NÁHODNÝ EXPERIMENT: KONCEPT, VZOROVÝ PRIESTOR, PRÍKLADY - DUDAS - 2026

Hovoríme o náhodnom experimente, keď je výsledok každého konkrétneho pokusu nepredvídateľný, aj keď je možné stanoviť pravdepodobnosť výskytu určitého výsledku.

Malo by sa však objasniť, že nie je možné reprodukovať rovnaký výsledok náhodného systému s rovnakými parametrami a počiatočnými podmienkami v každej skúške experimentu.

Obrázok 1. Hodenie kockami je náhodný experiment. Zdroj: Pixabay.

Dobrým príkladom náhodného experimentu je valcovanie matrice. Aj keď sa postupuje rovnako, aby sa matrica pretočila, každý pokus prinesie nepredvídateľný výsledok. V skutočnosti jediné, čo možno povedať, je, že výsledkom môže byť jedno z nasledujúcich: 1, 2, 3, 4, 5 alebo 6.

Hádzanie mince je ďalším príkladom náhodného experimentu, ktorý má iba dva možné výsledky: hlavy alebo chvosty. Aj keď je minca vyhodená z rovnakej výšky a rovnakým spôsobom, faktor náhodnosti bude vždy prítomný, čo vedie k neistote pri každom novom pokuse.

Opakom náhodného experimentu je deterministický experiment. Napríklad je známe, že zakaždým, keď sa voda povarí na hladine mora, je teplota varu 100 oC. Nikdy sa však nestane, že pri dodržaní rovnakých podmienok je výsledok niekedy 90 ° C, ďalších 12 0 ° C a niekedy 100 ° C.

Vzorový priestor

Súbor všetkých možných výsledkov náhodného experimentu sa nazýva vzorkový priestor. V náhodnom experimente valcovania matrice je priestor vzorky:

D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Na druhej strane, v hode mince je priestor vzorky:

M = {hlavy, chvosty}.

Udalosť alebo výskyt

V náhodnom experimente je udalosť výskytom určitého výsledku alebo nie. Napríklad v prípade prevrátenia mince je udalosť alebo udalosť taká, že ide o hlavu.

Ďalšou udalosťou v náhodnom experimente by mohlo byť toto: že na matricu sa valí číslo menšie alebo rovnaké ako tri.

V prípade, že dôjde k udalosti, potom je súbor možných výsledkov:

E = {1, 2, 3}

Toto je zase podmnožina vzorového priestoru alebo množiny:

M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Príklady

Nižšie uvádzame niekoľko príkladov, ktoré ilustrujú vyššie uvedené:

Príklad 1

Predpokladajme, že sa vyhodia dve mince, jedna po druhej. Pýta sa:

a) Uveďte, či ide o náhodný experiment, alebo naopak, deterministický experiment.

b) Aký je priestor vzorky S tohto experimentu?

c) Označte skupinu udalostí A, ktorá zodpovedá výsledku experimentu ako hlavy a chvosty.

d) Vypočítajte pravdepodobnosť výskytu udalosti A.

e) Nakoniec nájdite pravdepodobnosť výskytu udalosti B: vo výsledku sa nezobrazia žiadne hlavy.

Riešenie

Taška obsahuje 10 bielych guličiek a 10 čiernych guličiek. Z vrecka sa náhodne a bez pozerania dovnútra vyberú tri guľky.

a) Určte priestor na vzorky pre tento náhodný experiment.

b) Určite skupinu výsledkov zodpovedajúcich udalosti A, ktorá spočíva v tom, že po experimente budú mať dve čierne guľky.

c) Udalosť B má získať najmenej dve čierne guľky, určiť množinu B výsledkov pre túto udalosť.

d) Aká je pravdepodobnosť výskytu udalosti A?

e) Zistite pravdepodobnosť výskytu udalosti B.

f) Určite pravdepodobnosť, že výsledkom náhodného experimentu bude, že máte aspoň jeden čierny mramor. Táto udalosť sa bude nazývať C.

Obrázok 2. Čierne a biele guľôčky pre náhodné experimenty. Zdroj: Needpix.

Riešenie

Na zostavenie priestoru vzorky je užitočné vytvoriť stromovú schému, ako je schéma na obrázku 3:

Obrázok 3. Stromový diagram napríklad 2. Pripravil Fanny Zapata.

Súbor Ω možných výsledkov extrahovania troch guličiek z vaku s rovnakým počtom čiernych a bielych guličiek je presne vzorkovacím priestorom tohto náhodného experimentu.

Ω = {(b, b, b), (b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n) , (n, n, b), (n, n, n)}

Riešenie b

Súbor možných výsledkov zodpovedajúcich udalosti A, ktorý pozostáva z dvoch čiernych guličiek, je:

A = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b)}

Riešenie c

Udalosť B je definovaná ako: „mať najmenej dve čierne guľky po náhodnom vytiahnutí troch z nich.“ Súbor možných výsledkov pre udalosť B je:

B = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)}

Riešenie d

Pravdepodobnosť výskytu udalosti A je kvocient medzi počtom možných výstupov pre túto udalosť a celkovým počtom možných výstupov, tj počtom prvkov vo vzorkovacom priestore.

P (A) = n (A) / n (Ω) = 3/8 = 0,375 = 37,5%

Existuje teda pravdepodobnosť, že po náhodnom vytiahnutí troch guličiek z vrecka budú mať dve čierne guľky 37,5%. Upozorňujeme však, že v žiadnom prípade nemôžeme predpovedať presný výsledok experimentu.

Riešenie e

Pravdepodobnosť výskytu udalosti B, ktorá spočíva v získaní aspoň jedného čierneho mramoru, je:

P (B) = n (B) / n (Ω) = 4/8 = 0,5 = 50%

To znamená, že možnosť výskytu udalosti B je rovnaká ako pravdepodobnosť, že sa nevyskytne.

Riešenie f

Pravdepodobnosť získania najmenej jedného čierneho mramoru po vylosovaní troch z nich sa rovná 1 mínus pravdepodobnosť, že výsledkom budú „tri biele guličky“.

P (C) = 1 - P (bbb) = 1 - ⅛ = ⅞ = 0,875 = 87,5%

Teraz môžeme skontrolovať tento výsledok a všimnúť si, že počet možností, že nastane udalosť C, sa rovná počtu prvkov možných výsledkov pre udalosť C:

C = {(b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n), (n, n, b) , (n, n, n)}

n (C) = 7

P (C) = n (C) / n (Ω) = ⅞ = 87,5%

Referencie

1. CanalPhi. Náhodný experiment. Obnovené z: youtube.com.
2. MateMovil. Náhodný experiment. Obnovené z: youtube.com
3. Pishro Nick H. Úvod do pravdepodobnosti. Obnovené z: probabilitycourse.com
4. Ross. Pravdepodobnosť a štatistika pre inžinierov. Mc-Graw Hill.
5. Wikipedia. Experiment (teória pravdepodobnosti). Obnovené z: en.wikipedia.com
6. Wikipedia. Deterministická udalosť. Získané z: es. wikipedia.com
7. Wikipedia. Náhodný experiment. Obnovené z: es.wikipedia.com