- Pôvod a história
- Aristoteles
- Čo študuje matematická logika?
- propozície
- Pravdivé tabuľky
- Druhy matematickej logiky
- oblasti
- Referencie
Matematická logika alebo symbolická logika je matematický jazyk, ktorý sa vzťahuje na nástroje, prostredníctvom ktorého je možné potvrdiť alebo vyvrátiť matematického uvažovania.
Je dobre známe, že v matematike nie sú nejasnosti. Vzhľadom na matematický argument je buď platný, alebo jednoducho nie je. Nemôže to byť nepravdivé a zároveň pravdivé.
Osobitným aspektom matematiky je to, že má formálny a dôsledný jazyk, ktorým sa dá určiť platnosť argumentu. Čo spôsobuje, že určité odôvodnenie alebo akýkoľvek matematický dôkaz je nevyvrátiteľný? O tom je matematická logika.
Logika je teda disciplínou matematiky, ktorá je zodpovedná za štúdium matematických úvah a dôkazov a za poskytovanie nástrojov na odvodenie správneho záveru z predchádzajúcich tvrdení alebo návrhov.
Na tento účel sa využívajú axiómy a iné matematické aspekty, ktoré sa budú rozvíjať neskôr.
Pôvod a história
Presné dátumy týkajúce sa mnohých aspektov matematickej logiky sú neisté. Väčšina bibliografií na túto tému však sleduje jej pôvod až po staroveké Grécko.
Aristoteles
Začiatok prísneho zaobchádzania s logikou sa pripisuje čiastočne Aristotelesovi, ktorý napísal súbor logických diel, ktoré neskôr zostavovali a rozvíjali rôzni filozofi a vedci až do stredoveku. Toto by sa mohlo považovať za „starú logiku“.
Neskôr, v tom, čo je známe ako súčasný vek, Leibniz, sa pohol hlbokou túžbou založiť univerzálny jazyk, ktorý by matematicky uvažoval, a ďalší matematici, ako napríklad Gottlob Frege a Giuseppe Peano, ovplyvnili vývoj matematickej logiky s veľkými prínosmi. medzi nimi Peano Axiómy, ktoré formulujú nevyhnutné vlastnosti prirodzených čísel.
Matematici George Boole a Georg Cantor mali v tomto období tiež veľký vplyv, s dôležitými príspevkami v teórii množín a pravdivostných tabuľkách, okrem iného zdôrazňovali booleovskú algebru (George Boole) a Axiom of Choice (autor: George Cantor).
Existuje tiež Augustus De Morgan so známymi Morganovými zákonmi, ktoré uvažujú o negáciách, spojeniach, disjunkciách a podmienkách medzi návrhmi, kľúčmi k rozvoju Symbolickej logiky a Jhonom Vennom so slávnymi Vennovými diagramami.
V 20. storočí, približne medzi rokmi 1910 a 1913, vynikajú Bertrand Russell a Alfred North Whitehead vydaním knihy Principia Mathatica, knihy, ktorá zbiera, vyvíja a postuluje sériu axiómov a logických výsledkov.
Čo študuje matematická logika?
propozície
Matematická logika začína štúdiom tvrdení. Návrh je vyhlásenie, ktoré možno povedať bez akýchkoľvek nejasností, ak je pravdivé alebo nie. Nasledujú príklady návrhov:
- 2 + 4 = 6.
- 5 2 = 35.
- V roku 1930 došlo v Európe k zemetraseniu.
Prvým je pravdivé tvrdenie a druhým je nepravdivé tvrdenie. Tretím, hoci osoba, ktorá si ho prečíta, nemusí vedieť, či je pravdivá alebo okamžite, je vyhlásenie, ktoré sa dá otestovať a určiť, či sa skutočne stalo.
Nasledujú príklady výrazov, ktoré nie sú výrokmi:
- Je blondínka.
- 2x = 6.
- Poďme hrať!
- Máš rád filmy
V prvom návrhu nie je uvedené, kto je „ona“, a preto sa nič nemôže potvrdiť. V druhom návrhu nebolo špecifikované, čo „x“ predstavuje. Ak by sa namiesto toho povedalo, že 2x = 6 pre určité prirodzené číslo x, v tomto prípade by to zodpovedalo tvrdeniu, v skutočnosti je to pravda, pretože pre x = 3 je to splnené.
Posledné dve tvrdenia nezodpovedajú návrhu, pretože neexistuje spôsob, ako ich poprieť alebo potvrdiť.
Dva alebo viac návrhov možno kombinovať (alebo spojiť) pomocou dobre známych logických spojív (alebo konektorov). Sú to tieto:
- Popieranie: „neprší.“
- Odpojenie: „Luisa kúpila bielu alebo sivú tašku.“
- Spojenie: „4 2 = 16 a 2 × 5 = 10“.
- Podmienené: „Ak prší, dnes popoludní nejdem do posilňovne.“
- Biconditional: „Dnes popoludní chodím do posilňovne, iba ak neprší.“
Návrh, ktorý nemá žiadne z predchádzajúcich spojív, sa nazýva jednoduchý (alebo atómový) návrh. Napríklad „2 je menej ako 4“ je jednoduchý návrh. Výroky, ktoré majú nejaké spojovacie, sa nazývajú zložené výroky, napríklad „1 + 3 = 4 a 4 je párne číslo“.
Vyhlásenia urobené prostredníctvom návrhov sú zvyčajne dlhé, takže je únavné ich vždy písať tak, ako je to doteraz vidieť. Z tohto dôvodu sa používa symbolický jazyk. Návrhy sú zvyčajne zastúpené veľkými písmenami ako P, Q, R, S atď. Symbolické spojnice takto:
Takže to
Hovoriť o podmienečnom propozície
je návrh
A kontrar recipročný (alebo protichodný) návrh
je návrh
Pravdivé tabuľky
Ďalším dôležitým pojmom v logike je koncept pravdivých tabuliek. Hodnoty pravdy výroku sú dve možnosti výroku: pravdivá (ktorá bude označená V a bude sa hovoriť, že jej pravdivá hodnota je V) alebo nepravdivá (ktorá bude označená písmenom F a bude sa hovoriť, že jej hodnota naozaj je F).
Skutočná hodnota zloženého výroku závisí výlučne od pravdivých hodnôt jednoduchých výrokov, ktoré sa v ňom vyskytujú.
Aby sme pracovali všeobecnejšie, nebudeme brať do úvahy konkrétne propozície, ale propozičné premenné p, q, r, s atď., Ktoré budú predstavovať akékoľvek propozície.
S týmito premennými a logickými spojivami sa tvoria dobre známe výrokové vzorce, rovnako ako sa vytvárajú zložené výroky.
Ak je každá z premenných, ktoré sa vyskytujú v propozičnom vzorci, nahradená propozíciou, získa sa zložená propozícia.
Nižšie sú uvedené tabuľky pravdy pre logické spojnice:
Existujú výrokové vzorce, ktoré vo svojej tabuľke pravdy prijímajú iba hodnotu V, to znamená, že posledný stĺpec ich tabuľky pravdivosti má iba hodnotu V. Tieto typy vzorcov sa nazývajú tautológie. Napríklad:
Nasleduje tabuľka pravdy vzorca
Predpokladá sa, že vzorec a logicky znamená iný vzorec p, ak je a pravdivé zakaždým, keď p je pravdivé. To znamená, že v tabuľke pravdivosti α a β sú riadky, kde α má V, β, tiež V. Máme záujem len o riadky, v ktorých α má hodnotu V. Zápis pre logické implikácie je nasledujúci :
V nasledujúcej tabuľke sú zhrnuté vlastnosti logických implikácií:
Dva výrokové vzorce sa považujú za logicky ekvivalentné, ak sú ich tabuľky pravdy totožné. Na vyjadrenie logickej rovnocennosti sa používa tento zápis:
Nasledujúce tabuľky sumarizujú vlastnosti logickej ekvivalencie:
Druhy matematickej logiky
Existujú rôzne typy logiky, najmä ak vezmeme do úvahy pragmatickú alebo neformálnu logiku, ktorá okrem iného poukazuje na filozofiu.
Pokiaľ ide o matematiku, typy logiky možno zhrnúť takto:
- Formálna alebo aristotelská logika (starodávna logika).
- Propozičná logika: je zodpovedná za štúdium všetkého, čo sa týka platnosti argumentov a návrhov, použitím formálneho a symbolického jazyka.
- Symbolická logika: zameraná na štúdium množín a ich vlastností, tiež s formálnym a symbolickým jazykom, a je úzko spojená s výrokovou logikou.
- Kombinatorická logika: jedna z posledných, ktorá sa vyvinula, zahŕňa výsledky, ktoré možno vyvinúť pomocou algoritmov.
- Logické programovanie: používa sa v rôznych balíkoch a programovacích jazykoch.
oblasti
Medzi oblasti, ktoré nevyhnutne využívajú matematickú logiku pri rozvoji svojich argumentov a argumentov, vynikajú filozofia, teória množín, teória čísel, algebraická konštruktívna matematika a programovacie jazyky.
Referencie
- Aylwin, CU (2011). Logika, množiny a čísla. Mérida - Venezuela: Rada pre publikácie, Universidad de Los Andes.
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Úvod do teórie čísel. EUNED.
- Castañeda, S. (2016). Základný kurz teórie čísel. Severná univerzita.
- Cofré, A. & Tapia, L. (1995). Ako rozvíjať matematické logické uvažovanie. Vydavateľstvo univerzity.
- Zaragoza, AC (sf). Teória čísel Editorial Vision Libros.