FERMAT LIMIT: Z ČOHO POZOSTÁVA A CVIČENIA VYRIEŠENÉ - MATEMATIKA - 2026

Medza Fermat je numerická metóda použitá pre získanie hodnoty sklonu čiary, ktorá je dotyčnicou k funkcii v určitom okamihu v jeho doméne. Používa sa tiež na získanie kritických bodov funkcie. Jeho výraz je definovaný ako:

Je zrejmé, že Fermat nepoznal základy derivácie, avšak práve jeho štúdie viedli skupinu matematikov k tomu, aby sa pýtali na dotyčnice a ich aplikácie v kalkuloch.

Čo je limit Fermat?

Pozostáva z priblíženia 2 bodov, ktoré v predchádzajúcich podmienkach tvoria secesnú čiaru k funkcii s priesečníkom v pároch hodnôt.

Priblížením sa k hodnote „a“ je pár bodov nútený splniť sa. Týmto spôsobom sa predtým secanná čiara stáva dotyčnicou k bodu (a; f (a)).

Hodnota kvocientu (x - a), keď sa vyhodnotí v bode „a“, vedie k neurčitosti limitov typu K medzi nulou (K / 0). Tam, kde je možné pomocou týchto rôznych faktoringových techník tieto neurčitosti rozbiť.

Najbežnejšie používané prevádzkové techniky sú:

-Difference štvorcov (a ² - b ² ) = (a + b) (a - b); Existencia prvku (a - b) vo väčšine prípadov znamená faktor, ktorý zjednodušuje výraz (x - a) v kvociente Fermatovho limitu.

- vyplnenie štvorcov (ax ² + bx); Po dokončení štvorcov sa získa Newtonov binomický jav, kde jeden z jeho 2 faktorov sa zjednoduší výrazom (x - a), čím sa prelomí neurčitosť.

- konjugát (a + b) / (a ​​+ b); Násobenie a delenie expresie konjugátom nejakého faktora môže byť veľkou pomocou pri zlomení neurčitosti.

- spoločný faktor; V mnohých prípadoch výsledok fungovania čitateľa limitu f (x) - f (a) Fermatu skryje faktor (x - a) potrebný na faktorovanie. Z tohto dôvodu sa pozorne pozoruje, ktoré prvky sa opakujú v každom faktore expresie.

Uplatňovanie limitu Fermat na maximá a minimá

Aj keď Fermatov limit nerozlišuje medzi maximami a minimami, pretože dokáže identifikovať iba kritické body podľa svojej definície, bežne sa používa pri výpočte vrcholov alebo poschodí funkcií v rovine.

Základná znalosť grafickej teórie funkcií v spojení s touto vetou môže postačovať na stanovenie maximálnych a minimálnych hodnôt medzi funkciami. V skutočnosti môžu byť inflexné body definované okrem teórie Fermata aj pomocou vety o strednej hodnote.

Kubické podobenstvo

Najvýznamnejším paradoxom pre Fermata bolo štúdium kubickej paraboly. Pretože jeho pozornosť bola zameraná na dotykové čiary funkcie pre daný bod, narazil na problém definovania dotyčnej čiary v inflexnom bode funkcie.

Zdalo sa nemožné určiť dotyčnicu k bodu. Začína sa teda zisťovanie, ktoré by viedlo k diferenciálnemu počtu. Definované neskôr významnými exponentmi matematiky.

Maximus a minimálny

Štúdium maximálnych a minimálnych funkcií bolo výzvou pre klasickú matematiku, kde na ich definovanie bola potrebná jednoznačná a praktická metóda.

Fermat vytvoril metódu založenú na prevádzke malých diferenciálnych hodnôt, ktoré sa po faktoringových procesoch eliminujú, čo vedie k maximálnej a minimálnej požadovanej hodnote.

Táto premenná sa bude musieť vyhodnotiť v pôvodnom výraze, aby sa určila súradnica uvedeného bodu, ktorý sa spolu s analytickými kritériami definuje ako maximum alebo minimum výrazu.

metóda

Vo svojej metóde používa Fermat doslovnú symboliku Viety, ktorá spočívala vo výhradnom použití veľkých písmen: samohlások pre neznámych a spoluhlásk pre známe množstvá.

Pokiaľ ide o radikálne hodnoty, Fermat zaviedol konkrétny proces, ktorý by sa neskôr použil pri faktorizácii nekonečných limitov neurčitosti medzi nekonečnom.

Tento proces spočíva v vydelení každého výrazu hodnotou použitého diferenciálu. V prípade Fermata použil písmeno E, kde po vydelení najvyššou silou E sa hľadaná hodnota kritického bodu stala štiepiteľnou.

histórie

Fermatov limit je v skutočnosti jedným z najmenej známych príspevkov v dlhom zozname matematikov. Jeho štúdie prešli od prvočísel k základným základom pre výpočet.

Fermat bol zase známy svojimi výstrednosťami, pokiaľ ide o jeho hypotézy. Bolo pre neho bežné nechať druhých matematikov nejakú výzvu, keď už mal riešenie alebo dôkaz.

Mal veľké množstvo sporov a spojenectiev s rôznymi matematikmi tej doby, ktorí s ním pracovali buď radi alebo nenávideli.

Jeho posledná veta bola hlavnou zodpovednosťou za jeho celosvetovú slávu, kde uviedol, že zovšeobecnenie Pythagorovej vety pre akýkoľvek stupeň „n“ nebolo možné. Tvrdil, že o tom má platný dôkaz, ale pred zverejnením zomrel.

Táto demonštrácia musela čakať približne 350 rokov. V roku 1995 matematici Andrew Wiles a Richard Taylor ukončili úzkosť, ktorú zanechal Fermat, čo dokazuje, že mal pravdu prostredníctvom platného dôkazu o svojej poslednej vete.

cvičenie

Cvičenie 1

Definujte sklon dotyčnice k krivke f (x) = x ² v bode (4, 16)

Nahradením výrazu Fermatov limit je:

Faktory (x - 4) sú zjednodušené

Pri hodnotení máte

M = 4 + 4 = 8

Cvičenie 2

Definujte kritický bod výrazu f (x) = x ² + 4x pomocou Fermatovho limitu

Uskutočňuje sa strategické zoskupenie prvkov s cieľom zoskupiť páry XX ₀

Vyvinuli sa najmenšie štvorce

Dodržiavajte spoločný faktor XX _{0 a extrahujte ho}

Tento výraz je teraz možné zjednodušiť a neurčitosť zlomiť

V minimálnych bodoch je známe, že sklon dotyčnice je rovný nule. Týmto spôsobom môžeme vyrovnať nájdený výraz na nulu a vyriešiť pre hodnotu X ₀

2 X ₀ + 4 = 0

X ₀ = -4/2 = -2

Na získanie chýbajúcej súradnice je potrebné vyhodnotiť iba bod v pôvodnej funkcii

F (-2) = (-2) ² + 4 (-2) = 4 - 8 = -4

Kritickým bodom je P (-2, -4).

Referencie

1. Skutočná analýza. Historický prístup Sauhl Stahl, John Wiley & Sons, 5. augusta. 1999.
2. Matematická kariéra Pierra de Fermata, 1601 - 1665: druhé vydanie. Michael Sean Mahoney. Princeton University Press, 5. júna. 2018
3. Od Fermata po Minkowského: Prednášky o teórii čísel a jej historickom vývoji. W. Scharlau, H. Opolka, Springer Science & Business Media, 1985
4. Fermatova posledná veta: Genetický úvod do algebraickej teórie čísel. Harold M. Edwards. Springer Science & Business Media, 14. januára 2000
5. Fermat Days 85: Mathematics for Optimization. J.-B. Hiriart-Urruty Elsevier, 1. januára. 1986