POLYNOMICKÉ ROVNICE (S VYRIEŠENÝMI CVIČENIAMI) - MATEMATIKA - 2026

Tieto polynomial rovnice sú vyhlásenia, ktorá zvyšuje rovnosť dvoch výrazov alebo členov, kde je aspoň jeden z termínov, ktoré tvoria až každú stranu rovnosti sú polynómy P (x). Tieto rovnice sú pomenované podľa stupňa ich premenných.

Vo všeobecnosti je rovnica vyjadrením, ktoré určuje rovnosť dvoch výrazov, pričom v najmenej jednom z nich sú neznáme veličiny, ktoré sa nazývajú premenné alebo neznáme. Aj keď existuje veľa typov rovníc, vo všeobecnosti sa delia na dva typy: algebraické a transcendentné.

Polynomické rovnice obsahujú iba algebraické výrazy, ktoré môžu mať v jednej alebo viacerých neznámych rovniciach. Podľa exponenta (stupňa) môžu byť klasifikované do: prvého stupňa (lineárny), druhého stupňa (kvadratický), tretieho stupňa (kubický), štvrtého stupňa (kvartický), stupňa väčšieho alebo rovnajúceho sa päť a iracionálneho.

vlastnosti

Polynomické rovnice sú výrazy, ktoré sú tvorené rovnosťou medzi dvoma polynómami; to znamená konečnými súčtami násobkov medzi neznámymi hodnotami (premenné) a pevnými číslami (koeficienty), kde premenné môžu mať exponenty a ich hodnota môže byť kladné celé číslo vrátane nuly.

Exponenti určujú stupeň alebo typ rovnice. Výraz vo výraze s najvyšším exponentom bude predstavovať absolútny stupeň polynómu.

Polynomické rovnice sú tiež známe ako algebraické rovnice, ich koeficienty môžu byť reálne alebo komplexné čísla a premenné sú neznáme čísla predstavované písmenom, napríklad: "x".

Ak sa nahradí premenná "x" v P (x), výsledok sa rovná nule (0), potom sa o tejto hodnote hovorí, že vyhovuje rovnici (je to riešenie) a všeobecne sa nazýva koreňom polynómu.

Pri vývoji polynómovej rovnice chcete nájsť všetky korene alebo riešenia.

druhy

Existuje niekoľko typov polynómových rovníc, ktoré sa diferencujú podľa počtu premenných a tiež podľa stupňa ich exponentu.

Teda polynomické rovnice - kde je ich prvý člen polynom, ktorý má jediný neznámy, vzhľadom na to, že jeho stupeň môže byť akékoľvek prirodzené číslo (n) a druhý člen je nula -, možno vyjadriť takto:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 + … + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Kde:

- a _n, a _-1 a ₀ sú skutočné koeficienty (čísla).

- a _n sa líši od nuly.

- Exponent n je kladné celé číslo, ktoré predstavuje stupeň rovnice.

- x je premenná alebo neznáme, ktoré sa majú prehľadávať.

Absolútny alebo väčší stupeň polynómovej rovnice je exponent s najvyššou hodnotou spomedzi všetkých tých, ktoré tvoria polynóm; rovnice sa teda klasifikujú ako:

Prvá trieda

Polynomické rovnice prvého stupňa, tiež známe ako lineárne rovnice, sú rovnice, v ktorých je stupeň (najväčší exponent) rovný 1, polynóm má tvar P (x) = 0; y sa skladá z lineárneho a nezávislého termínu. Je napísané takto:

ax + b = 0.

Kde:

- aab sú skutočné čísla a a ≠ 0.

- ax je lineárny pojem.

- b je nezávislý pojem.

Napríklad rovnica 13x - 18 = 4x.

Ak chceme riešiť lineárne rovnice, všetky výrazy, ktoré obsahujú neznáme x, musia byť odovzdané jednej strane rovnosti a tie, ktoré ich nemajú, presunú na druhú stranu, aby ju vyriešili a získali riešenie:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 × 9

x = 2.

Daná rovnica má teda iba jedno riešenie alebo koreň, ktorý je x = 2.

Druhý stupeň

Polynomické rovnice druhého stupňa, tiež známe ako kvadratické rovnice, sú tie, v ktorých je stupeň (najväčší exponent) rovný 2, polynóm má tvar P (x) = 0 a je zložený z kvadratického pojmu , jeden lineárny a jeden nezávislý. Vyjadruje sa takto:

ax ² + bx + c = 0.

Kde:

- a, bac sú skutočné čísla a a ≠ 0.

- os ² je kvadratický pojem a „a“ je koeficient kvadratického pojmu.

- bx je lineárny člen a „b“ je koeficient lineárneho členu.

- c je nezávislý pojem.

Solventný

Všeobecne platí, že riešenie tohto typu rovníc je dané zúčtovaním x z rovnice a je to nasledovný jav, ktorý sa nazýva rezolúcia:

Tam, (b ² - 4ac) sa nazýva rozlišovač rovnice a tento výraz určuje počet riešení, ktoré môže mať rovnica:

- Ak je (b ² - 4ac) = 0, rovnica bude mať jediné riešenie, ktoré je dvojito; to znamená, že bude mať dve rovnaké riešenia.

- Ak (b ² - 4ac)> 0, bude mať rovnica dve rôzne reálne riešenia.

- Ak (b ² - 4ac) <0, rovnica nemá riešenie (bude mať dve rôzne komplexné riešenia).

Napríklad máme rovnicu 4x ² + 10x - 6 = 0, ktorá ju vyrieši, najprv identifikujeme výrazy a, ba ac, a potom ich nahraďte do vzorca:

a = 4

b = 10

c = -6.

Existujú prípady, keď polynomické rovnice druhého stupňa nemajú všetky tri termíny, a preto sa riešia odlišne:

- V prípade, že kvadratické rovnice nemajú lineárny výraz (tj b = 0), bude rovnica vyjadrená ako os ² + c = 0. Ak ju chcete vyriešiť, vyriešite x ² a použite štvorcové korene v každom prvku. , pripomínajúc, že ​​je potrebné zvážiť dva možné znaky, ktoré môže mať neznámy:

ax ² + c = 0.

x ² = - c ÷ a

Napríklad 5 x ² - 20 = 0.

5 x ² = 20

x ² = 20 × 5

x = ± -4

x = ± 2

x ₁ = 2.

x ₂ = -2.

- Ak kvadratická rovnica nemá samostatný výraz (tj c = 0), bude rovnica vyjadrená ako os ² + bx = 0. Ak ju chceme vyriešiť, musíme vziať spoločný faktor neznámeho x v prvom člene; Pretože sa rovnica rovná nule, je pravda, že aspoň jeden z faktorov sa bude rovnať 0:

ax ² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

Preto musíte:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Napríklad: máme rovnicu 5x ² + 30x = 0. Najprv faktor:

5x ² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Generujú sa dva faktory, ktoré sú xy (5x + 30). Jeden z nich sa považuje za rovný nule a druhý je vyriešený:

x ₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ± 5

x ₂ = -6.

Najvyššia známka

Polynomické rovnice vyššieho stupňa sú rovnice, ktoré idú od tretieho stupňa ďalej a dajú sa vyjadriť alebo vyriešiť pomocou všeobecnej polynómovej rovnice pre akýkoľvek stupeň:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 + … + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Používa sa to preto, že rovnica so stupňom väčším ako dva je výsledkom faktoringu polynómu; to znamená, že sa vyjadruje ako množenie polynómov stupňa jeden alebo viac, ale bez skutočných koreňov.

Riešenie týchto typov rovníc je priame, pretože vynásobenie dvoch faktorov sa bude rovnať nule, ak je niektorý z faktorov nulový (0); preto musí byť každá nájdená polynomická rovnica vyriešená tak, že každý z ich faktorov sa musí rovnať nule.

Napríklad máme rovnicu tretieho stupňa (kubickú) x ³ + x ² + 4x + 4 = 0. Ak ju chcete vyriešiť, musíte dodržať nasledujúce kroky:

- Termíny sú zoskupené:

x ³ + x ² + 4x + 4 = 0

(x ³ + x ² ) + (4x + 4) = 0.

- Členovia sa rozkladajú, aby dostali spoločný faktor neznámeho:

x ² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x ² + 4) _* (x + 1) = 0.

- Týmto spôsobom sa získajú dva faktory, ktoré sa musia rovnať nule:

(x ² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Je vidieť, že faktor (x ² + 4) = 0 nebude mať skutočné riešenie, zatiaľ čo faktor (x + 1) = 0. Riešením je:

(x + 1) = 0

x = -1.

Riešené cvičenia

Vyriešte nasledujúce rovnice:

Prvé cvičenie

(2x ² + 5) _* (x - 3) _* (1 + x) = 0.

Riešenie

V tomto prípade je rovnica vyjadrená ako násobenie polynómov; to znamená, že je faktorizovaný. Na jeho vyriešenie musí byť každý faktor nastavený na nulu:

- 2x ² + 5 = 0, nemá žiadne riešenie.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Daná rovnica má teda dve riešenia: x = 3 a x = -1.

Druhé cvičenie

x ⁴ - 36 = 0.

Riešenie

Bol daný polynóm, ktorý sa dá prepísať ako rozdiel štvorcov, aby sa dospelo k rýchlejšiemu riešeniu. Rovnica je teda:

(x ² + 6) _* (x ² - 6) = 0.

Na nájdenie riešenia rovníc sú oba faktory nastavené na nulu:

(x ² + 6) = 0, nemá žiadne riešenie.

(x ² - 6) = 0

x ² = 6

x = ± 6.

Počiatočná rovnica má teda dve riešenia:

x = √6.

x = - √6.

Referencie

1. Andres, T. (2010). Matematická olympiáda - vyšetrenie. Springer. New York.
2. Angel, AR (2007). Elementárna algebra. Pearson Education,.
3. Baer, ​​R. (2012). Lineárna algebra a projektívna geometria. Courier Corporation.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultúra.
5. Castaño, HF (2005). Matematika pred výpočtom. Univerzita v Medellíne.
6. Cristóbal Sánchez, MR (2000). Príručka matematickej prípravy olympiády. Univerzita Jaume I.
7. Kreemly Pérez, ML (1984). Vyššia algebra I.
8. Massara, NC-L. (devätnásť deväťdesiatpäť). Matematika 3.