony umožňujú oddelenie negácie disjunkcie alebo spojenia ako negácie príslušných premenných.

Prvý z nich možno čítať takto: negácia disjunkcie sa rovná spojeniu negácií. A druhý znie takto: negácia spojenia je disjunkcia negácií.

Inými slovami, popieranie disjunkcie dvoch výrokových premenných je rovnocenné spojeniu negácií oboch premenných. Podobne je popieranie spojenia dvoch výrokových premenných ekvivalentom rozpojenia negácií oboch premenných.

Ako už bolo uvedené, nahradenie tejto logickej rovnocennosti pomáha preukázať dôležité výsledky spolu s ostatnými existujúcimi pravidlami odvodenia. Pomocou nich môžete zjednodušiť mnohé výrokové vzorce, aby boli pre prácu s nimi užitočnejšie.

Nasleduje príklad matematického dôkazu používajúceho odvodzovacie pravidlá, vrátane Morganových zákonov. Konkrétne sa uvádza, že vzorec:

Je to ekvivalent k:

Posledne uvedené je jednoduchšie pochopiť a rozvíjať.

demonštrácie

Stojí za zmienku, že platnosť Morganových zákonov sa dá preukázať matematicky. Jedným zo spôsobov je porovnanie vašich tabuliek pravdy.

súpravy

Rovnaké pravidlá dedukcie a logické pojmy, ktoré sa uplatňujú na propozície, sa môžu tiež rozvíjať pri zvažovaní množín. Toto je známe ako booleovská algebra, po matematikovi George Booleovi.

Na rozlíšenie prípadov je potrebné zmeniť notáciu a prenos do množín, všetky už videné pojmy výrokovej logiky.

Sada je skupina objektov. Množiny sú označené veľkými písmenami A, B, C, X, … a prvky množiny sú označené malými písmenami a, b, c, x atď. Keď prvok a patrí do množiny X, označuje sa:

Ak nepatrí do X, zápis je:

Spôsob, ako reprezentovať súbory, je umiestnením ich prvkov do zložených zátvoriek. Napríklad množinu prírodných čísel predstavuje:

Sady môžu byť zastúpené aj bez toho, aby boli napísané explicitné zoznamy ich prvkov. Môžu byť vyjadrené vo forme {:}. Dvojbodka sa číta „tak, že“. Vľavo od týchto dvoch bodov je umiestnená premenná, ktorá predstavuje prvky množiny, a napravo je umiestnená vlastnosť alebo stav, ktoré spĺňajú. Toto je:

Napríklad množinu celých čísel väčších ako -4 možno vyjadriť ako:

Alebo rovnocenne a skrátene ako:

Podobne nasledujúce výrazy predstavujú množiny nepárnych a párnych čísel:

Spojenie, priesečník a doplnky súborov

Ďalej uvidíme analógy logických spojív v prípade množín, ktoré sú súčasťou základných operácií medzi množinami.

Únia a priesečník

Spojenie a priesečník súprav sú definované nasledovne:

Zvážte napríklad sady:

Takže musíte:

doplnok

Doplnok množiny je tvorený prvkami, ktoré do tejto množiny nepatria (rovnakého typu, aký predstavuje originál). Doplnok množiny A sa označuje:

Napríklad v rámci prirodzených čísel je doplnok množiny párnych čísel doplnok nepárnych čísel a naopak.

Aby sa určil doplnok súboru, musí byť univerzálna alebo hlavná sada prvkov uvažovaná od začiatku. Napríklad nie je to isté považovať doplnok množiny nad prirodzené čísla za racionálne čísla.

Nasledujúca tabuľka ukazuje vzťah alebo analógiu, ktorá existuje medzi operáciami na skôr definovaných množinách a spojkami výrokovej logiky:

Morganove zákony pre súpravy

A nakoniec, Morganove zákony o súboroch sú:

Inými slovami: doplnok odboru je priesečníkom doplnkov a doplnok križovatky je spojením doplnkov.

Matematický dôkaz prvej rovnosti by bol nasledujúci:

Dôkaz o druhom je analogický.

Referencie

1. Almaguer, G. (2002). Matematika 1. Redakčná Limusa.
2. Aylwin, CU (2011). Logika, množiny a čísla. Mérida - Venezuela: Rada pre publikácie, Universidad de Los Andes.
3. Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Úvod do teórie čísel. EUNED.
4. Castañeda, S. (2016). Základný kurz teórie čísel. Severná univerzita.
5. Cofré, A. & Tapia, L. (1995). Ako rozvíjať matematické logické uvažovanie. Vydavateľstvo univerzity.
6. Guevara, MH (nd). Teória čísel. EUNED.
7. Zaragoza, AC (sf). Teória čísel Editorial Vision Libros.