NEZÁVISLÉ UDALOSTI: UKÁŽKA, PRÍKLADY, CVIČENIA - DUDAS - 2026

Dve udalosti sú nezávislé , keď pravdepodobnosť, že sa jedna z nich vyskytne, nie je ovplyvnená skutočnosťou, že druhá udalosť nastane alebo sa nevyskytne, vzhľadom na to, že sa tieto udalosti vyskytujú náhodne.

Táto okolnosť nastane vždy, keď proces, ktorý generuje výsledok udalosti 1, nijakým spôsobom nemení pravdepodobnosť možných výsledkov udalosti 2. Ak sa tak nestane, udalosti sa označujú ako závislé.

Obrázok 1. Farebné guľky sa často používajú na vysvetlenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí. Zdroj: Pixabay.

Situácia nezávislej udalosti je takáto: Predpokladajme, že sa hodia dve šesťhranné kocky, jedna modrá a druhá ružová. Pravdepodobnosť, že sa 1 bude valiť na modrej matrici, je nezávislá od pravdepodobnosti, že sa a 1 bude valiť na ružovú matricu.

Ďalším prípadom dvoch nezávislých udalostí je prípad hodenia mince dvakrát za sebou. Výsledok prvého hodu nebude závisieť od výsledku druhého a naopak.

Dôkaz o dvoch nezávislých udalostiach

Aby sme si overili nezávislosť dvoch udalostí, definujeme pojem podmienenej pravdepodobnosti jednej udalosti vzhľadom na druhú. Z tohto dôvodu je potrebné rozlišovať medzi exkluzívnymi a inkluzívnymi udalosťami:

Výhradné sú dve udalosti, ak možné hodnoty alebo prvky udalosti A nemajú nič spoločné s hodnotami alebo prvkami udalosti B.

Preto pri dvoch exkluzívnych udalostiach je priesečníkom A s B vákuum:

Okrem udalostí: A∩B = Ø

Naopak, ak sú udalosti inkluzívne, môže sa stať, že výsledok udalosti A sa časovo zhoduje s výsledkom iného B, pričom A a B sú rôzne udalosti. V tomto prípade:

Inkluzívne podujatia: A∩B ≠ Ø

To nás vedie k definovaniu podmienenej pravdepodobnosti dvoch inkluzívnych udalostí, inými slovami pravdepodobnosti výskytu udalosti A za predpokladu, že sa vyskytne udalosť B:

P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)

Preto podmienená pravdepodobnosť je pravdepodobnosť, že A a B nastane, vydelená pravdepodobnosťou, že nastane B. Pravdepodobnosť, že B nastane podmienečne na A, môže byť tiež definovaná:

P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)

Kritériá na zistenie, či sú dve udalosti nezávislé

Ďalej dáme tri kritériá, aby sme vedeli, či sú dve udalosti nezávislé. Stačí, keď je jedna z troch splnená, aby sa preukázala nezávislosť udalostí.

1. - Ak je pravdepodobnosť, že A nastane vždy, keď sa vyskytne B, rovnaká ako pravdepodobnosť A, potom ide o nezávislé udalosti:

P (A¦B) = P (A) => A je nezávislé od B

2.- Ak je pravdepodobnosť, že B nastane pri A, rovná pravdepodobnosti B, potom existujú nezávislé udalosti:

P (B¦A) = P (B) => B je nezávislé od A

3.- Ak je pravdepodobnosť výskytu A a B rovnaká ako súčin pravdepodobnosti A a pravdepodobnosti B, potom ide o nezávislé udalosti. Opak je tiež pravdou.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A a B sú nezávislé udalosti.

Príklady nezávislých udalostí

Porovná sa gumová podrážka vyrobená dvoma rôznymi dodávateľmi. Vzorky od každého výrobcu sa podrobia niekoľkým skúškam, na základe ktorých sa dospeje k záveru, či sú v rámci špecifikácií alebo nie.

Obrázok 2. Rôzne podošvy gumy. Zdroj: Pixabay.

Výsledný súhrn 252 vzoriek je nasledujúci:

Výrobca 1; 160 spĺňa špecifikácie; 8 nespĺňajú špecifikácie.

Výrobca 2; 80 spĺňa špecifikácie; 4 nespĺňajú špecifikácie.

Udalosť A: „že vzorka je od výrobcu 1“.

Udalosť B: „že vzorka spĺňa špecifikácie.“

Chceme vedieť, či sú tieto udalosti A a B nezávislé alebo nie, na ktoré uplatňujeme jedno z troch kritérií uvedených v predchádzajúcej časti.

Kritérium: P (B¦A) = P (B) => B je nezávislé od A

P (B) = 240/252 = 0,9523

P (B = A) = P (A = B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523

Záver: Udalosti A a B sú nezávislé.

Predpokladajme, že udalosť C: „že vzorka pochádza od výrobcu 2“.

Bude udalosť B nezávislá od udalosti C?

Uplatňujeme jedno z kritérií.

Kritérium: P (B¦C) = P (B) => B je nezávislé od C

P (B = C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)

Preto je na základe dostupných údajov pravdepodobnosť, že náhodne vybraná podošva z gumy vyhovuje špecifikáciám, nezávislá od výrobcu.

Premente nezávislú udalosť na závislú udalosť

Pozrime sa na nasledujúci príklad a rozlíšime závislé a nezávislé udalosti.

Máme tašku s dvoma bielymi čokoládovými guličkami a dvoma čiernymi guličkami. Pravdepodobnosť získania bielej alebo čiernej gule je pri prvom pokuse rovnaká.

Predpokladajme, že výsledkom bola tágová guľa. Ak je natiahnutá guľa vložená do vaku, opakuje sa pôvodná situácia: dve biele gule a dve čierne gule.

Takže v druhom prípade alebo remízy je šanca na vylosovanie cue gule alebo čiernej gule rovnaká ako po prvý krát. Sú preto nezávislými udalosťami.

Ak však tágová guľa vylosovaná v prvom prípade nie je nahradená, pretože sme ju zjedli, v druhom losovaní sú väčšie šance na čiernu guľu. Pravdepodobnosť, že druhá extrakcia znovu získa bielu farbu, sa líši od pravdepodobnosti prvej udalosti a je podmienená predchádzajúcim výsledkom.

cvičenie

- Cvičenie 1

Do škatule vložíme 10 guličiek z obrázku 1, z ktorých 2 sú zelené, 4 modré a 4 biele. Náhodne sa vyberú dve guľky, jedna prvá a druhá neskôr. Žiada sa, aby sa zistila
pravdepodobnosť, že žiadna z nich nebude modrá, za nasledujúcich podmienok:

a) Pri výmene, to znamená vrátenie prvého mramoru pred druhým výberom do políčka. Uveďte, či ide o nezávislé alebo závislé udalosti.

b) Bez náhrady takým spôsobom, že prvý ťahaný mramor je pri druhom výbere vynechaný z krabice. Podobne uveďte, či ide o závislé alebo nezávislé udalosti.

Riešenie

Vypočítame pravdepodobnosť, že prvý extrahovaný mramor nie je modrý, čo je 1 mínus pravdepodobnosť, že je modrý P (A), alebo priamo, že nie je modrý, pretože vyšiel zelený alebo biely:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (nesmie byť modrá) = 1 - (2/5) = 3/5

Dobre:

P (zelená alebo biela) = 6/10 = 3/5.

Ak sa extrahovaný mramor vráti, všetko je ako predtým. V tomto druhom ťahu je tiež pravdepodobnosť 3/5, že ťahaný mramor nie je modrý.

P (nie modrá, nie modrá) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Udalosti sú nezávislé, pretože extrahovaný mramor sa vrátil do škatule a prvá udalosť neovplyvňuje pravdepodobnosť výskytu druhej.

Riešenie b

Pri prvej extrakcii postupujte rovnako ako v predchádzajúcej časti. Pravdepodobnosť, že nie je modrá, je 3/5.

Pre druhú extrakciu máme 9 guličiek vo vrecku, pretože prvá sa nevrátila, ale nebola modrá, preto vo vrecku je 9 guličiek a 5 nie modré:

P (zelená alebo biela) = 5/9.

P (žiadna nie je modrá) = P (prvá nie modrá). P (druhý nie modrý / prvý nie modrý) = (3/5). (5/9) = 1/3

V tomto prípade nejde o nezávislé udalosti, pretože prvá udalosť je druhá.

- Cvičenie 2

Obchod má 15 tričiek v troch veľkostiach: 3 malé, 6 stredné a 6 veľké. Náhodne sú vybrané 2 košele.

a) Aká je pravdepodobnosť, že obe vybraté košele sú malé, ak sa jedno vyberie ako prvé a bez toho, aby sa v sérii nahradilo iné?

b) Aká je pravdepodobnosť, že obe vybrané košele sú malé, ak je jedna vytiahnutá ako prvá, nahradia sa v dávke a druhé sa odstráni?

Riešenie

Tu sú dve udalosti:

Udalosť A: prvé vybrané tričko je malé

Udalosť B: druhé vybrané tričko je malé

Pravdepodobnosť výskytu udalosti A je: P (A) = 3/15

Pravdepodobnosť, že nastane udalosť B, je: P (B) = 2/14, pretože tričko už bolo odstránené (zostalo ich 14), ale aj udalosť A sa chce splniť, prvé odstránené tričko musí byť malé, a preto obaja sú 2 malé.

To znamená, že pravdepodobnosť, že A a B budú produktom pravdepodobností, je:

P (A a B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029

Pravdepodobnosť výskytu udalosti A a B sa teda rovná produktu, ku ktorému dôjde, keď dôjde k udalosti A, vynásobená pravdepodobnosťou výskytu udalosti B, ak nastane udalosť A.

Je potrebné poznamenať, že:

P (B = A) = 2/14

Pravdepodobnosť, že k udalosti B dôjde bez ohľadu na to, či nastane alebo nie, bude:

P (B) = (2/14), ak bol prvý malý, alebo P (B) = 3/14, ak prvý nebol malý.

Vo všeobecnosti možno konštatovať:

P (B¦A) sa nerovná P (B) => B nie je nezávislá od A

Riešenie b

Opäť existujú dve udalosti:

Udalosť A: prvé vybrané tričko je malé

Udalosť B: druhé vybrané tričko je malé

P (A) = 3/15

Nezabudnite, že bez ohľadu na výsledok sa košeľa natiahnutá zo šarže nahradí a košeľa sa znovu nakreslí náhodne. Pravdepodobnosť, že nastane udalosť B, ak nastala udalosť A, je:

P (B¦A) = 3/15

Pravdepodobnosť výskytu udalostí A a B bude:

P (A a B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04

Poznač si to:

P (B¦A) sa rovná P (B) => B je nezávislé od A.

- Cvičenie 3

Zvážte dve nezávislé udalosti A a B. Je známe, že pravdepodobnosť výskytu udalosti A je 0,2 a pravdepodobnosť výskytu udalosti B je 0,3. Aká je pravdepodobnosť výskytu oboch udalostí?

Riešenie 2

S vedomím, že udalosti sú nezávislé, je známe, že pravdepodobnosť výskytu oboch udalostí je výsledkom individuálnych pravdepodobností. To znamená,

P (A = B) = P (A) P (B) = 0,2 x 0,3 = 0,06

Všimnite si, že je pravdepodobnosť oveľa menšia ako pravdepodobnosť, že ku každej udalosti dôjde bez ohľadu na výsledok druhej. Alebo inak, oveľa menej ako individuálne kurzy.

Referencie

1. Berenson, M. 1985. Štatistika pre riadenie a ekonomiku. Interamericana SA 126-127.
2. Monterreyov inštitút. Pravdepodobnosť nezávislých udalostí. Obnovené z: monterreyinstitute.org
3. Učiteľ matematiky. Nezávislé udalosti. Obnovené z: youtube.com
4. Superprof. Typy udalostí, závislé udalosti. Získané z: superprof.es
5. Virtuálny tútor. Pravdepodobnosti. Obnovené z: vitutor.net
6. Wikipedia. Nezávislosť (pravdepodobnosť). Obnovené z: wikipedia.com