SPOLOČNÝ FAKTOR ZOSKUPENÍM VÝRAZOV: PRÍKLADY, CVIČENIA - MATEMATIKA - 2026

Spoločným menovateľom zoskupením termínov je algebraické postup, ktorý umožňuje písať niektoré algebraických výrazov vo forme faktorov. Na dosiahnutie tohto cieľa musíte najprv zoskupiť výraz správne a všimnúť si, že každá takto vytvorená skupina má v skutočnosti spoločný faktor.

Správne používanie tejto techniky vyžaduje určitú prax, ale nikdy ju nezvládnete. Pozrime sa najprv na ilustratívny príklad opísaný krok za krokom. Čitateľ potom môže uplatniť to, čo sa naučil pri každom cvičení, ktoré sa objaví neskôr.

Obrázok 1. Ak vezmeme do úvahy spoločný faktor zoskupením výrazov, uľahčí sa práca s algebraickými výrazmi. Zdroj: Pixabay.

Predpokladajme napríklad, že musíte zohľadniť nasledujúci výraz:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Tento algebraický výraz pozostáva zo 4 monomérií alebo výrazov oddelených znakmi + a -, konkrétne:

2x ² , 2xy, -3zx, -3zy

Pri bližšom pohľade je x spoločné pre prvé tri, ale nie posledné, zatiaľ čo y je spoločné pre druhé a štvrté a z je spoločné pre tretie a štvrté.

Takže v zásade neexistuje žiadny spoločný faktor pre štyri výrazy súčasne, ale ak sú zoskupené tak, ako bude uvedené v nasledujúcej časti, je možné, že sa objaví jeden, ktorý pomôže napísať výraz ako produkt dvoch alebo viacerých faktory.

Príklady

Faktor vyjadrenia: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Krok 1 : Skupina

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

Krok 2: Nájdite spoločný faktor každej skupiny

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

Aj UpozornŚni : záporné znamienko je aj spoločný faktor, ktorý treba vziať do úvahy.

Teraz si všimnite, že zátvorky (x + y) sa opakujú v dvoch výrazoch získaných zoskupením. Toto je spoločný faktor, ktorý sa hľadal.

Krok 3: Zohľadnite celý výraz

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

S predchádzajúcim výsledkom sa dosiahol cieľ faktoringu, ktorý nie je nič iné ako transformácia algebraického výrazu založeného na sčítaní a odčítaní výrazov na produkt dvoch alebo viacerých faktorov, v našom príklade: (x +) y) a (2x - 3z).

Zoskupovanie dôležitých otázok týkajúcich sa spoločného faktora

Otázka 1 : Ako zistiť, či je výsledok správny?

Odpoveď : Distribučná vlastnosť sa použije na získaný výsledok a po znížení a zjednodušení sa takto dosiahnutý výraz musí zhodovať s originálom, ak nie, došlo k chybe.

V predchádzajúcom príklade pracujeme opačne s výsledkom, aby sme skontrolovali, či je správny:

(X + y) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2.xy - 3zy

Keďže poradie dodatkov nemení sumu, po použití distribučnej vlastnosti sa vrátia všetky pôvodné podmienky, vrátane znakov, faktorizácia je preto správna.

Otázka 2: Mohlo sa to zoskupiť iným spôsobom?

Odpoveď: Existujú algebraické výrazy, ktoré umožňujú viac ako jednu formu zoskupovania a iné, ktoré to neumožňujú. Vo vybranom príklade si čitateľ môže vyskúšať aj iné možnosti, napríklad zoskupenie, ako je toto:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

A môžete skontrolovať, či je výsledok rovnaký ako tu. Nájdenie optimálneho zoskupenia je záležitosťou praxe.

Otázka 3: Prečo je potrebné vziať z algebraického výrazu spoločný faktor?

Odpoveď : Pretože existujú aplikácie, kde faktorový výraz zjednodušuje výpočty. Predpokladajme napríklad, že chcete, aby sa 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy rovnal 0. Aké sú možnosti?

Na zodpovedanie tejto otázky je faktorizovaná verzia oveľa užitočnejšia ako pôvodný vývoj. Uvádza sa takto:

(x + y) (2x - 3z) = 0

Jednou z možností, že výraz má hodnotu 0, je to, že x = -y, bez ohľadu na hodnotu z. A druhá je, že x = (3/2) z, bez ohľadu na hodnotu y.

cvičenie

- Cvičenie 1

Extrahujte spoločný faktor nasledujúceho výrazu zoskupením výrazov:

ax + ay + bx + od

Riešenie

Prvé dve sú zoskupené so spoločným faktorom „a“ a posledné dve so spoločným faktorom „b“:

ax + ay + bx + podľa = a (x + y) + b (x + y)

Len čo sa tak stane, odhalí sa nový spoločný faktor, ktorým je (x + y), takže:

ax + ay + bx + podľa = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

Ďalší spôsob, ako sa zoskupiť

Tento výraz podporuje iný spôsob zoskupovania. Pozrime sa, čo sa stane, ak sú podmienky preusporiadané a skupina je vytvorená s tými, ktoré obsahujú x a ďalšie s tými, ktoré obsahujú y:

ax + ay + bx + podľa = ax + bx + ay + podľa = x (a + b) + y (a + b)

Týmto novým novým spoločným faktorom je (a + b):

ax + ay + bx + podľa = ax + bx + ay + podľa = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

Čo vedie k rovnakému výsledku z prvého testovaného zoskupenia.

- Cvičenie 2

Nasledujúci algebraický výraz sa musí písať ako súčin dvoch faktorov:

3a ³ - 3 a ² b + 9AB ² -a ² + ab-3b ²

Riešenie

Tento výraz obsahuje 6 výrazov. Skúsme zoskupiť prvý a štvrtý, druhý a tretí a nakoniec piaty a šiesty:

3a ³ - 3 a ² b + 9AB ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9AB ² ) + (ab-3b ² )

Teraz je každá zátvorka faktorizovaná:

= (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9AB ² ) + (ab 3b ² ) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b -a) + B (A-3b)

Na prvý pohľad sa zdá, že situácia je komplikovaná, ale čitateľovi by sa nemalo odradiť, pretože prepíšeme posledný termín:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b - a) + b (a - 3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

Posledné dva pojmy majú teraz spoločný faktor, ktorý je (3b-a), takže ich možno faktorovať. Je veľmi dôležité nestratiť zo zreteľa prvý termín ^a2 (3a - 1), ktorý musí všetko sprevádzať ako doplnok, aj keď s ním nepracujete:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = ^a2 (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

Výraz bol zredukovaný na dva termíny a v poslednom sa objavil nový spoločný faktor, ktorý je „b“. Teraz zostáva:

² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a ² (3a - 1) + B (3b-a) (3a-1)

Ďalším spoločným faktorom, ktorý sa objaví, je 3a - 1:

a ² (3a - 1) + b (3b - a) (3a - 1) = (3a - 1)

Alebo ak dávate prednosť bez zátvoriek:

(3a - 1) = (3a - 1) (a ² -ab + 3b ² )

Môže čitateľ nájsť iný spôsob zoskupovania, ktorý vedie k rovnakému výsledku?

Obrázok 2. Navrhované faktoringové cvičenia. Zdroj: F. Zapata.

Referencie

1. Baldor, A. 1974. Elementary Algebra. Cultural Venezolana SA
2. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
3. Hlavné prípady faktoringu. Obnovené z: julioprofe.net.
4. UNAM. Základná matematika: Faktorizácia pomocou zoskupovania pojmov. Fakulta účtovníctva a správy.
5. Zill, D. 1984. Algebra and Trigonometry. MacGraw Hill.