Logaritmické funkcie je matematický vzťah, ktorý spája každý pozitívny reálne číslo X s jeho logaritmus y na báze A. Tento vzťah spĺňa požiadavky na funkciu: každý prvok x patriaci do domény má jedinečný obraz.
teda:
Pretože logaritmus založený na čísle x je číslo y, na ktoré musí byť báza a zvýšená, aby sa získalo x.
- Logaritmus bázy je vždy 1. Graf f (x) = log a x vždy pretína os x v bode (1,0)
- Logaritmická funkcia je transcendentná a nemôže byť vyjadrená ako polynóm alebo ako kvocient týchto. Okrem logaritmu táto skupina zahŕňa okrem iného aj trigonometrické funkcie a exponenciálne funkcie.
Príklady
Logaritmická funkcia môže byť stanovená rôznymi základmi, ale najpoužívanejšie sú 10 a e, kde e je Eulerovo číslo rovné 2,71828 ….
Keď sa použije báza 10, logaritmus sa nazýva desatinný logaritmus, obyčajný logaritmus, Briggsov alebo obyčajný logaritmus.
A ak sa použije číslo e, potom sa nazýva prirodzený logaritmus po tom, čo škótsky matematik John Napier objavil logaritmy.
Záznam používaný pre každú z nich je nasledujúci:
- Desatinná logaritmus: log 10 x = log x
-Neriansky logaritmus: ln x
Ak sa má použiť iná báza, je nevyhnutné ju označiť ako index, pretože logaritmus každého čísla je odlišný v závislosti od bázy, ktorá sa má použiť. Napríklad, ak ide o logaritmy v báze 2, napíšte:
y = log 2 x
Pozrime sa na logaritmus čísla 10 v troch rôznych základoch, aby sme ilustrovali tento bod:
log 10 = 1
ln 10 = 2,30259
log 2 10 = 3,32193
Bežné kalkulačky prinášajú iba desatinné logaritmy (funkcia log) a prirodzený logaritmus (funkcia ln). Na internete sú kalkulačky s inými základmi. V každom prípade môže čitateľ pomocou svojej pomoci overiť, či sú splnené predchádzajúce hodnoty:
10 1 = 10
e 2,3026 = 10 0001
2 3,32193 = 10,0000
Malé desatinné rozdiely sú spôsobené počtom desatinných miest získaných pri výpočte logaritmu.
Výhody logaritmov
Medzi výhody použitia logaritmov patrí jednoduchosť práce s veľkými číslami, použitie ich logaritmov namiesto priameho čísla.
Je to možné, pretože funkcia logaritmu rastie pomalšie s rastúcim počtom, ako vidíme na grafe.
Takže aj pri veľmi veľkom počte sú ich logaritmy omnoho menšie a manipulácia s malými číslami je vždy jednoduchšia.
Logaritmy majú okrem toho tieto vlastnosti:
- Produkt : log (ab) = log a + log b
- Quotient : log (a / b) = log a - log b
- Napájanie : log a b = b.log a
Týmto spôsobom sa výrobky a kvocienty stávajú sčítaním a odčítaním menšieho počtu, zatiaľ čo potenciácia sa stáva jednoduchým produktom, aj keď je sila vysoká.
Preto nám logaritmy umožňujú vyjadriť čísla, ktoré sa líšia vo veľmi širokom rozsahu hodnôt, ako sú intenzita zvuku, pH roztoku, jas hviezd, elektrický odpor a intenzita zemetrasení v Richterovej stupnici.
Obrázok 2. Logaritmy sa používajú v Richterovej stupnici na kvantifikáciu rozsahu zemetrasení. Na obrázku je zrútená budova v Concepcióne v Čile počas zemetrasenia v roku 2010. Zdroj: Wikimedia Commons.
Pozrime sa na príklad manipulácie s vlastnosťami logaritmov:
príklad
Nájdite hodnotu x v nasledujúcom výraze:
odpoveď
Máme tu logaritmickú rovnicu, pretože neznámy je v argumente logaritmu. Vyrieši sa tak, že na každej strane rovnosti zostane jediný logaritmus.
Začneme umiestnením všetkých výrazov, ktoré obsahujú „x“ naľavo od rovnosti a tých, ktoré obsahujú iba čísla vpravo:
log (5x + 1) - log (2x-1) = 1
Vľavo máme odčítanie dvoch logaritmov, ktoré možno zapísať ako logaritmus kvocientu:
log = 1
Napravo je však číslo 1, ktoré môžeme vyjadriť ako log 10, ako sme videli predtým. takže:
log = log 10
Aby bola rovnosť pravdivá, argumenty logaritmov musia byť rovnaké:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 11/15
Cvičenie aplikácie: Richterova stupnica
V roku 1957 došlo v Mexiku k zemetraseniu, ktorého veľkosť bola 7,7 stupňa Richterovej stupnice. V roku 1960 došlo k ďalšiemu zemetraseniu väčšieho rozsahu v Čile, 9,5.
Vypočítajte, koľkokrát bolo zemetrasenie v Čile intenzívnejšie ako zemetrasenie v Mexiku s vedomím, že veľkosť M R v Richterovej stupnici je daná vzorcom:
M R = log (10 4 I)
Riešenie
Rozsah zemetrasenia v Richterovej stupnici je logaritmická funkcia. Budeme počítať intenzitu každého zemetrasenia, pretože máme Richterove veľkosti. Urobme to krok za krokom:
- Mexiko : 7,7 = log (10 4 I)
Pretože inverzia logaritmickej funkcie je exponenciálna, aplikujeme to na obidve strany rovnosti so zámerom riešenia pre I, čo sa nachádza v argumente logaritmu.
Pretože ide o desatinné logaritmy, základ je 10. Potom:
10 7.7 = 10 4 I
Intenzita zemetrasenia v Mexiku bola:
Aj M = 10 7.7 / 10 4 = 10 3.7
- Čile : 9,5 = log (10 4 I)
Rovnaký postup nás vedie k intenzite zemetrasenia v Čile I Ch :
Aj Ch = 10 9.5 / 10 4 = 10 5.5
Teraz môžeme porovnať obe intenzity:
I Ch / I M = 10 5,5 / 10 3,7 = 10 1,8 = 63,1
I Ch = 63,1. I M
Zemetrasenie v Čile bolo asi 63-krát intenzívnejšie ako zemetrasenie v Mexiku. Pretože veľkosť je logaritmická, rastie pomalšie ako intenzita, takže rozdiel 1 v hodnote znamená 10-krát väčšiu amplitúdu seizmickej vlny.
Rozdiel medzi veľkosťami obidvoch zemetrasení je 1,8, preto by sme mohli očakávať, že rozdiel v intenzitách sa blíži k 100 ako k 10, ako sa skutočne stalo.
V skutočnosti, keby bol rozdiel presne 2, čílske zemetrasenie by bolo 100-krát intenzívnejšie ako mexické.
Referencie
- Carena, M. 2019. Preduniverzitná matematická príručka. Národná univerzita v Litorale.
- Figuera, J. 2000. Matematika 1.. Diverzifikovaný rok. Vydania CO-BO.
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Larson, R. 2010. Výpočet premennej. 9 .. Vydanie. McGraw Hill.
- Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5 .. Vydanie. Cengage Learning.