- Aké sú rozmery?
- Trojrozmerný priestor
- Štvrtá dimenzia a čas
- Súradnice hyperkocky
- Rozvíjanie hyperkocky
- Referencie
Hypercube je kocka o rozmere n. Konkrétny prípad štvorrozmernej hyperkocky sa nazýva tesserakt. Hypercube alebo n-kocka pozostáva z priamych segmentov, všetky rovnakej dĺžky, ktoré sú kolmé na svojich vrcholoch.
Ľudské bytosti vnímajú trojrozmerný priestor: šírku, výšku a hĺbku, nie je však možné si predstaviť hyperkocku s rozmerom väčším ako 3.
Obrázok 1. 0-kocka je bod, ak sa tento bod rozprestiera v smere a, a tvorí 1-kocku, ak táto 1-kocka presahuje vzdialenosť a v ortogonálnom smere, máme 2-kocku (z strany x až a), ak 2-kocka presahuje vzdialenosť a v ortogonálnom smere, máme 3-kocku. Zdroj: F. Zapata.
Nanajvýš ho môžeme urobiť v trojrozmernom priestore, aby sme ho reprezentovali, podobným spôsobom, ako premietame kocku na rovinu, ktorá ju reprezentuje.
V dimenzii 0 je jediným číslom bod, takže 0-kocka je bod. 1-kocka je priamy segment, ktorý je vytvorený pohybom bodu v jednom smere o vzdialenosť a.
2-kocka je štvorec. Konštruuje sa posunutím 1-kocky (segment dĺžky a) v smere y, ktorý je kolmý na smer x, a.
3-kocka je spoločná kocka. Je postavený zo štvorca jeho pohybom v treťom smere (z), ktorý je kolmý na smer xay, a.
Obrázok 2. 4-kocka (tesseract) je predĺženie 3-kocky v ortogonálnom smere do troch konvenčných priestorových smerov. Zdroj: F. Zapata.
4-kocka je tesseract, ktorý je postavený z 3-kocky pohybujúcej sa kolmo, vzdialenosť a, smerom k štvrtému rozmeru (alebo štvrtému smeru), ktorý nevieme vnímať.
Tesseract má všetky svoje pravé uhly, má 16 vrcholov a všetky jeho okraje (celkovo 18) majú rovnakú dĺžku a.
Ak je dĺžka hrán n-kocky alebo hyperkocky s rozmerom n 1, potom je to jednotková hyperkocka, v ktorej najdlhšia diagonála meria √n.
Obrázok 3. n-kocka je získaná z (n-1) kocky, ktorá ju kolmo koluje v ďalšom rozmere. Zdroj: wikimedia commons.
Aké sú rozmery?
Rozmery sú stupne voľnosti alebo možné smery, v ktorých sa objekt môže pohybovať.
V dimenzii 0 nie je možné prekladať a jediným možným geometrickým objektom je bod.
Dimenzia v euklidovskom priestore je predstavovaná orientovanou čiarou alebo osou, ktorá definuje túto dimenziu, ktorá sa nazýva os X. Rozdiel medzi dvoma bodmi A a B je euklidovská vzdialenosť:
d = √.
V dvoch rozmeroch je priestor reprezentovaný dvoma čiarami, ktoré sú navzájom ortogonálne orientované a nazývajú sa os X a os Y.
Poloha ktoréhokoľvek bodu v tomto dvojrozmernom priestore je daná jeho dvojicou karteziánskych súradníc (x, y) a vzdialenosť medzi akýmikoľvek dvoma bodmi A a B bude:
d = √
Pretože je to priestor, kde je naplnená geometria Euklidov.
Trojrozmerný priestor
Trojrozmerný priestor je priestor, v ktorom sa pohybujeme. Má tri smery: šírku, výšku a hĺbku.
V prázdnej miestnosti kolmé rohy udávajú tieto tri smery a ku každému z nich môžeme priradiť os: X, Y, Z.
Tento priestor je tiež euklidovský a vzdialenosť medzi dvoma bodmi A a B sa vypočíta takto:
d = √
Ľudské bytosti nemôžu vnímať viac ako tri priestorové (alebo euklidovské) rozmery.
Z prísne matematického hľadiska je však možné definovať n-rozmerný euklidovský priestor.
V tomto priestore má bod súradnice: (x1, x2, x3, ….., xn) a vzdialenosť medzi dvoma bodmi je:
d = √.
Štvrtá dimenzia a čas
V teórii relativity je čas skutočne považovaný za jeden ďalší rozmer a je s ním spojená súradnica.
Je však potrebné objasniť, že táto súradnica spojená s časom je imaginárne číslo. Preto oddelenie dvoch bodov alebo udalostí v časopriestore nie je euklidovské, ale skôr Lorentzova metrika.
Štvordimenzionálna hyperkocka (tesserakt) nežije v časopriestore, patrí do štvorrozmerného euklidovského hyperpriestoru.
Obrázok 4. 3D premietanie štvorrozmernej hyperkocky jednoduchou rotáciou okolo roviny, ktorá oddeľuje obrázok spredu zľava, zozadu doprava a zhora nadol. Zdroj: Wikimedia Commons.
Súradnice hyperkocky
Súradnice vrcholov n-kocky vystredené na začiatku sa získajú vykonaním všetkých možných permutácií nasledujúceho výrazu:
(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1, …, ± 1)
Kde a je dĺžka okraja.
- Objem n-kocky okraja a je: (a / 2) n (2 n ) = a n .
- Najdlhšia diagonála je vzdialenosť medzi opačnými vrcholmi.
- Nasledujú opačné vrcholy v štvorci : (-1, -1) a (+1, +1).
- A v kocke : (-1, -1, -1) a (+1, +1, +1).
- Najdlhšia uhlopriečka n-kocky meria:
d = √ = √ = 2√n
V tomto prípade sa predpokladala strana a = 2. Pre n-kocku zo strany ktorejkoľvek bude:
d = a√n.
- Tesseract má každý zo svojich 16 vrcholov spojený so štyrmi okrajmi. Nasledujúci obrázok ukazuje, ako sú vrcholy spojené v tesseracte.
Obrázok 5. Je znázornených 16 vrcholov štvorrozmernej hyperkocky a ako sú spojené. Zdroj: Wikimedia Commons.
Rozvíjanie hyperkocky
Bežný geometrický útvar, napríklad mnohosten, sa môže rozvinúť na niekoľko málo rozmerných útvarov.
V prípade 2-kocky (štvorec) sa môže rozdeliť na štyri segmenty, tj štyri 1 kocky.
Podobne sa 3-kocka môže rozvinúť na šesť 2 kociek.
Obrázok 6. n-kocka sa môže rozložiť na niekoľko (n-1) kocky. Zdroj: Wikimedia Commons.
4-kocka (tesseract) môže byť rozložená na osem 3 kociek.
Nasledujúca animácia ukazuje rozvinutie tesseractu.
Obrázok 7. 4-rozmerná hyperkocka môže byť rozložená na osem trojrozmerných kociek. Zdroj: Wikimedia Commons.
Obrázok 8. Trojrozmerná projekcia štvorrozmernej hyperkocky vykonávajúcej dvojitú rotáciu okolo dvoch kolmých rovín. Zdroj: Wikimedia Commons.
Referencie
- Vedecká kultúra. Hypercube, vizualizácia štvrtej dimenzie. Získané z: Culturativeifica.com
- Epsilon. Štvorrozmerná hyperkocka alebo tesserakt. Získané z: epsilones.com
- Perez R, Aguilera A. Spôsob získania tesserakty z vývoja hypercube (4D). Obnovené z: researchgate.net
- Wikibooks. Matematika, Polyhedra, Hypercubes. Obnovené z: es.wikibooks.org
- Wikipedia. Hypercube. Obnovené z: en.wikipedia.com
- Wikipedia. Tesseract. Obnovené z: en.wikipedia.com