Lineárny interpolácie je metóda, ktorá pochádza všeobecné Newton interpolácie a aproximácie pre určenie pre neznámu hodnotu, ktorá je medzi dvoma danými čísel; to znamená, že sa nájde stredná hodnota. Používa sa tiež na približné funkcie, kde sú známe hodnoty f (a) a f (b) a chceme poznať medziprodukt f (x) .
Existujú rôzne typy interpolácie, ako napríklad lineárna, kvadratická, kubická a vyššia, najjednoduchšia je lineárna aproximácia. Cena, ktorá musí byť zaplatená lineárnou interpoláciou, je, že výsledok nebude taký presný ako pri aproximáciách využívajúcich funkcie vyšších stupňov.
definícia
Lineárna interpolácia je proces, ktorý vám umožňuje odvodiť hodnotu medzi dvoma dobre definovanými hodnotami, ktoré môžu byť v tabuľke alebo v čiarovom grafe.
Napríklad, ak viete, že 3 litre mlieka majú hodnotu 4 doláre a že 5 litrov má hodnotu 7 dolárov, ale chcete vedieť, aká je hodnota 4 litrov mlieka, interpolujte, aby ste určili túto strednú hodnotu.
metóda
Na odhad strednej hodnoty funkcie sa funkcia f (x) aproximuje pomocou priamky r (x) , čo znamená, že funkcia sa mení lineárne s «x» pre sekciu «x = a» a «x = b "; to znamená, že pre hodnotu „x“ v intervale (x 0 , x 1 ) a (y 0 , y 1 ) je hodnota „y“ daná čiarou medzi bodmi a je vyjadrená nasledujúcim vzťahom:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Aby bola interpolácia lineárna, musí byť interpolačný polynóm prvého stupňa (n = 1), aby zodpovedal hodnotám x 0 a x 1.
Lineárna interpolácia je založená na podobnosti trojuholníkov tak, že sa dá geometricky odvodiť z predchádzajúceho výrazu hodnota „y“, ktorá predstavuje neznámu hodnotu pre „x“.
Týmto spôsobom musíte:
a = tan Ɵ = (protiľahlá noha 1 ÷ priľahlá noha 1 ) = (protiľahlá noha 2 ÷ priľahlá noha 2 )
Inak povedané, je to:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Riešením výrazov «a» z výrazov máme:
(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(y - y 0 ) = (y 1 - y 0 ) *
Takto sa získa všeobecná rovnica pre lineárnu interpoláciu:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Všeobecne platí, že lineárna interpolácia dáva malú chybu v reálnej hodnote skutočnej funkcie, hoci táto chyba je minimálna v porovnaní s tým, ak si intuitívne vyberiete číslo blízko čísla, ktoré chcete nájsť.
Táto chyba sa vyskytuje, keď sa snažíme priblížiť hodnotu krivky priamkou; V týchto prípadoch sa musí veľkosť intervalu zmenšiť, aby sa aproximácia spresnila.
Pre lepšie výsledky týkajúce sa aproximácie je vhodné na vykonanie interpolácie použiť funkcie stupňov 2, 3 alebo vyšších stupňov. Pre tieto prípady je Taylorova veta veľmi užitočným nástrojom.
Riešené cvičenia
Cvičenie 1
Počet baktérií na jednotku objemu, ktoré existujú v inkubácii po x hodinách, je uvedený v nasledujúcej tabuľke. Chcete vedieť, aký je objem baktérií po dobu 3,5 hodiny.
Riešenie
Referenčná tabuľka nestanovuje hodnotu, ktorá udáva množstvo baktérií po dobu 3,5 hodiny, ale existujú horné a dolné hodnoty zodpovedajúce času 3 a 4 hodiny. Tým smerom:
x 0 = 3 a 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 a 1 = 135
Teraz sa matematická rovnica použije na nájdenie interpolovanej hodnoty, ktorá je nasledovná:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * .
Potom sa nahradia zodpovedajúce hodnoty:
y = 91 + (135 - 91) *
y = 91 + (44) *
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Takto sa získa, že po dobu 3,5 hodiny je počet baktérií 113, čo predstavuje medzistupeň medzi objemom baktérií existujúcim v časoch 3 a 4 hodiny.
Cvičenie 2
Luis má továreň na výrobu zmrzliny a chce na základe vynaložených výdavkov urobiť štúdiu na zistenie príjmu, ktorý mal v auguste. Správca spoločnosti vytvára graf, ktorý vyjadruje tento vzťah, ale Luis chce vedieť:
Aký je príjem za august, ak vznikli výdavky vo výške 55 000 dolárov?
Riešenie
Je uvedený graf s hodnotami príjmov a výdavkov. Luis chce vedieť, aký je príjem za august, ak továreň mala náklady 55 000 dolárov. Táto hodnota nie je priamo vyjadrená v grafe, ale hodnoty sú vyššie a nižšie ako táto.
Najprv sa urobí tabuľka, kde sa dajú hodnoty jednoducho prepojiť:
Teraz sa interpolačný vzorec používa na určenie hodnoty y
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Potom sa nahradia zodpovedajúce hodnoty:
y = 56 000 + (78 000 - 56 000) *
y = 56 000 + (22 000) *
y = 56 000 + (22 000) * (0,588)
y = 56 000 + 12 936
y = 68 936 dolárov.
Ak sa v auguste vynaložili výdavky vo výške 55 000 dolárov, príjem bol 68 936 dolárov.
Referencie
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra a trigonometria s analytickou geometriou. Pearson Education.
- Harpe, P. d. (2000). Témy z teórie geometrických skupín. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Lineárna interpolácia ", Encyklopédia matematiky.
- JM (1998). Prvky numerických metód pre techniku. UASLP.
- , E. (2002). Chronológia interpolácie: od starovekej astronómie po moderné spracovanie signálu a obrazu. Konanie IEEE.
- numerické, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.