HEPTADECAGON: VLASTNOSTI, UHLOPRIEČKY, OBVOD, PLOCHA - MATEMATIKA - 2026

Heptadecagon je pravidelný polygón s 17 stranách a 17 vrcholy. Jeho konštrukciu je možné vykonať v euklidovskom štýle, to znamená s použitím iba pravítka a kompasu. Bol to veľký matematický génius Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), sotva 18 rokov, ktorý našiel postup na jeho výstavbu v roku 1796.

Gauss bol zjavne veľmi naklonený tomuto geometrickému útvaru do tej miery, že odo dňa, keď zistil jeho konštrukciu, sa rozhodol byť matematikom. Hovorí sa tiež, že chcel, aby bol na jeho náhrobnom kameni vyrytý heptadecagon.

Obrázok 1. Heptadekagón je pravidelný mnohouholník so 17 stranami a 17 vrcholmi. Zdroj: F. Zapata.

Gauss tiež našiel vzorec na určenie, ktoré pravidelné polygóny majú možnosť byť skonštruované s pravítkom a kompasom, pretože niektoré nemajú presnú euklidovskú konštrukciu.

Charakteristiky heptadecagónu

Pokiaľ ide o jeho vlastnosti, rovnako ako akýkoľvek mnohouholník, je dôležitý súčet jeho vnútorných uhlov. V pravidelnom mnohouholníku s n stranami je suma daná:

Táto suma vyjadrená v radiánoch vyzerá takto:

Z vyššie uvedených vzorcov je možné ľahko odvodiť, že každý vnútorný uhol heptadekagónu má presnú mieru α danú:

Z toho vyplýva, že vnútorný uhol je zhruba:

Diagonály a obvod

Diagonály a obvod sú ďalšie dôležité aspekty. V ľubovoľnom mnohouholníku je počet uhlopriečok:

D = n (n - 3) / 2 a v prípade heptadekagónu, ako n = 17, potom máme toto D = 119 uhlopriečok.

Na druhej strane, ak je známa dĺžka každej strany heptadekagónu, potom sa obvod pravidelného heptadekagónu zistí jednoducho tak, že sa pridá 17-násobok tejto dĺžky alebo čo sa rovná 17-násobku dĺžky d každej strany:

P = 17 d

Obvod heptadecagónu

Niekedy je známy iba polomer r heptadekagónu, preto je potrebné pre tento prípad vyvinúť receptúru.

Na tento účel sa zavádza pojem apatia. Apotém je segment, ktorý ide zo stredu pravidelného mnohouholníka do stredu jednej strany. Apotém relatívne k jednej strane je kolmý na túto stranu (pozri obrázok 2).

Obrázok 2. Sú zobrazené časti pravidelného mnohouholníka s polomerom r a jeho apothém. (Vlastné spracovanie)

Okrem toho je apotém ohybom uhlu so stredným vrcholom a stranami na dvoch po sebe nasledujúcich vrcholoch mnohouholníka, čo nám umožňuje nájsť vzťah medzi polomerom r a stranou d.

Ak sa stredný uhol DOE nazýva β a berúc do úvahy, že apotém OJ je priesečník, máme EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), z ktorého máme vzťah na zistenie dĺžky d strany polygónu. pozná svoj polomer r a stredný uhol β:

d = 2 r Sen (β / 2)

V prípade heptadekagónu β = 360 ° / 17 máme:

d = 2 r Sen (180 ° / 17) ≈ 0,3675 r

Nakoniec sa získa vzorec pre obvod heptadekagónu, známy jeho polomer:

P = 34 r Sen (180 ° / 17) ≈ 6,2475 r

Obvod heptadecagónu je blízko obvodu obvodu, ktorý ho ohraničuje, ale jeho hodnota je menšia, to znamená, že obvod ohraničeného kruhu je Pcir = 2π r ≈ 6,2832 r.

rozloha

Na stanovenie plochy heptadekagónu sa odvolávame na obrázok 2, ktorý ukazuje boky a apotému pravidelného mnohouholníka s n stranami. Na tomto obrázku má trojuholník EOD plochu rovnú základni d (strana mnohouholníka) násobku výšky a (apotém mnohouholníka) vydelenú 2:

Plocha EOD = (dxa) / 2

Takže, poznajúc apotém a heptadekagónu a jeho stranu d, jeho oblasť je:

Plocha heptadekagónu = (17/2) (dxa)

Oblasť vzhľadom na stranu

Na získanie vzorca pre oblasť heptadekagónu, ktorý pozná dĺžku jeho sedemnástich strán, je potrebné získať vzťah medzi dĺžkou apotému a a strany d.

S odkazom na obrázok 2 sa získa tento trigonometrický vzťah:

Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, kde β je stredný uhol DOE. Apotém a sa teda dá vypočítať, ak je známa dĺžka d strany polygónu a stredový uhol β:

a = (d / 2) Cotan (ß / 2)

Ak je tento výraz teraz nahradený apotémom, vo vzorci pre plochu heptadekagónu získanú v predchádzajúcej časti máme:

Plocha heptadekagónu = (17/4) (d ² ) Cotan (β / 2)

Byť β = 360 ° / 17 pre heptadecagon, takže konečne máme požadovaný vzorec:

Plocha heptadekagónu = (17/4) (d ² ) Cotan (180 ° / 17)

Oblasť vzhľadom na polomer

V predchádzajúcich častiach sa našiel vzťah medzi stranou d pravidelného mnohouholníka a jeho polomerom r, pričom tento vzťah je nasledujúci:

d = 2 r Sen (β / 2)

Tento výraz pre d sa vloží do výrazu získaného v predchádzajúcej časti pre danú oblasť. Ak sa vykonajú príslušné substitúcie a zjednodušenia, získa sa vzorec, ktorý umožňuje výpočet plochy heptadekagónu:

Plocha heptadekagónu = (17/2) (r ² ) Sen (β) = (17/2) (r ² ) Sen (360 ° / 17)

Približný výraz pre túto oblasť je:

Plocha heptadekagónu = 3,0706 (r ² )

Ako sa dalo očakávať, táto oblasť je o niečo menšia ako plocha kruhu opisujúci heptadecagon A _CIRC = π r ² ≈ 3,1416 r ² . Presnejšie povedané, je to o 2% menej ako v jeho ohraničenom kruhu.

Príklady

Príklad 1

Na zodpovedanie otázky je potrebné pamätať na vzťah medzi stranou a polomerom pravidelného n-stranného mnohouholníka:

d = 2 r Sen (180 ° / n)

Pre heptadekagón n = 17, takže d = 0,3675 r, to znamená, že polomer heptadekagónu je r = 2 cm / 0,3675 = 5,4423 cm alebo

Priemer 10,88844 cm.

Obvod 2 cm bočného heptadekagónu je P = 17 x 2 cm = 34 cm.

Príklad 2

Musíme sa odvolať na vzorec uvedený v predchádzajúcej časti, ktorý nám umožňuje nájsť plochu heptadekagónu, keď má dĺžku d na jeho strane:

Plocha heptadekagónu = (17/4) (d ² ) / Tan (180 ° / 17)

Nahradením d = 2 cm v predchádzajúcom vzorci získame:

Plocha = 90,94 cm

Referencie

1. CEA (2003). Prvky geometrie: s cvičením a kompasovou geometriou. Univerzita v Medellíne.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. (2007). Objavte polygóny. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Generalizované polygóny. Birkhäuser.
5. Iger. (SF). Matematika Prvý semester Tacaná. Iger.
6. Geometria jr. (2014). Polygóny. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren a Hornsby. (2006). Matematika: Zdôvodnenie a aplikácie (desiate vydanie). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Redakčný progres.
9. Sada, M. 17-stranný pravidelný mnohouholník s pravítkom a kompasom. Obnovené z: geogebra.org
10. Wikipedia. Heptadecagon. Obnovené z: es.wikipedia.com