DOPLNKOVÉ PODUJATIA: Z ČOHO POZOSTÁVAJÚ A PRÍKLADY - MATEMATIKA - 2026

Tieto ďalšie udalosti sú definované ako akékoľvek skupiny vzájomne sa vylučujúcich podujatí navzájom, kde zväz z nich je schopný plne pokryť priestor vzorke alebo o možných prípadoch experimentovanie (vyčerpávajúce).

Ich priesečník vedie k prázdnemu súboru (∅). Súčet pravdepodobností dvoch doplnkových udalostí sa rovná 1. Inými slovami, 2 udalosti s touto charakteristikou úplne pokrývajú možnosť udalostí experimentu.

Zdroj: pexels.com

Aké sú doplnkové udalosti?

Veľmi užitočným všeobecným prípadom na pochopenie tohto typu udalosti je hodenie kockami:

Pri definovaní priestoru vzorky sú pomenované všetky možné prípady, ktoré experiment ponúka. Tento súbor sa nazýva vesmír.

Vzorový priestor (S):

S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Možnosti neuvedené vo vzorke nie sú súčasťou možností experimentu. Napríklad {číslo sedem príde} Má pravdepodobnosť nula.

Podľa cieľa experimentu sa v prípade potreby definujú množiny a podmnožiny. Nastavená notácia, ktorá sa má použiť, sa tiež určuje podľa cieľa alebo parametra, ktorý sa má študovať:

A: {Výstup párneho čísla} = {2, 4, 6}

B: {Získajte nepárne číslo} = {1, 3, 5}

V tomto prípade A a B sú doplnkové udalosti. Pretože obe sady sa vzájomne vylučujú (párne číslo, ktoré je nepárne, nemôže vyjsť) a spojenie týchto sád pokrýva celý priestor vzorky.

Ďalšie možné podmnožiny vo vyššie uvedenom príklade sú:

C : {Výstup prvočísla} = {2, 3, 5}

D: {x / x Ԑ N ᴧ x ˃ 3} = {4, 5, 6}

Sady A, B a C sú napísané v popisnom a analytickom zápise . Pre množinu D sa použila algebraická notácia a možné výsledky zodpovedajúce experimentu boli opísané v analytickom zápise .

V prvom príklade je pozorované, že keďže A a B sú komplementárne udalosti

A: {Výstup párneho čísla} = {2, 4, 6}

B: {Získajte nepárne číslo} = {1, 3, 5}

Platia nasledujúce axiómy:

1. AUB = S ; Spojenie dvoch doplnkových udalostí sa rovná vzorkovanému priestoru
2. A ∩B = ∅ ; Priesečník dvoch doplnkových udalostí sa rovná prázdnemu súboru
3. A '= B = B' = A; Každá podmnožina sa rovná doplnku svojho homológu
4. A '∩ A = B' ∩ B = ∅; Pretínať množinu s jej doplnkom sa rovná prázdnej
5. A 'UA = B' UB = S; Spojenie sady s jej doplnkom sa rovná vzorkovaciemu priestoru

V štatistikách a pravdepodobnostných štúdiách sú komplementárne udalosti súčasťou teórie množín a sú veľmi bežné medzi operáciami vykonávanými v tejto oblasti.

Aby ste sa dozvedeli viac o doplnkových udalostiach , je potrebné porozumieť určitým pojmom, ktoré im pomáhajú definovať ich koncepčne.

Aké sú udalosti?

Sú to možnosti a udalosti, ktoré sú výsledkom experimentovania a sú schopné ponúknuť výsledky v každej z ich iterácií. Tieto udalosti generovať dáta, ktoré majú byť zaznamenané ako prvky sád a čiastkových zostáv, trendy v týchto údajov sú predmetom štúdia pre pravdepodobnosti.

Príklady udalostí sú:

• Mince ukázali hlavy
• Zápas skončil remízou
• Chemická látka reagovala za 1,73 sekundy
• Rýchlosť v maximálnom bode bola 30 m / s
• Raznica bola označená číslom 4

Čo je to doplnok?

Pokiaľ ide o teóriu množín. Dodatok sa vzťahuje na časť vzorky priestoru, ktorý musí byť pridaný k sade k tomu, aby zahŕňala jeho vesmíru. Je to všetko, čo nie je súčasťou celku.

Známy spôsob, ako označiť doplnok v teórii množín, je:

Doplnok A

Venn Diagram

Zdroj: pixabay.com

Je to grafická - obsahová analytická schéma, ktorá sa bežne používa pri matematických operáciách zahŕňajúcich množiny, podskupiny a prvky. Každá súprava je označená veľkým písmenom a oválnou číslicou (táto vlastnosť nie je povinná pri jej používaní), ktorá obsahuje každý z jeho prvkov.

Tieto ďalšie udalosti sú vidieť priamo Venn diagramy, ako jeho grafickou metódou pre identifikáciu zodpovedajúcich výbavy každej sady.

Jednoduchá úplná vizualizácia prostredia súboru, vynechanie jeho hraníc a vnútornej štruktúry, umožňuje definovať doplnok študovaného súboru.

Príklady doplnkových udalostí

Príklady doplnkových udalostí sú úspech a porážka v prípade, keď rovnosť nemôže existovať (baseballová hra).

Booleovské premenné sú komplementárne udalosti: Pravda alebo nepravda, podobne správna alebo nesprávna, uzavretá alebo otvorená, zapnutá alebo vypnutá.

Doplnkové cvičenia

Cvičenie 1

Nech S je sada vesmíru definovaná všetkými prirodzenými číslami, ktoré sú menšie alebo rovné desiatim.

S: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Definujú sa nasledujúce podmnožiny S

H: {Prirodzené čísla menšie ako štyri} = {0, 1, 2, 3}

J: {Násobky troch} = {3, 6, 9}

K: {Násobky piatich} = {5}

L: {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}

M: {0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}

N: {Prirodzené čísla väčšie alebo rovné štyrom} = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

rozhodnúť:

Koľko doplnkových udalostí možno vytvoriť spojením párov podmnožín S ?

Podľa definície doplnkových udalostí sa identifikujú páry, ktoré spĺňajú požiadavky (vzájomne sa vylučujú a pri pripájaní pokrývajú priestor vzorky). Nasledujúce dvojice podmnožín sú doplnkovými udalosťami :

• H a N
• J a M
• L a K

Cvičenie 2

Ukážte, že: (M = K) '= L

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {5} = {5}; Priesečník medzi množinami dáva spoločné prvky medzi obidvoma súbormi operátorov. Týmto spôsobom je 5 jediný spoločný prvok medzi M a K.

{5} '= {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} = L; Pretože L a K sa vzájomne dopĺňajú, je splnená vyššie opísaná tretia axióma (každá podmnožina sa rovná doplnku svojho homológu).

Cvičenie 3

Definovať: '

J = H = {3} ; Podobne ako v prvom kroku predchádzajúceho cvičenia.

(J * H) UN = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; Tieto operácie sú známe ako kombinované a zvyčajne sa spracovávajú Vennovým diagramom.

' = {0, 1, 2}; Je definovaný doplnok kombinovanej operácie.

Cvičenie 4

Dokážte, že: { ∩ ∩} '= ∅

Zložená operácia opísaná v zložených zátvorkách sa týka priesečníkov medzi odbormi komplementárnych udalostí. Týmto spôsobom pristúpime k overeniu prvej axiómy (Spojenie dvoch komplementárnych udalostí sa rovná vzorkovaciemu priestoru).

∩ ∩ = S ∩ S ∩ S = S; Spojenie a priesečník množiny so sebou samým vytvára tú istú množinu.

potom; S '= ∅ Podľa definície množín.

Cvičenie 5

Definujte 4 križovatky medzi podmnožinami, ktorých výsledky sa líšia od prázdnej množiny (∅).

• M ∩ N

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {4, 5, 7, 8, 10}

• L ∩ H

{0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {0, 1, 2, 3} = {0, 1, 2, 3}

• J ∩ N

{3, 6, 9} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {6, 9}

Referencie

1. ÚLOHA ŠTATISTICKÝCH METÓD V POČÍTAČOVÝCH VEDÁCH A BIOINFORMATIKÁCH. Irina Arhipova. Lotyšská poľnohospodárska univerzita, Lotyšsko.
2. Štatistika a hodnotenie dôkazov pre forenzných vedcov. Druhé vydanie. Colin GG Aitken. Matematická škola. University of Edinburgh, UK
3. ZÁKLADNÁ TEORMA ZABEZPEČENIA, Robert B. Ash. Katedra matematiky. University of Illinois
4. Základné štatistika. Desiate vydanie. Mario F. Triola. Boston St.
5. Matematika a inžinierstvo v informatike. Christopher J. Van Wyk. Ústav počítačových vied a technológií. Národný úrad pre normy. Washington, DC 20234
6. Matematika pre informatiku. Eric Lehman. Google Inc.
   F Thomson Leighton Katedra matematiky a informatiky a Laboratória AI, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies