ANALYTICKÁ GEOMETRIA: ČO ŠTUDUJE, HISTÓRIA, APLIKÁCIE - MATEMATIKA - 2026

Tieto analytickej geometrie štúdie línie a geometrické tvary podľa použitím základných algebry techniky a matematickej analýzy v danom systéme súradníc.

V dôsledku toho je analytická geometria odvetvím matematiky, ktorá podrobne analyzuje všetky údaje geometrických útvarov, tj objem, uhly, oblasť, priesečníky, ich vzdialenosti a ďalšie.

Základnou charakteristikou analytickej geometrie je to, že umožňuje znázornenie geometrických útvarov pomocou vzorcov.

Obvody sú napríklad reprezentované polynómovými rovnicami druhého stupňa, zatiaľ čo línie sú vyjadrené polynomickými rovnicami prvého stupňa.

Analytická geometria sa objavila v sedemnástom storočí z dôvodu potreby poskytnúť odpovede na problémy, ktoré doteraz nemali riešenie. Jeho najvyššími predstaviteľmi boli René Descartes a Pierre de Fermat.

Mnoho autorov to dnes nazýva revolučným výtvorom v dejinách matematiky, pretože predstavuje začiatok modernej matematiky.

História analytickej geometrie

Termín analytická geometria vznikol vo Francúzsku v sedemnástom storočí z dôvodu potreby poskytnúť odpovede na problémy, ktoré nebolo možné vyriešiť izolovanou algebrou a geometriou, ale riešenie spočívalo v spoločnom použití oboch.

Hlavní predstavitelia analytickej geometrie

Počas sedemnásteho storočia dvaja Francúzi náhodou v živote vykonávali výskum, ktorý akýmkoľvek spôsobom skončil vytvorením analytickej geometrie. Títo ľudia boli Pierre de Fermat a René Descartes.

V súčasnosti sa považuje za tvorcu analytickej geometrie René Descartes. Dôvodom je skutočnosť, že publikoval svoju knihu pred Fermatovou a tiež do hĺbky s Descartesom na tému analytickej geometrie.

Fermat aj Descartes však zistili, že čiary a geometrické obrazce môžu byť vyjadrené rovnicami a rovnice môžu byť vyjadrené ako čiary alebo geometrické obrazce.

Podľa objavov oboch sa dá povedať, že obaja sú tvorcami analytickej geometrie.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat bol francúzsky matematik, ktorý sa narodil v roku 1601 a zomrel v roku 1665. Počas svojho života študoval geometriu Euklidov, Apolónia a Pappusa, aby vyriešil problémy merania, ktoré v tom čase existovali.

Neskôr tieto štúdie vyvolali vytvorenie geometrie. Nakoniec boli vyjadrení v jeho knihe „Úvod do rovných a pevných miest“ (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge), ktorá vyšla 14 rokov po jeho smrti v roku 1679.

Pierre de Fermat aplikoval analytickú geometriu na Apolloniusove vety na geometrických miestach v roku 1623. Bol tiež prvým, kto použil analytickú geometriu na trojrozmerný priestor.

Rene Descartes

Tiež známy ako Cartesius, bol matematik, fyzik a filozof, ktorý sa narodil 31. marca 1596 vo Francúzsku a zomrel v roku 1650.

René Descartes publikoval v roku 1637 svoju knihu „Diskuse o metóde správneho usporadúvania rozumu a hľadania pravdy vo vede“, známejšej ako „Metóda“ a odtiaľ sa do sveta dostal pojem analytická geometria. Jednou z jeho príloh bola „Geometria“.

Základné prvky analytickej geometrie

Analytická geometria sa skladá z týchto prvkov:

Kartézsky súradnicový systém

Tento systém je pomenovaný po René Descartes.

Nebol to on, kto to pomenoval, ani ten, kto dokončil karteziánsky súradnicový systém, ale to bol on, kto hovoril o súradniciach s kladnými číslami, čo umožnilo budúcim učiteľom dokončiť ho.

Tento systém sa skladá z pravouhlého súradnicového systému a polárneho súradnicového systému.

Obdĺžnikové súradnicové systémy

Obdĺžnikové súradnicové systémy sa nazývajú rovinou vytvorenou sledovaním dvoch číselných čiar kolmých na seba, kde sa hraničný bod zhoduje so spoločnou nulou.

Potom by tento systém pozostával z horizontálnej a vertikálnej línie.

Vodorovná čiara je os X alebo os xa. Zvislá čiara by bola os Y alebo os y.

Polárny súradnicový systém

Tento systém je zodpovedný za overenie relatívnej polohy bodu vo vzťahu k pevnej čiare a pevnému bodu na čiare.

Kartézska rovnica priamky

Táto rovnica sa získa z priamky, keď sú známe dva body, cez ktoré prechádza.

Priamka

Je to ten, ktorý sa neodchyľuje, a preto nemá krivky ani uhly.

Conics

Sú to krivky definované čiarami, ktoré prechádzajú pevným bodom a bodmi krivky.

Elipsa, obvod, parabola a hyperbola sú kónické krivky. Každá z nich je opísaná nižšie.

obvod

Obvod sa nazýva krivka uzavretej roviny, ktorá je tvorená všetkými bodmi roviny, ktoré sú rovnako vzdialené od vnútorného bodu, to znamená od stredu obvodu.

podobenstvo

Je to miesto bodov v rovine, ktoré sú rovnako vzdialené od pevného bodu (zaostrenie) a pevnej línie (directrix). Takže parabola je definovaná ako directrix a focus.

Parabola sa dá získať ako rez kužeľovej plochy otáčania rovinou rovnobežnou s generatrixom.

elipsa

Uzatvorená krivka, ktorá opisuje bod pri pohybe v rovine, sa nazýva elipsa tak, že súčet jej vzdialeností k dvom (2) pevným bodom (nazývaným ohniská) je konštantný.

hyperbola

Hyperbola sa nazýva krivka definovaná ako lokus bodov v rovine, pre ktorý je rozdiel medzi vzdialenosťami dvoch pevných bodov (ohniská) konštantný.

Hyperbola má os symetrie, ktorá prechádza ložiskami, nazývaná ohnisková os. Má tiež ďalšiu, ktorá je priesečníkom segmentu, ktorý má na svojich koncoch pevné body.

aplikácia

Existuje mnoho aplikácií analytickej geometrie v rôznych oblastiach každodenného života. Napríklad v mnohých nástrojoch, ktoré sa dnes používajú, nájdeme parabolu, jeden zo základných prvkov analytickej geometrie. Niektoré z týchto nástrojov sú tieto:

Parabolická anténa

Parabolické antény majú reflektor vytvorený v dôsledku paraboly, ktorá sa otáča na osi antény. Povrch, ktorý sa vytvorí v dôsledku tejto akcie, sa nazýva paraboloid.

Táto schopnosť paraboloidu sa nazýva optická vlastnosť alebo vlastnosť odrazu paraboly a vďaka tomu je možné, aby paraboloid odrážal elektromagnetické vlny, ktoré prijíma z podávacieho mechanizmu, ktorý tvorí anténu.

Závesné mosty

Ak lano nesie hmotnosť, ktorá je homogénna, ale zároveň je podstatne vyššia ako hmotnosť samotného lana, výsledkom bude parabola.

Tento princíp je zásadný pre konštrukciu visutých mostov, ktoré sú obvykle podopreté širokými oceľovými káblovými štruktúrami.

Princíp podobenstva v visutých mostoch sa používa v štruktúrach, ako je most Golden Gate Bridge, ktorý sa nachádza v meste San Francisco v Spojených štátoch, alebo Veľký most prielivu Akashi, ktorý sa nachádza v Japonsku a spája ostrov Awaji s Honshūom, hlavným ostrovom tejto krajiny.

Astronomická analýza

Analytická geometria má tiež veľmi špecifické a rozhodujúce využitie v oblasti astronómie. V tomto prípade je prvkom analytickej geometrie, ktorý má stredné štádium, elipsa; Odráža to zákon pohybu Johna Keplera.

Nemecký matematik a astronóm Kepler určil, že elipsa je krivka, ktorá najlepšie zodpovedá pohybu Marsu; Predtým testoval kruhový model navrhnutý Copernicusom, ale v polovici svojich experimentov vyvodil, že elipsa slúži na nakreslenie obežnej dráhy úplne podobnej planéte planéty, ktorú študoval.

Vďaka elipse Kepler dokázal potvrdiť, že planéty sa pohybovali v eliptických obežných dráhach; táto úvaha bola vyhlásením tzv. druhého zákona z Keplera.

Z tohto objavu, ktorý neskôr obohatil anglický fyzik a matematik Isaac Newton, bolo možné študovať obehové pohyby planét a rozšíriť vedomosti o vesmíre, ktorého sme súčasťou.

Teleskop Cassegrain

Teleskop Cassegrain je pomenovaný po svojom vynálezcovi, francúzskom fyzikovi Laurentovi Cassegrainovi. V tomto ďalekohľade sa používajú princípy analytickej geometrie, pretože sa skladajú hlavne z dvoch zrkadiel: prvé je konkávne a parabolické a druhé je charakterizované ako konvexné a hyperbolické.

Umiestnenie a povaha týchto zrkadiel umožňuje, aby sa nevyskytla chyba známa ako sférická aberácia; Táto chyba bráni odrazu svetelných lúčov v ohnisku danej šošovky.

Teleskop Cassegrain je veľmi užitočný pre pozorovanie planét, rovnako ako veľmi univerzálny a ľahko použiteľný.

Referencie

1. Analytická geometria. Načítané 20. októbra 2017, z britannica.com
2. Analytická geometria. Našli sme 20. októbra 2017 z encyklopédiefmath.org
3. Analytická geometria. Načítané 20. októbra 2017, z khancademy.org
4. Analytická geometria. Získané 20. októbra 2017, zo stránky wikipedia.org
5. Analytická geometria. Získané 20. októbra 2017, z whitman.edu
6. Analytická geometria. Načítané 20. októbra 2017, zo stewartcalculus.com
7. Analytická geometria roviny Získané 20. októbra 2017