FAKTORING: METÓDY A PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2026

Faktorizácia je metóda, pri ktorej je polynóm vyjadrená ako multiplikačný faktor, ktoré môžu byť čísla alebo písmená alebo oboje. Faktory, ktoré sú spoločné pre výrazy, sú zoskupené do jedného celku a takto sa polynóm rozloží na niekoľko polynómov.

Teda, keď sa faktory násobia spolu, výsledkom je pôvodný polynóm. Faktoring je veľmi užitočná metóda, keď máte algebraické výrazy, pretože ju možno previesť na znásobenie niekoľkých jednoduchých pojmov; napríklad: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

Existujú prípady, keď nie je možné polynóm faktorovať, pretože medzi jeho pojmami neexistuje spoločný faktor; tieto algebraické výrazy sú teda deliteľné iba sami a 1. Napríklad: x + y + z.

V algebraickom vyjadrení je spoločný faktor najväčším spoločným deliteľom výrazov, ktoré ho tvoria.

Metódy faktoringu

Existuje niekoľko metód faktoringu, ktoré sa používajú v závislosti od prípadu. Niektoré z nich sú tieto:

Faktoring podľa spoločného faktora

Pri tejto metóde sa identifikujú spoločné faktory; to znamená tie, ktoré sa opakujú vo výraze. Potom sa použije distribučná vlastnosť, vyberie sa najväčší spoločný deliteľ a faktoring sa dokončí.

Inými slovami, spoločný faktor výrazu je identifikovaný a každý člen je ním delený; Výsledné výrazy sa vynásobia najväčším spoločným deliteľom, aby vyjadrili faktorizáciu.

Príklad 1

Faktor (b ² x) + (b ² y).

Riešenie

Najprv nájdeme spoločný faktor každého členu, ktorým je v tomto prípade b ² , a potom ich rozdelíme spoločným faktorom nasledovne:

(B ² x) / b ² = x

(B ² y) / b ² = y.

Faktorizácia je vyjadrená vynásobením spoločného faktora výslednými výrazmi:

(B ² x) + (b ² y) = b ² (x + y).

Príklad 2

Faktor (2a ² b ³ ) + (3ab ² ).

Riešenie

V tomto prípade máme dva faktory, ktoré sa opakujú v každom semestri, ktoré sú „a“ a „b“ a ktoré sú povýšené na moc. Aby sa to dalo zohľadniť, tieto dva termíny sa najprv rozložia vo svojej dlhej podobe:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Je vidieť, že faktor „a“ sa opakuje iba raz v druhom funkčnom období a faktor „b“ sa opakuje dvakrát; takže v prvom funkčnom období zostávajú iba 2, faktor „a“ a faktor „b“; zatiaľ čo v druhom funkčnom období zostávajú iba 3.

Časy opakovania „a“ a „b“ sa preto zapisujú a násobia faktormi, ktoré zostávajú z každého pojmu, ako je to znázornené na obrázku:

Zoskupovanie faktoringu

Pretože nie vo všetkých prípadoch je jednoznačne vyjadrený najväčší spoločný deliteľ polynómu, je potrebné urobiť ďalšie kroky, aby bolo možné polynóm prepísať, a teda faktor.

Jedným z týchto krokov je zoskupenie pojmov polynómu do niekoľkých skupín a potom použitie metódy spoločného faktora.

Príklad 1

Faktor ac + bc + ad + bd.

Riešenie

Existujú 4 faktory, v ktorých sú dva spoločné: v prvom semestri je to „c“ a v druhom je to „d“. Týmto spôsobom sú dva pojmy zoskupené a oddelené:

(ac + bc) + (ad + bd).

Teraz je možné použiť metódu spoločného faktora, pričom každý člen vydelíme jeho spoločným faktorom a potom vynásobíme tento spoločný faktor výslednými výrazmi, napríklad takto:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Teraz dostaneme binárny jav, ktorý je spoločný pre obidva pojmy. Aby to bolo možné, vynásobí sa ostatnými faktormi; tak musíte:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

Inšpekčný faktoring

Táto metóda sa používa na faktor kvadratických polynómov, ktoré sa tiež nazývajú trinomiály; to znamená tie, ktoré sú štruktúrované ako sekcia ² ± bx + c, kde hodnota „a“ je iná ako 1. Táto metóda sa používa aj vtedy, keď má trinomiál tvar x ² ± bx + c a hodnotu „a“. = 1.

Príklad 1

Faktor x ² + 5x + 6.

Riešenie

Máme kvadratický trojuholník tvaru x ² ± bx + c. Aby ste to dokázali, musíte najskôr nájsť dve čísla, ktoré po vynásobení poskytnú ako výsledok hodnotu «c» (tj 6) a že ich súčet sa rovná koeficientu «b», ktorý je 5. Tieto čísla sú 2 a 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Výraz je takto zjednodušený:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

Každý člen je faktorizovaný:

- Pre (x ² + 2x) sa používa spoločný výraz: x (x + 2)

- Pre (3x + 6) = 3 (x + 2)

Výraz je teda:

x (x +2) + 3 (x +2).

Keďže máme spoločné dvojhviezdu, na zníženie výrazu ho vynásobíme zvyšnými podmienkami a musíme:

x ² + 5 x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Príklad 2

Faktor 4a ² + 12a + 9 = 0.

Riešenie

Máme kvadratický trojuholník tvaru Ax ² ± bx + cy, ktorý ho vynásobí, vynásobíme celú expresiu koeficientom x ² ; v tomto prípade 4.

4a ² + 12a +9 = 0

4a ² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a ² + 12a (4) + 36 = 0

4 ² a ² + 12a (4) + 36 = 0

Teraz musíme nájsť dve čísla, ktoré, keď sa navzájom vynásobia, poskytnú ako výsledok hodnotu „c“ (ktorá je 36) a ktoré, keď sa sčítajú, poskytnú ako výsledok koeficient koeficientu „a“, ktorý je 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Týmto spôsobom sa výraz prepisuje, berúc do úvahy, že 4 ² a ² = 4a _* 4a. Preto sa distribučná vlastnosť vzťahuje na každý termín:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Nakoniec sa výraz delí koeficientom ² ; to znamená 4:

(4. + 6) _* (4. + 6) / 4 = ((4. + 6) / 2) _* ((4. + 6) / 2).

Výraz je nasledujúci:

4a ² + 12a 9 = (2a 3) _* (2a + 3).

Faktoring s významnými výrobkami

Existujú prípady, v ktorých sa polynomy s vyššie uvedenými metódami plne započítajú do veľmi dlhého procesu.

To je dôvod, prečo je možné vyvinúť výraz pomocou vzorcov pozoruhodných výrobkov, a tým sa proces zjednoduší. Medzi najčastejšie používané produkty patria:

- Rozdiel dvoch štvorcov: (a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

- Perfektný štvorec súčtu: a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- Dokonalý štvorec rozdielu: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- Rozdiel dvoch kociek: a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

- Súčet dvoch kociek: a ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - ab + b ² )

Príklad 1

Faktor (5 ² - x ² )

Riešenie

V tomto prípade je rozdiel dvoch štvorcov; preto sa uplatňuje pozoruhodný vzorec produktu:

(a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - x ² ) = (5 - x) _* (5 + x)

Príklad 2

Faktor 16x ² + 40x + 25 ²

Riešenie

V tomto prípade máte dokonalý druhú mocninu súčtu, pretože môžete identifikovať dva termíny na druhú mocninu a výraz, ktorý zostane, je výsledkom vynásobenia dvoch druhou odmocninou prvého funkčného obdobia druhou odmocninou druhého člena.

² + 2ab + b ² = (a + b) ²

Na započítanie sa vypočítajú iba druhé odmocniny prvého a tretieho členu:

√ (16x ² ) = 4x

√ (25 ² ) = 5.

Potom sa dva výsledné termíny vyjadria oddelené znamením operácie a celý polynóm je na druhú mocninu:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ² .

Príklad 3

Faktor 27a ³ - b ³

Riešenie

Výraz predstavuje odčítanie, v ktorom sú vyjadrené dva faktory. Na ich faktorovanie sa použije vzorec pre pozoruhodný produkt rozdielu kociek, ktorý je:

³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

Teda, faktorom je koreň kocky každého členu binomického členu braný a vynásobený druhou mocninou prvého členu plus súčin prvého z druhého členu plus druhá druhá mocnina.

27a ³ - b ³

³√ (27a ³ ) = 3a

³√ (-b ³ ) = -b

27a ³ - b ³ = (3a - b) _*

27a ³ - b ³ = (3ab) _* (9a ² + 3ab + b ² )

Faktoring s Ruffiniho vládou

Táto metóda sa používa, ak máte polynóm stupňa väčší ako dva, aby sa zjednodušil výraz pre niekoľko polynómov menšieho stupňa.

Príklad 1

Faktor Q (x) = x ⁴ - 9 x ² + 4x + 12

Riešenie

Najprv hľadáme čísla deliace sa 12, čo je nezávislý pojem; Sú to ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 a ± 12.

Potom sa x nahradí týmito hodnotami, od najnižšej po najvyššiu, a tak sa určí, s ktorou z hodnôt bude delenie presné; to znamená, že zvyšok musí byť 0:

x = -1

Q (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 = 0.

x = 2

Q (2) = ²³⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

A tak ďalej pre každého deliteľa. V tomto prípade sú zistené faktory pre x = -1 a x = 2.

Teraz sa používa Ruffiniho metóda, podľa ktorej sa koeficienty výrazu vydelia zistenými faktormi, takže rozdelenie je presné. Polynomické výrazy sú usporiadané od najvyššieho po najnižšieho exponentu; v prípade, že v sekvencii chýba výraz s ďalším stupňom, namiesto neho sa umiestni 0.

Koeficienty sú umiestnené v schéme znázornenej na nasledujúcom obrázku.

Prvý koeficient je znížený a násobený deliteľom. V takom prípade je prvý deliteľ -1 a výsledok sa umiestni do nasledujúceho stĺpca. Potom sa hodnota koeficientu s týmto výsledkom, ktorý sa získal, zvisle pridá a výsledok sa umiestni nižšie. Týmto spôsobom sa proces opakuje až do posledného stĺpca.

Potom sa ten istý postup opakuje znova, ale s druhým deliteľom (ktorý je 2), pretože výraz možno stále zjednodušiť.

Teda pre každý získaný koreň bude mať polynóm výraz (x - a), kde "a" je hodnota koreňa:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Na druhej strane sa tieto podmienky musia vynásobiť zvyškom Ruffiniho pravidla 1: 1 a -6, čo sú faktory, ktoré predstavujú určitý stupeň. Takto sa vytvorí výraz: (x ² + x - 6).

Výsledkom faktorizácie polynómu metódou Ruffini je:

x ⁴ - 9 x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

Nakoniec, polynóm stupňa 2, ktorý sa objavuje v predchádzajúcom výraze, sa môže prepísať ako (x + 3) (x-2). Preto je konečná faktorizácia:

x ⁴ - 9 x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).

Referencie

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra a trigonometria s analytickou geometriou. Pearson Education.
2. J, V. (2014). Ako učiť deti o faktoringu polynómu.
3. Manuel Morillo, AS (sf). Základná matematika s aplikáciami.
4. Roelse, PL (1997). Lineárne metódy polynómovej faktorizácie v konečných oblastiach: teória a implementácia. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Krúžky a faktorizácia.