- Vlastnosti eneagónu
- Pravidelná vec
- Oblasť enegónu pozná stranu a apotém
- Oblasť známeho okraja strany
- Okraj pravidelného enegónu pozná svoju stranu
- Obvod poznáva svoj polomer
- Ako urobiť pravidelnú enegon
- Príklady
- Príklad 1
- Príklad 2
- Referencie
Enegon je polygón s deviatimi stranách a deviatimi vrcholy, ktoré môžu alebo nemusia byť správne. Názov eneágono pochádza z gréčtiny a skladá sa z gréckych slov ennea (deväť) a gonon (uhol).
Alternatívnym názvom pre deväťstranný mnohouholník je nonagon, ktorý pochádza z latinského slova nonus (deväť) a gonónu (vrchol). Na druhú stranu, ak sú strany alebo uhly eneagónu navzájom rovnaké, máte nepravidelný eneagon. Ak sú na druhej strane rovnaké všetky deväť strán a deväť uhlov eneagónu, potom je to normálny eneagon.

Obrázok 1. Pravidelný a nepravidelný eneagon. (Vlastné spracovanie)
Vlastnosti eneagónu
V prípade mnohouholníka so stranami n je súčet jeho vnútorných uhlov:
(n - 2) * 180 °
V záhlaví by to bolo n = 9, takže súčet jeho vnútorných uhlov je:
Sa = (9 - 2) * 180 ° = 7 * 180 ° = 1260 °
V ľubovoľnom mnohouholníku je počet uhlopriečok:
D = n (n - 3) / 2 a v prípade enegónu, pretože n = 9, potom máme D = 27.
Pravidelná vec
V pravidelnom eneagóne alebo nelineóne je deväť (9) vnútorných uhlov rovnakých rozmerov, preto každý uhol meria jednu devätinu celkového súčtu vnútorných uhlov.
Miera vnútorných uhlov kónusu je potom 1260 ° / 9 = 140 °.

Obrázok 2. Apotém, polomer, boky, uhly a vrcholy pravidelného eneagónu. (Vlastné spracovanie)
Na odvodenie vzorca pre oblasť pravidelného obvodu so stranou d je vhodné urobiť niektoré pomocné konštrukcie, ako napríklad tie, ktoré sú zobrazené na obrázku 2.
Stred O sa nachádza sledovaním priesečníkov dvoch susedných strán. Stred O je rovnako vzdialený od vrcholov.
Polomer dĺžky r je úsek od stredu O po vrchol enegónu. Obrázok 2 zobrazuje polomery OD a OE dĺžky r.
Apothem je segment, ktorý prechádza zo stredu do stredu jednej strany výbežku. Napríklad OJ je apotém, ktorého dĺžka je.
Oblasť enegónu pozná stranu a apotém
Trojuholník ODE považujeme za obrázok 2. Plocha tohto trojuholníka je produktom jeho základnej DE a výšky OJ vydelenej 2:
Oblasť ODE = (DE * OJ) / 2 = (d * a) / 2
Pretože v enegóne je 9 rovnakých oblastí s trojuholníkmi, dospelo sa k záveru, že ich plocha je:
Plocha enegónu = (9/2) (d * a)
Oblasť známeho okraja strany
Ak je známa iba dĺžka d strán enegónu, potom je potrebné nájsť dĺžku apothému, aby sa dal vzorec použiť v predchádzajúcej časti.
Pravý trojuholník OJE považujeme v písmene J (pozri obrázok 2). Ak sa použije tangensový trigonometrický pomer, dostaneme:
tan (∡ OEJ) = OJ / EJ.
Uhol ∡OEJ = 140 ° / 2 = 70 °, pretože EO je strednica vnútorného uhla kružnice.
Na druhej strane je OJ apothem o dĺžke a.
Potom, keďže J je stred ED, z toho vyplýva, že EJ = d / 2.
Nahradením predchádzajúcich hodnôt v tangensnom vzťahu máme:
tan (70 °) = a / (d / 2).
Teraz vyčistíme dĺžku apotému:
a = (d / 2) tan (70 °).
Predchádzajúci výsledok sa nahradí vzorcom oblasti a získa sa:
Plocha enegónu = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) tan (70 °))
Nakoniec nájdeme vzorec, ktorý umožňuje získať plochu pravidelného obvodu, ak je známa iba dĺžka d jeho strán:
Plocha enegon = (9/4) d 2 tan (70 °) = 6.1818 d 2
Okraj pravidelného enegónu pozná svoju stranu
Obvod polygónu je súčet jeho strán. V prípade zápletky, keď každá zo strán meria dĺžku d, jej obvod bude súčet deväťkrát d, to znamená:
Obvod = 9 d
Obvod poznáva svoj polomer
Vzhľadom na pravouhlý trojuholník OJE v J (pozri obrázok 2) sa použije trigonometrický kosínový pomer:
cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r
Kde sa získava:
d = 2r cos (70º)
Nahradením tohto výsledku získame vzorec pre obvod ako funkciu polomeru enegónu:
Obvod = 9 d = 18 r cos (70 °) = 6,1564 r
Ako urobiť pravidelnú enegon
1. Na zostavenie pravidelného eneagónu s pravítkom a kompasom začnite od obvodu c, ktorý ho obklopuje. (pozri obrázok 3)
2 - Stredom obvodu O sú nakreslené dve kolmé čiary. Potom sa priesečníky A a B jednej z čiar označia obvodom.
3 - S kompasom vycentrovaným na priesečníku B a otvorom rovným polomeru BO sa nakreslí oblúk, ktorý pretína pôvodný obvod v bode C.

Obrázok 3. Kroky na zostavenie pravidelného kódu. (Vlastné spracovanie)
4 - Predchádzajúci krok sa opakuje, ale vytvorením stredu v A a polomere AO sa nakreslí oblúk, ktorý zachytáva obvod c v bode E.
5- Pri otvorení AC a stredu v A sa nakreslí obvodový oblúk. Podobne s otvorením BE a stredom B sa nakreslí ďalší oblúk. Priesečník týchto dvoch oblúkov je označený ako bod G.
6- Vycentrovanie na G a otvorenie GA je nakreslený oblúk, ktorý pretína sekundárnu os (v tomto prípade horizontálnu) v bode H. Priesečník sekundárnej osi s pôvodným obvodom c je označený ako I.
7 - DÍžka segmentu IH sa rovná dĺžke d strany bočnej strany enegónu.
8- Pri otvorení kompasu IH = d sa oblúky polomeru A stred A, stred AK J, stred KL polomer KL a polomer L stred LP nakreslia postupne.
9 - Podobne, od A a sprava, sú nakreslené oblúky polomeru IH = d, ktoré označujú body M, N, C a Q na pôvodnom obvode c.
10 - Nakoniec sa nakreslia segmenty AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ a nakoniec PB.
Je potrebné poznamenať, že spôsob konštrukcie nie je úplne presný, pretože je možné overiť, že posledná strana PB je o 0,7% dlhšia ako ostatné strany. Doteraz neexistuje známa metóda konštrukcie s pravítkom a kompasom, ktorá je 100% presná.
Príklady
Tu je niekoľko prepracovaných príkladov.
Príklad 1
Chceme postaviť pravidelný obvod, ktorého strany majú rozmer 2 cm. Aký polomer musí mať obvod, ktorý ho ohraničuje, aby sa dosiahnutím požadovaného výsledku dosiahlo uplatnením skôr opísanej konštrukcie?
V predchádzajúcej časti bol odvodený vzorec, ktorý sa týka polomeru r ohraničeného kruhu so stranou d pravidelného enegónu:
d = 2r cos (70º)
Riešenie pre r z predchádzajúceho výrazu máme:
r = d / (2 cos (70 °)) = 1,4619 * d
Nahradením hodnoty d = 2 cm v predchádzajúcom vzorci sa získa polomer r 2,92 cm.
Príklad 2
Aká je oblasť pravidelného vedra so stranou 2 cm?
Na zodpovedanie tejto otázky musíme poukázať na vzorec, ktorý bol predtým uvedený a ktorý nám umožňuje nájsť oblasť známeho enegónu podľa dĺžky d jeho strany:
Plocha enegon = (9/4) d 2 tan (70 °) = 6.1818 d 2
Nahradením hodnoty d za jej hodnotu 2 cm v predchádzajúcom vzorci získame:
Plocha eneagónu = 24,72 cm
Referencie
- CEA (2003). Prvky geometrie: s cvičením a kompasovou geometriou. Univerzita v Medellíne.
- Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
- Freed, K. (2007). Objavte polygóny. Benchmark Education Company.
- Hendrik, V. (2013). Generalizované polygóny. Birkhäuser.
- Iger. (SF). Matematika Prvý semester Tacaná. Iger.
- Geometria jr. (2014). Polygóny. Lulu Press, Inc.
- Miller, Heeren a Hornsby. (2006). Matematika: Zdôvodnenie a aplikácie (desiate vydanie). Pearson Education.
- Patiño, M. (2006). Matematika 5. Redakčný progres.
