KONŠTANTNÁ FUNKCIA: VLASTNOSTI, PRÍKLADY, CVIČENIA - MATEMATIKA - 2026

Funkcia konštanta je taká, v ktorej je hodnota y udržiava konštantný. Inými slovami: konštantná funkcia má vždy tvar f (x) = k, kde k je skutočné číslo.

Pri grafe konštantnej funkcie v súradnicovom systéme xy vždy vzniká priamka rovnobežná s horizontálnou alebo osou x.

Obrázok 1. Graf niekoľkých konštantných funkcií na karteziánskej rovine. Zdroj: Wikimedia Commons. Užívateľ: HiTe

Táto funkcia je špecifickým prípadom afinnej funkcie, ktorej graf je tiež priamka, ale so sklonom. Konštantná funkcia má nulový sklon, to znamená, že je to vodorovná čiara, ako je vidieť na obrázku 1.

Tam je graf troch konštantných funkcií:

Všetky sú čiary rovnobežné s horizontálnou osou, prvá je pod touto osou, zatiaľ čo ostatné sú nad ňou.

Charakteristiky konštantnej funkcie

Hlavné charakteristiky konštantnej funkcie môžeme zhrnúť takto:

- Graf je vodorovná priamka.

- Má jedinečný priesečník s osou y, ktorý má hodnotu k.

-Je to nepretržité.

-The doména konštantná funkcia (súbor hodnôt, ktoré môžu mať x) je množina reálnych čísel R .

- Cesta, rozsah alebo kontrar doména (množina hodnôt, ktoré má premenná y) je jednoducho konštanta k.

Príklady

Funkcie sú potrebné na vytvorenie spojenia medzi množstvami, ktoré nejakým spôsobom závisia od seba. Vzťah medzi nimi možno matematicky modelovať, aby sme zistili, ako sa jeden z nich správa, keď sa druhý líši.

To pomáha vytvárať modely pre mnoho situácií a robiť predpovede o ich správaní a vývoji.

Napriek svojej zjavnej jednoduchosti má konštantná funkcia mnoho aplikácií. Napríklad, pokiaľ ide o štúdium množstiev, ktoré zostávajú konštantné v priebehu času alebo aspoň počas značného času.

Týmto spôsobom sa veličiny správajú v nasledovných situáciách:

- cestovná rýchlosť automobilu, ktorý sa pohybuje po dlhej priamej diaľnici. Pokiaľ nezabrzdíte alebo nezrýchlíte, auto má rovnomerný priamočiary pohyb.

Obrázok 2. Ak vozidlo nebrzdí alebo akceleruje, má rovnomerný priamočiary pohyb. Zdroj: Pixabay.

- Plne nabitý kondenzátor odpojený od obvodu má v priebehu času konštantný náboj.

- Nakoniec, paušálne parkovisko udržuje konštantnú cenu bez ohľadu na to, ako dlho je tam auto zaparkované.

Ďalším spôsobom, ako reprezentovať konštantnú funkciu

Konštantnú funkciu možno alternatívne znázorniť takto:

Pretože akákoľvek hodnota x zvýšená na 0 má za následok 1, predchádzajúci výraz sa zníži na už známy:

To sa samozrejme stane, pokiaľ sa hodnota k líši od 0.

Preto je konštantná funkcia tiež klasifikovaná ako polynomická funkcia stupňa 0, pretože exponent premennej x je 0.

Riešené cvičenia

- Cvičenie 1

Odpovedaj na nasledujúce otázky:

a) Dá sa povedať, že priamka daná x = 4 je konštantná funkcia? Odôvodnite svoju odpoveď.

b) Môže mať konštantná funkcia priesečník x?

c) Je funkcia f (x) = w ² konštantná ?

Odpoveď na

Tu je graf čiary x = 4:

Obrázok 3. Graf čiary x = 4. Zdroj: F. Zapata.

Čiara x = 4 nie je funkciou; podľa definície je funkciou taký vzťah, že každá hodnota premennej x zodpovedá jednej hodnote y. A v tomto prípade to nie je pravda, pretože hodnota x = 4 je spojená s nekonečnými hodnotami y. Odpoveď preto nie je.

Odpoveď b

Konštantná funkcia nemá vo všeobecnosti žiadny priesečník x, pokiaľ to nie je y = 0, v takom prípade je to samotná os x.

Odpoveď c

Áno, pretože w je konštantné, aj jeho štvorec je konštantný. Záleží na tom, že w nezávisí od vstupnej premennej x.

- Cvičenie 2

Nájdite priesečník medzi funkciami f (x) = 5 ag (x) = 5x - 2

Riešenie

Aby sa našiel priesečník medzi týmito dvoma funkciami, možno ich prepísať nasledovne:

Vyrovnávajú sa a získavajú:

Aká je lineárna rovnica prvého stupňa, ktorej riešením je:

Priesečník je (7/5,5).

- Cvičenie 3

Ukážte, že derivácia konštantnej funkcie je 0.

Riešenie

Z definície derivátu máme:

Nahradenie v definícii:

Ďalej, ak uvažujeme o deriváte ako o rýchlosti zmeny dy / dx, konštantná funkcia nepodlieha žiadnej zmene, preto je jeho derivácia nulová.

- Cvičenie 4

Nájdite neurčitý integrál f (x) = k.

Riešenie

Obrázok 4. Graf funkcie v (t) pre mobil cvičenia 6. Zdroj: F. Zapata.

Pýta sa:

a) Napíšte výraz pre funkciu rýchlosti ako funkciu času v (t).

b) Nájdite vzdialenosť, ktorú prešiel mobil v časovom intervale medzi 0 a 9 sekundami.

Riešenie

Z uvedeného grafu vyplýva, že:

- v = 2 m / s v časovom intervale medzi 0 a 3 sekundami

- Mobil sa zastaví na 3 až 5 sekúnd, pretože v tomto intervale je rýchlosť 0.

- v = - 3 m / s medzi 5 a 9 sekundami.

Je to príklad funkcie po častiach alebo funkcie po častiach, ktorá sa skladá z konštantných funkcií a platí iba pre uvedené časové intervaly. Dospelo sa k záveru, že požadovaná funkcia je:

Riešenie b

Z grafu v (t) je možné vypočítať vzdialenosť, ktorú prešiel mobil, čo je numericky ekvivalentné ploche pod / na krivke. Touto cestou:

-Dojazd sa pohyboval medzi 0 a 3 sekundami = 2 m / s. 3 s = 6 m

- Medzi 3 a 5 sekundami bol zadržaný, preto necestoval žiadnu vzdialenosť.

-Vzdialenosť sa pohybovala medzi 5 a 9 sekundami = 3 m / s. 4 s = 12 m

Celkom cestoval mobil 18 m. Upozorňujeme, že aj keď je rýchlosť v intervale medzi 5 a 9 sekundami záporná, ubehnutá vzdialenosť je kladná. Stáva sa, že počas tohto časového intervalu mobil zmenil zmysel pre svoju rýchlosť.

Referencie

1. Geogebra. Konštantné funkcie. Obnovené z: geogebra.org.
2. MAPLESOFT. Konštantná funkcia. Obnovené z: maplesoft.com.
3. Wikibooks. Výpočet v premennej / funkcie / konštantná funkcia. Obnovené z: es.wikibooks.org.
4. Wikipedia. Konštantná funkcia. Obnovené z: en.wikipedia.org
5. Wikipedia. Konštantná funkcia. Obnovené z: es.wikipedia.org.