ENEAGON: VLASTNOSTI, AKO VYROBIŤ ENEAGON, PRÍKLADY - MATEMATIKA

Enegon je polygón s deviatimi stranách a deviatimi vrcholy, ktoré môžu alebo nemusia byť správne. Názov eneágono pochádza z gréčtiny a skladá sa z gréckych slov ennea (deväť) a gonon (uhol).

Alternatívnym názvom pre deväťstranný mnohouholník je nonagon, ktorý pochádza z latinského slova nonus (deväť) a gonónu (vrchol). Na druhú stranu, ak sú strany alebo uhly eneagónu navzájom rovnaké, máte nepravidelný eneagon. Ak sú na druhej strane rovnaké všetky deväť strán a deväť uhlov eneagónu, potom je to normálny eneagon.

Obrázok 1. Pravidelný a nepravidelný eneagon. (Vlastné spracovanie)

Vlastnosti eneagónu

V prípade mnohouholníka so stranami n je súčet jeho vnútorných uhlov:

(n - 2) * 180 °

V záhlaví by to bolo n = 9, takže súčet jeho vnútorných uhlov je:

Sa = (9 - 2) * 180 ° = 7 * 180 ° = 1260 °

V ľubovoľnom mnohouholníku je počet uhlopriečok:

D = n (n - 3) / 2 a v prípade enegónu, pretože n = 9, potom máme D = 27.

Pravidelná vec

V pravidelnom eneagóne alebo nelineóne je deväť (9) vnútorných uhlov rovnakých rozmerov, preto každý uhol meria jednu devätinu celkového súčtu vnútorných uhlov.

Miera vnútorných uhlov kónusu je potom 1260 ° / 9 = 140 °.

Obrázok 2. Apotém, polomer, boky, uhly a vrcholy pravidelného eneagónu. (Vlastné spracovanie)

Na odvodenie vzorca pre oblasť pravidelného obvodu so stranou d je vhodné urobiť niektoré pomocné konštrukcie, ako napríklad tie, ktoré sú zobrazené na obrázku 2.

Stred O sa nachádza sledovaním priesečníkov dvoch susedných strán. Stred O je rovnako vzdialený od vrcholov.

Polomer dĺžky r je úsek od stredu O po vrchol enegónu. Obrázok 2 zobrazuje polomery OD a OE dĺžky r.

Apothem je segment, ktorý prechádza zo stredu do stredu jednej strany výbežku. Napríklad OJ je apotém, ktorého dĺžka je.

Oblasť enegónu pozná stranu a apotém

Trojuholník ODE považujeme za obrázok 2. Plocha tohto trojuholníka je produktom jeho základnej DE a výšky OJ vydelenej 2:

Oblasť ODE = (DE * OJ) / 2 = (d * a) / 2

Pretože v enegóne je 9 rovnakých oblastí s trojuholníkmi, dospelo sa k záveru, že ich plocha je:

Plocha enegónu = (9/2) (d * a)

Oblasť známeho okraja strany

Ak je známa iba dĺžka d strán enegónu, potom je potrebné nájsť dĺžku apothému, aby sa dal vzorec použiť v predchádzajúcej časti.

Pravý trojuholník OJE považujeme v písmene J (pozri obrázok 2). Ak sa použije tangensový trigonometrický pomer, dostaneme:

tan (∡ OEJ) = OJ / EJ.

Uhol ∡OEJ = 140 ° / 2 = 70 °, pretože EO je strednica vnútorného uhla kružnice.

Na druhej strane je OJ apothem o dĺžke a.

Potom, keďže J je stred ED, z toho vyplýva, že EJ = d / 2.

Nahradením predchádzajúcich hodnôt v tangensnom vzťahu máme:

tan (70 °) = a / (d / 2).

Teraz vyčistíme dĺžku apotému:

a = (d / 2) tan (70 °).

Predchádzajúci výsledok sa nahradí vzorcom oblasti a získa sa:

Plocha enegónu = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) tan (70 °))

Nakoniec nájdeme vzorec, ktorý umožňuje získať plochu pravidelného obvodu, ak je známa iba dĺžka d jeho strán:

Plocha enegon = (9/4) d ² tan (70 °) = 6.1818 d ²

Okraj pravidelného enegónu pozná svoju stranu

Obvod polygónu je súčet jeho strán. V prípade zápletky, keď každá zo strán meria dĺžku d, jej obvod bude súčet deväťkrát d, to znamená:

Obvod = 9 d

Obvod poznáva svoj polomer

Vzhľadom na pravouhlý trojuholník OJE v J (pozri obrázok 2) sa použije trigonometrický kosínový pomer:

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

Kde sa získava:

d = 2r cos (70º)

Nahradením tohto výsledku získame vzorec pre obvod ako funkciu polomeru enegónu:

Obvod = 9 d = 18 r cos (70 °) = 6,1564 r

Ako urobiť pravidelnú enegon

1. Na zostavenie pravidelného eneagónu s pravítkom a kompasom začnite od obvodu c, ktorý ho obklopuje. (pozri obrázok 3)

2 - Stredom obvodu O sú nakreslené dve kolmé čiary. Potom sa priesečníky A a B jednej z čiar označia obvodom.

3 - S kompasom vycentrovaným na priesečníku B a otvorom rovným polomeru BO sa nakreslí oblúk, ktorý pretína pôvodný obvod v bode C.

Obrázok 3. Kroky na zostavenie pravidelného kódu. (Vlastné spracovanie)

4 - Predchádzajúci krok sa opakuje, ale vytvorením stredu v A a polomere AO sa nakreslí oblúk, ktorý zachytáva obvod c v bode E.

5- Pri otvorení AC a stredu v A sa nakreslí obvodový oblúk. Podobne s otvorením BE a stredom B sa nakreslí ďalší oblúk. Priesečník týchto dvoch oblúkov je označený ako bod G.

6- Vycentrovanie na G a otvorenie GA je nakreslený oblúk, ktorý pretína sekundárnu os (v tomto prípade horizontálnu) v bode H. Priesečník sekundárnej osi s pôvodným obvodom c je označený ako I.

7 - DÍžka segmentu IH sa rovná dĺžke d strany bočnej strany enegónu.

8- Pri otvorení kompasu IH = d sa oblúky polomeru A stred A, stred AK J, stred KL polomer KL a polomer L stred LP nakreslia postupne.

9 - Podobne, od A a sprava, sú nakreslené oblúky polomeru IH = d, ktoré označujú body M, N, C a Q na pôvodnom obvode c.

10 - Nakoniec sa nakreslia segmenty AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ a nakoniec PB.

Je potrebné poznamenať, že spôsob konštrukcie nie je úplne presný, pretože je možné overiť, že posledná strana PB je o 0,7% dlhšia ako ostatné strany. Doteraz neexistuje známa metóda konštrukcie s pravítkom a kompasom, ktorá je 100% presná.

Príklady

Tu je niekoľko prepracovaných príkladov.

Príklad 1

Chceme postaviť pravidelný obvod, ktorého strany majú rozmer 2 cm. Aký polomer musí mať obvod, ktorý ho ohraničuje, aby sa dosiahnutím požadovaného výsledku dosiahlo uplatnením skôr opísanej konštrukcie?

V predchádzajúcej časti bol odvodený vzorec, ktorý sa týka polomeru r ohraničeného kruhu so stranou d pravidelného enegónu:

d = 2r cos (70º)

Riešenie pre r z predchádzajúceho výrazu máme:

r = d / (2 cos (70 °)) = 1,4619 * d

Nahradením hodnoty d = 2 cm v predchádzajúcom vzorci sa získa polomer r 2,92 cm.

Príklad 2

Aká je oblasť pravidelného vedra so stranou 2 cm?

Na zodpovedanie tejto otázky musíme poukázať na vzorec, ktorý bol predtým uvedený a ktorý nám umožňuje nájsť oblasť známeho enegónu podľa dĺžky d jeho strany: