- násobenie reálneho čísla alfa vektorom V : α v dáva iný vektor, a patrí do V .

Umelecká vízia vektorového priestoru. Zdroj: Pixabay

Na označenie vektora používame hrubé písmená ( v je vektor) a pre skaláre alebo čísla grécke písmená (α je číslo).

Axiómy a vlastnosti

Na poskytnutie vektorového priestoru je potrebné dodržať týchto osem axiómov:

1-zameniteľnosť: u + v = v + u

2-Transitivita: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3-Existencia nulového vektora 0 tak, že 0 + v = v

4 - Existencia opaku: opak v je (- v ), pretože v + (- v ) = 0

5-Distribučnosť produktu vzhľadom na súčet vektorov: a ( u + v ) = a u + a v

6-Distribučnosť produktu vzhľadom na skalárny súčet: (a + β) v = α v + β v

7-Asociativita skalárneho produktu: α (β v ) = (α β) v

8 - Číslo 1 je neutrálny prvok, pretože: 1 v = v

Príklady vektorových priestorov

Príklad 1

Vektory v rovine (R2) sú príkladom vektorového priestoru. Vektor v rovine je geometrický objekt, ktorý má veľkosť a smer. Predstavuje to orientovaný segment, ktorý patrí do uvedenej roviny a ktorého veľkosť je úmerná jeho veľkosti.

Súčet dvoch vektorov v rovine možno definovať ako operáciu geometrického translácie druhého vektora po prvom. Výsledkom súčtu je orientovaný segment, ktorý začína od začiatku prvého a dosahuje špičku druhého.

Na obrázku je vidieť, že suma v R2 je komutatívna.

Obrázok 2. Vektory v rovine tvoria vektorový priestor. Zdroj: vlastný.

Je tiež definovaný produkt čísla a a vektora. Ak je číslo kladné, smer pôvodného vektora sa zachová a veľkosť je α násobkom pôvodného vektora. Ak je číslo záporné, smer je opačný a veľkosť výsledného vektora je absolútnou hodnotou čísla.

Vektor oproti každému vektoru v je - v = (- 1) v .

Nulový vektor je bod v rovine R2 a nulové číslo, ktoré vektor dáva nulovému vektoru.

Všetko, čo už bolo povedané, je znázornené na obr.

Príklad 2

Sada P všetkých polynómov stupňa menších alebo rovnajúcich sa dvom, vrátane stupňa nula, tvorí množinu, ktorá spĺňa všetky axiómy vektorového priestoru.

Nech polynóm P (x) = a x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

Súčet dvoch polynómov je definovaný: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

Súčet polynómov patriacich do množiny P je komutatívny a prechodný.

Nulový polynóm patriaci do množiny P je taký, ktorý má všetky svoje koeficienty rovné nule:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Súčet skaláru a podľa polynómu je definovaný ako: α (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

Protiľahlý polynóm P (x) je -P (x) = (-1) P (x).

Z vyššie uvedeného vyplýva, že množina P všetkých polynómov stupňa menšieho alebo rovného dvom je vektorovým priestorom.

Príklad 3

Množina M všetkých matíc riadkov xn stĺpcov, ktorých prvkami sú reálne čísla, tvorí skutočný vektorový priestor vzhľadom na operácie spočívajúce v sčítaní matíc a súčinu čísla maticou.

Príklad 4

Súbor F spojitých funkcií reálnej premennej tvorí vektorový priestor, pretože je možné definovať súčet dvoch funkcií, násobenie skaláru funkciou, nulovú funkciu a symetrickú funkciu. Spĺňajú tiež axiómy, ktoré charakterizujú vektorový priestor.

Základ a rozmer vektorového priestoru

základňa

Základ vektorového priestoru je definovaný ako skupina lineárne nezávislých vektorov tak, že z ich lineárnej kombinácie môže byť vytvorený akýkoľvek vektor tohto vektorového priestoru.

Lineárne kombinovanie dvoch alebo viacerých vektorov spočíva v znásobení vektorov určitým skalárom a ich následnom vektorovom pridaní.

Napríklad vo vektorovom priestore vektorov v troch rozmeroch tvorených R3 je použitá kanonická báza definovaná jednotkovými vektormi (veľkosť 1) i , j , k .

Kde i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Toto sú karteziánske alebo kanonické vektory.

Akýkoľvek vektor V patriaci do R3 je napísaný ako V = a i + b j + c k , čo je lineárna kombinácia základných vektorov i , j , k . Skalárne alebo čísla a, b, c sú známe ako karteziánskych zložiek V .

Tiež sa hovorí, že základné vektory vektorového priestoru tvoria generátorovú sadu vektorového priestoru.

rozmer

Dimenzia vektorového priestoru je kardinálne číslo vektorovej bázy pre tento priestor; to znamená počet vektorov, ktoré tvoria uvedenú bázu.

Tento kardinál je maximálny počet lineárne nezávislých vektorov tohto vektorového priestoru a súčasne minimálny počet vektorov, ktoré tvoria generátorovú súpravu tohto priestoru.

Základne vektorového priestoru nie sú jedinečné, ale všetky bázy toho istého vektorového priestoru majú rovnakú dimenziu.

Vektorový podpriestor

Vektorový podpriestor S vektorového priestoru V je podsúbor V, v ktorom sú rovnaké operácie definované ako vo V a spĺňa všetky axiómy vektorového priestoru. Preto bude subpriestor S tiež vektorovým priestorom.

Príkladom vektorového podpriestoru sú vektory, ktoré patria do roviny XY. Tento podprostor je podskupina vektorového priestoru dimenzionality väčšia ako sada vektorov patriacich do trojrozmerného priestoru XYZ.

Ďalší príklad vektorového podpriestoru SI vektorového priestoru S tvoreného všetkými 2 × 2 maticami so skutočnými prvkami je definovaný nižšie:

Na druhej strane, S2 definovaný nižšie, hoci je podskupinou S, netvorí vektorový podpriestor:

Riešené cvičenia

- Cvičenie 1

Nechajte vektory V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) a V3 = (0, 0, 3) v R3.

a) Dokážte, že sú lineárne nezávislé.

b) Dokážte, že tvoria základ v R3, pretože akúkoľvek trojicu (x, y, z) je možné písať ako lineárnu kombináciu V1, V2, V3.

c) Nájdite komponenty trojitého V = (-3,5,4) v základni V1 , V2 , V3 .

Riešenie

Kritérium na preukázanie lineárnej nezávislosti spočíva v stanovení nasledujúcej množiny rovníc v α, β a γ

a (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + y (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

V prípade, že jediným riešením tohto systému je a = β = γ = 0, vektory sú lineárne nezávislé, inak nie sú.

Na získanie hodnôt α, β a γ navrhujeme nasledujúci systém rovníc:

a ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

a ∙ 1 + β ∙ 2 + y ∙ 0 = 0

a ∙ 0 + β ∙ 1 + γ3 = 0

Prvá vedie k a = 0, druhá a = -2 ∙ β, ale od α = 0, potom β = 0. Tretia rovnica znamená, že γ = (- 1/3) β, ale pretože β = 0, potom γ = 0.

Odpoveď na

Dospelo sa k záveru, že ide o množinu lineárne nezávislých vektorov v R3.

Odpoveď b

Teraz napíšme trojicu (x, y, z) ako lineárnu kombináciu V1, V2, V3.

(x, y, z) = aV1 + pV2 + y V3 = a (1, 1, 0) + p (0, 2, 1) + y (0, 0, 3)

a ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

a ∙ 1 + β ∙ 2 + y ∙ 0 = y

a ∙ 0 + β ∙ 1 + γ3 = z

Kde máš:

a = x

a + 2 p = y

P + 3 y = z

Prvý označuje a = x, druhý p = (yx) / 2 a tretí y = (z-y / 2 + x / 2) / 3. Týmto spôsobom sme našli generátory a, β a γ akejkoľvek trojitej skupiny R3

Odpoveď c

Poďme ďalej nájsť komponenty trojice V = (-3,5,4) v základni V1 , V2 , V3 .

Nahrádzame zodpovedajúce hodnoty vo vyššie uvedených výrazoch generátormi.

V tomto prípade máme: α = -3; p = (5 - (- 3)) / 2 = 4; y = (4-5/2 + (-3) / 2) / 3 = 0

To znamená:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Do poslednej:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Dospeli sme k záveru, že V1, V2, V3 tvoria základ vo vektorovom priestore R3 dimenzie 3.

- Cvičenie 2

Vyjadrite polynóm P (t) = t2 + 4t -3 ako lineárnu kombináciu P1 (t) = t2 -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t a P3 (t) = t + 3.

Riešenie

P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

kde sa majú určiť čísla x, y, z.

Vynásobením a zoskupením výrazov s rovnakým stupňom vt získame:

t + 4 t -3 = (x + 2r) t + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Čo nás vedie k nasledujúcemu systému rovníc:

x + 2r = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Riešenia tohto systému rovníc sú:

x = -3, y = 2, z = 4.

To znamená:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

- Cvičenie 3

Ukážte, že vektory v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) a v3 = (2, 1, -1, 1) R5 sú lineárne nezávislé.

Riešenie

Lineárne kombinujeme tri vektory v1 , v2 , v3 a požadujeme, aby táto kombinácia pridala nulový prvok R⁴

a v1 + b v2 + c v3 = 0

To znamená,

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

To nás vedie k nasledujúcemu systému rovníc:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Odčítaním prvej a štvrtej máme: -a + c = 0, čo znamená a = c.

Ale keď sa pozrieme na tretiu rovnicu, máme to a = -c. Jediný spôsob, ako a = c = (- c) platí, je, že c je 0, a preto a bude tiež 0.

a = c = 0

Ak tento výsledok zapojíme do prvej rovnice, usúdime, že b = 0.

Nakoniec a = b = c = 0, takže je možné dospieť k záveru, že vektory v1, v2 a v3 sú lineárne nezávislé.

Referencie

1. Lipschutz, S. 1993. Lineárna algebra. Druhé vydanie. McGraw-Hill. 167-198.