MATEMATICKÉ OČAKÁVANIA: VZOREC, VLASTNOSTI, PRÍKLADY, CVIČENIE - DUDAS - 2026

Matematické očakávania alebo očakávaná hodnota náhodnej veličiny X, sa označuje ako E (X), a je definovaná ako súčet súčinu pravdepodobnosti náhodnej udalosti, ktorá nastala a hodnoty uvedené udalosti.

V matematickej podobe sa vyjadruje takto:

Obrázok 1. Matematické očakávania sa široko používajú na akciovom trhu av poisťovníctve. Zdroj: Pixabay.

Kde x _i je hodnota udalosti a P (x _i ) jej pravdepodobnosť výskytu. Sumácia sa rozprestiera na všetkých hodnotách, ktoré pripúšťa X. A ak sú konečné, indikovaný súčet konverguje na hodnotu E (X), ale ak sa suma nekonverguje, premenná jednoducho nemá očakávanú hodnotu.

Ak je to spojitá premenná x, premenná môže mať nekonečné hodnoty a súčty nahradia súčty:

Tu f (x) predstavuje funkciu hustoty pravdepodobnosti.

Matematické očakávanie (ktoré je váženým priemerom) sa vo všeobecnosti nerovná aritmetickému priemeru alebo priemeru, pokiaľ sa nezaoberáme diskrétnymi distribúciami, pri ktorých je každá udalosť rovnako pravdepodobná. Potom a iba potom:

Kde n je počet možných hodnôt.

Tento koncept je veľmi užitočný na finančných trhoch a poisťovacích spoločnostiach, kde istoty často chýbajú, ale existujú pravdepodobnosti.

Vlastnosti matematického očakávania

Medzi najdôležitejšie vlastnosti matematického očakávania patria:

- Znak: ak X je kladné, potom E (X) bude tiež pozitívne.

- Očakávaná hodnota konštanty : očakávaná hodnota skutočnej konštanty k je konštanta.

- Linearita v súčte: očakávanie náhodnej premennej, ktorá je zase súčtom dvoch premenných X a Y, je súčtom očakávaní.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

- Násobenie konštantou : ak náhodná premenná má tvar kX, kde k je konštanta (reálne číslo), vyjde mimo očakávanú hodnotu.

- Očakávaná hodnota produktu a nezávislosť medzi premennými : Ak je náhodná premenná súčinom náhodných premenných X a Y, ktoré sú nezávislé, potom je očakávaná hodnota produktu súčinom očakávaných hodnôt.

Všeobecne platí, že ak Y = g (X):

- Poradie v očakávanej hodnote: ak X ≤ Y, potom:

Pretože existujú očakávané hodnoty každej z nich.

Matematické očakávania v stávkach

Keď slávny astronóm Christian Huygens (1629 - 1695) nepozoroval oblohu, venoval sa okrem iného disciplínam pravdepodobnosti hazardných hier. Bol to on, kto predstavil pojem matematickej nádeje vo svojej práci z roku 1656 s názvom: Zdôvodnenie hazardných hier.

Obrázok 2. Christiaan Huygens (1629-1625) bol vynikajúci a všestranný vedec, ktorému vďačíme za koncept očakávanej hodnoty.

Huygens zistil, že stávky je možné klasifikovať tromi spôsobmi na základe očakávanej hodnoty:

-Hry s výhodou: E (X)> 0

- Spravodlivé stávky: E (X) = 0

- Nevýhoda: E (X) <0

Problém je v tom, že v hazardnej hre nie je vždy ľahké vypočítať matematické očakávania. A keď je to možné, výsledok je niekedy sklamaním pre tých, ktorí sa zaujímajú, či staviť alebo nie.

Skúsme jednoduchú stávku: hlavy alebo chvosty a porazený zaplatí kávu vo výške 1 dolár. Aká je očakávaná hodnota tejto stávky?

Pravdepodobnosť zvinutia hláv je ½, rovná sa chvostom. Náhodná premenná je získať 1 $ alebo stratiť $ 1, zisk je označený znamienkom + a strata znamienkom -.

Informácie usporiadame do tabuľky:

Vynásobíme hodnoty stĺpcov: 1. ½ = ½ a (-1). ½ = -½ a nakoniec sa pridajú výsledky. Suma je 0 a je to férová hra, v ktorej sa od účastníkov neočakáva, že vyhrá, ani prehrá.

Francúzska ruleta a lotéria sú hry so zdravotným postihnutím, pri ktorých väčšina bettors prehrá. Neskôr je v časti riešených cvičení o niečo zložitejšia stávka.

Príklady

Tu je niekoľko jednoduchých príkladov, kde je koncept matematického očakávania intuitívny a objasňuje ho:

Príklad 1

Začneme hodením úprimnej formy. Aká je očakávaná hodnota uvedenia produktu na trh? Ak je matrica čestná a má 6 hláv, pravdepodobnosť, že sa akákoľvek hodnota (X = 1, 2, 3 … 6) bude hodiť, je 1/6, ako je táto:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4 (1/6) + 5 (1/6) + 6 (1 / 6) = 21/6 = 3,5

Obrázok 3. V rolke čestnej matrice nie je očakávaná hodnota možná. Zdroj: Pixabay.

Očakávaná hodnota sa v tomto prípade rovná priemeru, pretože každá tvár má rovnakú pravdepodobnosť vyjdenia. Ale E (X) nie je možná hodnota, pretože žiadne hlavy nemajú hodnotu 3,5. V niektorých distribúciách je to úplne možné, aj keď v tomto prípade výsledok tipujúcemu veľa nepomôže.

Pozrime sa na ďalší príklad s hodením dvoch mincí.

Príklad 2

Dve poctivé mince sa vyhodia do vzduchu a náhodnú premennú X definujeme ako počet zvinutých hláv. Môžu sa vyskytnúť tieto udalosti:

- Žiadna výška: 0 hláv, čo sa rovná 2 chvostom.

- Vyjde 1 hlava a 1 známka alebo krížik

- Dve tváre vyjdú.

Nech C je hlava a T pečať, vzorový priestor, ktorý opisuje tieto udalosti, je nasledujúci:

S _m = {Seal-Seal; Tesnenie-tváre; Face-Seal; Tvárou v tvár} = {TT, TC, CT, CC}

Pravdepodobnosťou udalostí je:

P (X = 0) = P (T), P (T) = 1/2. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C), P (C) = 1/2. ½ = ¼

Tabuľka je zostavená so získanými hodnotami:

Podľa definície uvedenej na začiatku sa matematické očakávanie vypočíta ako:

Náhradné hodnoty:

E (X) = 0, 1 + 1, 2 + 2, = = 1 + 1, 1

Tento výsledok sa interpretuje nasledovne: Ak má človek dostatok času na vykonanie veľkého počtu experimentov vyhodením týchto dvoch mincí, očakáva sa, že dostane hlavu do každého hodu.

Vieme však, že vydania s 2 štítkami sú úplne možné.

Cvičenie bolo vyriešené

V hádke dvoch čestných mincí sa uskutoční nasledujúca stávka: ak vyjdú 2 hlavy, vyhráte $ 3, ak 1 hlava vyjde, vyhráte $ 1, ale ak vyjdú dve pečiatky, musíte zaplatiť 5 dolárov. Vypočítajte očakávané víťazstvo stávky.

Obrázok 4. V závislosti od stávky sa matematické očakávania menia, keď hodia dve poctivé mince. Zdroj: Pixabay.

Riešenie

Náhodná premenná X je hodnota, ktorú peniaze vziať do stávky a pravdepodobnosti boli vypočítané v predchádzajúcom príklade, preto tabuľka stávky je:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Keďže očakávaná hodnota je 0, je to férová hra, takže tu sa očakáva, že stávkujúci nevyhrá ani nestratí. Čiastky stávok sa však môžu zmeniť tak, aby sa stávka stala hendikepovou hrou alebo hendikepovou hrou.

Referencie

1. Brase, C. 2009. Pochopiteľné štatistiky. Houghton Mifflin.
2. Olmedo, F. Úvod do koncepcie očakávanej hodnoty alebo matematického očakávania náhodnej premennej. Získané z: personal.us.es.
3. Štatistika LibreTexts. Očakávaná hodnota diskrétnych náhodných premenných. Obnovené z: statistics.libretexts.org.
4. Triola, M. 2010. Elementary Statistics. 11 .. Ed. Addison Wesley.
5. Walpole, R. 2007. Pravdepodobnosť a štatistika pre vedu a techniku. 8 .. Vydanie. Pearson Education.