HOMOTHECY: VLASTNOSTI, TYPY A PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2026

Dilatácie je geometrický zmena v rovine, ktoré z pevného bodu zvaného centra (O), vzdialenosti sa vynásobí spoločným faktorom. Týmto spôsobom každý bod P zodpovedá inému bodu produktu P 'transformácie a tieto sú zarovnané s bodom O.

Homotéka je teda o korešpondencii medzi dvoma geometrickými obrázkami, kde sa transformované body nazývajú homotetické a tieto sú zarovnané s pevným bodom a so segmentmi rovnobežnými navzájom.

Homothecy

Homotéza je transformácia, ktorá nemá zhodný obraz, pretože z obrázka sa získajú jedna alebo viac čísiel väčšej alebo menšej veľkosti ako pôvodná postava; to znamená, že homotéka premieňa polygón na iný podobný.

Aby sa splnila homológia, bod za bodom a bod za čiarou musia zodpovedať tak, aby páry homológnych bodov boli zarovnané s tretím pevným bodom, ktorý je stredom homológie.

Podobne aj dvojice čiar, ktoré ich spájajú, musia byť rovnobežné. Vzťah medzi takýmito segmentmi je konštanta nazývaná pomer homotézie (k); takým spôsobom, že homotézu možno definovať ako:

Na uskutočnenie tohto typu transformácie začneme výberom ľubovoľného bodu, ktorý bude v centre homothecy.

Od tohto bodu sa nakreslia úsečky pre každý vrchol obrázku, ktorý sa má transformovať. Mierka, v ktorej sa reprodukuje nová postava, je daná pomerom homotézie (k).

vlastnosti

Jednou z hlavných vlastností homológie je, že z homotetického dôvodu (k) sú všetky homotetické čísla podobné. Medzi ďalšie vynikajúce vlastnosti patrí:

- Centrum homotécie (O) je jediný dvojitý bod, ktorý sa premení na seba; to znamená, že sa nemení.

- Čiary, ktoré prechádzajú stredom, sa transformujú na seba (sú dvojité), ale body, z ktorých pozostáva, nie sú dvojité.

- Čiary, ktoré neprechádzajú stredom, sa transformujú na rovnobežné čiary; týmto spôsobom zostávajú homothecy uhly rovnaké.

- Obraz segmentu homotékou stredu O a pomeru k je segmentom rovnobežným s týmto segmentom a má k násobok svojej dĺžky. Napríklad, ako je vidieť na nasledujúcom obrázku, segment AB homotékou bude mať za následok ďalší segment A'B ', takže AB bude rovnobežná s A'B' a k bude:

- homothetické uhly sa zhodujú; to znamená, že majú rovnaké opatrenie. Preto je obraz uhla uhol, ktorý má rovnakú amplitúdu.

Na druhej strane máme homológiu, ktorá sa mení v závislosti od hodnoty jej pomeru (k), a môžu sa vyskytnúť tieto prípady:

- Ak konštanta k = 1, všetky body sú pevné, pretože sa transformujú. Homotetická postava sa teda zhoduje s pôvodnou a transformácia sa bude nazývať funkcia identity.

- Ak k ≠ 1, jediným pevným bodom bude stred homotetika (O).

- Ak k = -1, homotéka sa stáva centrálnou symetriou (C); tj dochádza k rotácii okolo C, pod uhlom 180 ^alebo .

- Ak k> 1, veľkosť transformovanej postavy bude väčšia ako veľkosť originálu.

- Ak 0 <k <1, veľkosť transformovaného čísla bude menšia ako pôvodná hodnota.

- Ak -1 <k <0, veľkosť transformovaného obrázku bude menšia a bude rotovaná vzhľadom na originál.

- Ak k <-1, veľkosť transformovanej postavy bude väčšia a bude rotovaná vzhľadom na originál.

druhy

Homotézu je možné rozdeliť do dvoch typov v závislosti od hodnoty jej pomeru (k):

Priama homothecy

Vyskytuje sa, ak konštanta k> 0; to znamená, že homotetické body sú na tej istej strane vzhľadom na stred:

Pomerový faktor alebo pomer podobnosti medzi priamymi homotetickými číslami bude vždy pozitívny.

Reverzná homothecia

Vyskytne sa, ak konštanta k <0; to znamená, že počiatočné body a ich homotetika sú umiestnené na opačných koncoch vzhľadom na stred homotetika, ale sú s ňou zarovnané. Stred bude medzi týmito dvoma číslami:

Pomer proporcionality alebo pomer podobnosti medzi inverznými homothetickými číslami bude vždy negatívny.

zloženie

Ak sa postupne vykonáva niekoľko pohybov, až kým sa nedosiahne číslo rovné originálu, dôjde k zloženiu pohybov. Zloženie viacerých pohybov je tiež pohybom.

Zloženie medzi dvoma homológmi vedie k novej homológii; to znamená, že existuje produkt homológií, v ktorom bude centrum zarovnané so stredom dvoch pôvodných transformácií, a pomer (k) je súčin oboch pomerov.

Tak, v zložení dvoch homothecies H ₁ (O ₁ , k ₁ ) a H ₂ (O ₂ , K ₂ ), násobenie ich pomerov: k ₁ xk ₂ = 1 bude mať za následok homothecy o pomere K ₃ = k ₁ xk ₂ . Stred tejto novej homotérie (O ₃ ) bude umiestnený na trati O ₁ O ₂ .

Homotécia zodpovedá plochej a nezvratnej zmene; Ak sa použijú dve homotérie, ktoré majú rovnaké stredy a pomery, ale s odlišným znamienkom, získa sa pôvodná hodnota.

Príklady

Prvý príklad

Aplikujte homológiu na daný polygón stredu (O), ktorý sa nachádza 5 cm od bodu A a ktorého pomer je k = 0,7.

Riešenie

Ľubovolný bod je vybraný ako stred homológie a od tohto bodu sú lúče vedené cez vrcholy obrázku:

Vzdialenosť od stredu (O) k bodu A je OA = 5; Týmto je možné určiť vzdialenosť jedného z homotetických bodov (OA '), pričom je tiež známe, že k = 0,7:

OA '= kx OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Proces je možné vykonať pre každý vrchol, alebo je možné tiež nakresliť homotetický mnohouhol, pričom treba pamätať na to, že tieto dva polygóny majú paralelné strany:

Nakoniec vyzerá transformácia takto:

Druhý príklad

Naneste homológiu na daný mnohouholník so stredom (O), ktorý sa nachádza 8,5 cm od bodu C a ktorého pomer y je k = -2.

Riešenie

Vzdialenosť od stredu (O) k bodu C je OC = 8,5; Na základe týchto údajov je možné určiť vzdialenosť jedného z homotetických bodov (OC '), pričom je tiež známe, že k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Po nakreslení segmentov vrcholov transformovaného polygónu máme počiatočné body a ich homothetiká umiestnené na opačných koncoch vzhľadom na stred:

Referencie

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Technická výkres: aktivita zápisník.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, JL (2002). Affinity, Homology and Homothecy.
3. Baer, ​​R. (2012). Lineárna algebra a projektívna geometria. Courier Corporation.
4. Hebert, Y. (1980). Všeobecná matematika, pravdepodobnosti a štatistika.
5. Meserve, BE (2014). Základné pojmy geometrie. Courier Corporation.
6. Nachbin, L. (1980). Úvod do algebry. Reverte.