- Ako funguje bijektívna funkcia?
- Nečinnosť funkcie
- Cieľová funkcia
- Úprava funkcie
- Príklady: riešené cvičenia
- Cvičenie 1
- Cvičenie 2
- Cvičenie 3
- Cvičenie 4
- Navrhované cvičenia
- Referencie
Bijektívne funkcie je taká, ktorá spĺňa dvojitú podmienku, že injective a surjektivní . To znamená, že všetky prvky domény majú jeden obraz v codomain, a zase codomain sa rovná hodnosti funkcia ( R f ).
Je to splnené zvážením vzájomného vzťahu medzi prvkami domény a codomény. Jednoduchým príkladom je funkcia F: R → R definovaná čiarou F (x) = x
Zdroj: Autor
Poznamenáva sa, že pre každú hodnotu domény alebo počiatočnej množiny (obidva podmienky platia rovnako) je v kodoméne alebo príletovej množine jeden obraz. Okrem toho tu nie je žiadny iný prvok ako obraz.
Týmto spôsobom je F: R → R, definovaný čiarou F (x) = x, dvojsmerný
Ako funguje bijektívna funkcia?
Na zodpovedanie tohto problému je potrebné objasniť pojmy týkajúce sa injekčnej funkcie a predávkovania funkcie , ako aj kritériá pre funkcie kondicionovania, aby sa mohli prispôsobiť požiadavkám.
Nečinnosť funkcie
Funkcia je injektívna, keď každý z prvkov svojej domény súvisí s jediným prvkom codomény. Prvkom codomény môže byť iba obraz jedného prvku domény, takže hodnoty závislej premennej sa nemôžu opakovať.
Aby sa zvážila funkčná injekčná aplikácia , musia byť splnené tieto podmienky:
∀ x 1 ≠ x 2 ⇒ F (x 1 ) ≠ F (x 2 )
Cieľová funkcia
Funkcia je klasifikovaná ako surjektívna, ak je každý prvok jej kodomény obrazom najmenej jedného prvku domény.
Aby sa funkcia považovala za pomocnú funkciu, musia byť splnené tieto podmienky:
Nech F: D f → C f
∀ b ℮ C f E a ℮ D f / F (a) = b
Toto je algebraický spôsob, ako zistiť, že pre každé „b“, ktoré patrí do Cf, existuje „a“, ktoré patria do Df , takže funkcia vyhodnotená v „a“ je rovná „b“.
Úprava funkcie
Niekedy môže byť funkcia, ktorá nie je bijektívna, podrobená určitým podmienkam. Tieto nové podmienky môžu z neho urobiť bijektívnu funkciu. Platia všetky druhy modifikácií domény a codomény funkcie, pričom cieľom je splniť vlastnosti injektivity a surjectivity v zodpovedajúcom vzťahu.
Príklady: riešené cvičenia
Cvičenie 1
Nech je funkcia F: R → R definovaná čiarou F (x) = 5x +1
A:
Poznamenáva sa, že pre každú hodnotu domény je v kodoméne obraz. Tento obrázok je jedinečná čo F prosté zobrazenie . Rovnako pozorujeme, že codoména funkcie je rovnaká ako jej hodnosť. Tým je splnená podmienka surektivity .
Tým, že sme súčasne injekční a adjektívni, môžeme dospieť k záveru
F: R → R definovaná čiarou F (x) = 5x +1 je bijektívna funkcia.
Platí to pre všetky lineárne funkcie (funkcie, ktorých najvyšší stupeň premennej je jedna).
Cvičenie 2
Nech je funkcia F: R → R definovaná pomocou F (x) = 3x 2 - 2
Pri nakreslení vodorovnej čiary sa zistí, že graf sa nachádza pri viacerých príležitostiach. Z tohto dôvodu funkcia F nie je injektívna, a preto nebude bijektívna, ak je definovaná v R → R
Podobne existujú hodnoty codomainov, ktoré nie sú obrázkami žiadneho prvku domény. Z tohto dôvodu funkcia nie je adjektívna, čo si tiež zaslúži podmienku nastavenia príletovej sady.
Postupujeme k podmieneniu domény a codomény funkcie
F: →
Ak sa zistí, že nová doména pokrýva hodnoty od nuly po kladné nekonečno. Vyhýbanie sa opakovaniu hodnôt, ktoré ovplyvňujú injekčnosť.
Podobne bola modifikovaná codoména, počítajúc od "-2" do pozitívnej nekonečna, z ktorej boli vylúčené hodnoty, ktoré nezodpovedali žiadnemu prvku domény.
Týmto spôsobom je možné zaistiť, že F : → definované pomocou F (x) = 3x 2 - 2
Je bijektívny
Cvičenie 3
Nech je funkcia F: R → R definovaná pomocou F (x) = Sen (x)
V intervale sínusová funkcia mení svoje výsledky medzi nulou a jednou.
Zdroj: Autor.
Funkcia F nezodpovedá kritériám injektivity a surjectivity, pretože hodnoty závislej premennej sa opakujú každý interval π. Ďalej, termíny kodomény mimo intervalu nie sú obrazom žiadneho prvku domény.
Pri štúdiu grafu funkcie F (x) = Sen (x) sa pozorujú intervaly, v ktorých správanie krivky spĺňa kritériá bijektivity . Ako napríklad interval D f = pre doménu. A C f = pre doménu.
Tam, kde sa funkcia líši, sú výsledky od 1 do -1 bez opakovania akejkoľvek hodnoty v závislej premennej. A zároveň sa kodoména rovná hodnotám prijatým výrazom Sen (x)
Funkcia F: → definovaná pomocou F (x) = Sen (x). Je bijektívny
Cvičenie 4
Uveďte potrebné podmienky pre D f a C f . Takže výraz
F (x) = -x 2 byť bijektívne.
Zdroj: Autor
Opakovanie výsledkov sa pozoruje, keď premenná získa opačné hodnoty:
F (2) = F (-2) = -4
F (3) = F (-3) = -9
F (4) = F (-4) = -16
Doména je podmienená a obmedzuje ju na pravú stranu skutočnej línie.
D f =
Rovnakým spôsobom sa pozoruje, že rozsah tejto funkcie je interval, ktorý pri pôsobení ako codomain spĺňa podmienky surjectivity.
Týmto spôsobom môžeme dospieť k záveru
Výraz F: → definovaný pomocou F (x) = -x 2 Je dvojväzbový
Navrhované cvičenia
Skontrolujte, či sú nasledujúce funkcie bijektívne:
F: → R definované pomocou F (x) = 5ctg (x)
F: → R definované pomocou F (x) = Cos (x - 3)
F: R → R definované čiarou F (x) = -5x + 4
Referencie
- Úvod do logického a kritického myslenia. Merrilee H. Salmon. University of Pittsburgh
- Problémy v matematickej analýze. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Vroclavská univerzita. Poľsko.
- Prvky abstraktnej analýzy. Mícheál O'Searcoid PhD. Katedra matematiky. Univerzitná univerzita Dublin, Beldfield, Dublind 4
- Úvod do logiky a metodológie deduktívnych vied. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxfordská univerzitná tlač.
- Princípy matematickej analýzy. Enrique Linés Escardó. Redakcia Reverté S. A 1991. Barcelona, Španielsko.