HOMOGRAFICKÁ FUNKCIA: AKO GRAFOVAŤ, VYRIEŠENÉ CVIČENIA - MATEMATIKA - 2026

Funkcia homographic alebo racionálne ng je druh matematické funkcie sa skladá z polynomial rozdelenia dvoch zložiek. Spĺňa formu P (x) / Q (x), kde Q (x) nemôže mať nulovú formu.

Napríklad výraz (2x - 1) / (x + 3) zodpovedá homografickej funkcii s P (x) = 2x - 1 a Q (x) = x + 3.

Zdroj: pixabay.com

Homografické funkcie tvoria časť štúdia analytických funkcií, ktoré sa liečia grafickým prístupom a štúdiom oblasti a rozsahu. Je to kvôli obmedzeniam a dôvodom, ktoré sa musia uplatniť pri vašich uzneseniach.

Čo je to homografická funkcia?

Sú to racionálne výrazy jednej premennej, hoci to neznamená, že neexistuje podobný výraz pre dve alebo viac premenných, kde by už bol v prítomnosti telies v priestore, ktoré sa riadia rovnakými vzormi ako homografická funkcia v rovine.

V niektorých prípadoch majú skutočné korene, ale vždy sa zachováva existencia vertikálnych a horizontálnych asymptot, ako aj intervaly rastu a poklesu. Zvyčajne je prítomný iba jeden z týchto trendov, existujú však prejavy, ktoré sa môžu prejaviť v ich vývoji.

Jeho doména je obmedzená koreňmi menovateľa, pretože nedochádza k deleniu nulou reálnych čísel.

Zmiešaná homografická funkcia

Pri výpočte sú veľmi časté, najmä diferenciálne a integrálne, ktoré sú potrebné na odvodenie a anti-derivát podľa konkrétnych vzorcov. Niektoré z najbežnejších sú uvedené nižšie.

Ešte deviaty koreň homografickej funkcie

Vylúčte všetky prvky domény, ktoré spôsobujú negatívny argument. Korene prítomné v každej hodnote polynomického výťažku sú pri vyhodnotení nulové.

Tieto hodnoty radikál prijíma, aj keď je potrebné zohľadniť základné obmedzenie homografickej funkcie. Kde Q (x) nemôže prijať nulové hodnoty.

Riešenia intervalov musia byť zachytené:

Na dosiahnutie riešenia križovatiek je možné použiť okrem iného metódu signovania.

Logaritmus homografickej funkcie

Je tiež bežné nájsť obidva výrazy v jednom, medzi inými možnými kombináciami.

Ako grafovať homografickú funkciu?

Homografické funkcie graficky zodpovedajú hyperbolasom v rovine. Ktoré sa prepravujú horizontálne a vertikálne podľa hodnôt, ktoré definujú polynómy.

Existuje niekoľko prvkov, ktoré musíme definovať, aby bolo možné načrtnúť racionálnu alebo homografickú funkciu.

hodnosť

Prvým budú korene alebo nuly funkcií P a Q.

Dosiahnuté hodnoty budú vyznačené na osi x grafu. Označenie priesečníkov grafu s osou.

Vertikálna asymptota

Zodpovedajú zvislým čiaram, ktoré ohraničujú graf podľa trendov, ktoré prezentujú. Dotýkajú sa osi x pri hodnotách, ktoré robia menovateľa nulou, a nikdy sa ich nedotkne graf homografickej funkcie.

Horizontálna asymptota

Predstavovaná vodorovnou stehovou čiarou, vyznačuje hranicu, pre ktorú funkcia nebude definovaná v presnom bode. Trendy sa budú pozorovať pred a po tomto riadku.

Na jej výpočet sa musíme uchýliť k metóde podobnej L'Hopitalovej metóde, ktorá sa používa na riešenie limitov racionálnych funkcií, ktoré majú sklon k nekonečnu. V čitateli a menovateli funkcie musíme vziať koeficienty najvyšších mocností.

Napríklad nasledujúci výraz má vodorovnú asymptotu na y = 2/1 = 2.

Rastový interval

Súradnicové hodnoty budú mať na grafe vyznačené trendy kvôli asymptotám. V prípade rastu funkcia zvýši hodnoty, keď sa prvky domény hodnotia zľava doprava.

Znížiť interval

Hodnoty súradníc sa budú znižovať, keď sa prvky domény hodnotia zľava doprava.

Skoky nájdené v hodnotách sa nebudú brať do úvahy pri zvyšovaní alebo znižovaní. K tomu dochádza, keď je graf blízko vertikálnej alebo horizontálnej asymptoty, kde sa hodnoty môžu meniť od nekonečna po zápornú nekonečno a naopak.

Križovatka Y

Nastavením hodnoty x na nulu nájdeme priesečník s osou y. Toto sú veľmi užitočné údaje na získanie grafu racionálnej funkcie.

Príklady

Definujte graf nasledujúcich výrazov, nájdite ich korene, vertikálne a horizontálne asymptoty, intervaly nárastu a poklesu a priesečník s osou súradníc.

Cvičenie 1

Výraz nemá korene, pretože má v čitateli konštantnú hodnotu. Uplatňované obmedzenie sa bude x líšiť od nuly. Pri horizontálnej asymptote na y = 0 a vertikálnej asymptote na x = 0. Neexistujú žiadne priesečníky s osou y.

Je pozorované, že neexistujú žiadne rastové intervaly ani pri skoku z mínus na plus nekonečno pri x = 0.

Interval zníženia je

ID: (-∞; o) U (0, ∞)

Cvičenie 1.2

Pozorované sú 2 polynómy ako v pôvodnej definícii, takže postupujeme podľa stanovených krokov.

Nájdený koreň je x = 7/2, čo vyplýva z nastavenia funkcie na nulu.

Vertikálna asymptota je na x = - 4, čo je hodnota vylúčená z domény racionálnou funkčnou podmienkou.

Horizontálna asymptota je na y = 2, čo po delení 2/1 sú koeficienty premenných stupňa 1.

Má priesečník y = - 7/4. Hodnota nájdená po vyrovnaní x na nulu.

Funkcia neustále rastie, so skokom z plusu na mínus nekonečno okolo koreňa x = -4.

Jeho rastový interval je (-∞, - 4) U (- 4, ∞).

Keď sa hodnota x priblíži mínus nekonečno, funkcia vezme hodnoty blízko 2. To isté sa stane, keď x priblíži viac nekonečna.

Expresia sa priblíži plus nekonečno pri hodnotení na - 4 zľava a mínus nekonečno pri hodnotení na - 4 sprava.

Cvičenie 2

Pozoruje sa graf nasledujúcej homografickej funkcie:

Opíšte jeho správanie, korene, vertikálne a horizontálne asymptoty, intervaly rastu a poklesu a priesečníky s osou y.

Menovateľ výrazu nám hovorí faktorovaním rozdielu druhých mocnín (x + 1) (x - 1) hodnôt koreňov. Týmto spôsobom môžu byť obe vertikálne asymptoty definované ako:

x = -1 a x = 1

Horizontálna asymptota zodpovedá osi x, pretože najvyššia mocnosť je v menovateli.

Jeho jediný koreň je definovaný x = -1/3.

Výraz vždy klesá zľava doprava. Keď sa blíži k nekonečnu, blíži sa k nule. Mínus nekonečno, keď sa blížiš -1 zľava. Plus nekonečno, keď sa blíži -1 zprava. Menšie nekonečno pri približovaní sa k 1 zľava a nekonečnejšie pri približovaní sa k 1 sprava.

Referencie

1. Aproximácia s racionálnymi funkciami. Donald J. Newman. American Mathematical Soc., 31. decembra. 1979
2. Ortogonálne racionálne funkcie. UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA TENERIFE ADHEMAR BULTHEEL, Adhemar Bultheel, Pablo Gonzalez-Vera, Erik Hendriksen, Olav Njastad. Cambridge University Press, 13. februára. 1999
3. Racionálna aproximácia skutočných funkcií. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3. marca. 2011
4. Algebraické funkcie. Gilbert Ames Bliss. Courier Corporation, 1. januára 2004
5. Časopis Španielskej matematickej spoločnosti, zväzky 5-6. Španielska matematická spoločnosť, Madrid 1916