Pojmy doména a kontradoména funkcie sa bežne vyučujú v kurzoch počtu, ktoré sa vyučujú na začiatku vysokoškolského štúdia.
Pred definovaním domény a protichodnosti musíte vedieť, čo je funkcia. Funkcia f je zákon (pravidlo) korešpondencie medzi prvkami dvoch sád.
Súbor, z ktorého sú vybrané prvky, sa nazýva doména funkcie, a sada, do ktorej sa tieto prvky posielajú prostredníctvom f, sa nazýva proti-doména.
V matematike je funkcia s doménou A a proti doménou B označená výrazom f: A → B.
Predchádzajúci výraz hovorí, že prvky množiny A sa posielajú do množiny B podľa korešpondenčného zákona f.
Funkcia priraďuje každému prvku množiny A jeden prvok množiny B.
Doména a rozpor
Vzhľadom na reálnu funkciu reálnej premennej f (x) máme doménu funkcie všetky tie reálne čísla, takže keď sa vyhodnotí v f, výsledkom bude reálne číslo.
Všeobecne platí, že proti-doménou funkcie je množina reálnych čísel R. Protilátková doména sa tiež nazýva príchodová množina alebo kodoména funkcie f.
Je protiklad funkcie vždy R?
Pokiaľ funkcia nie je podrobne študovaná, množina reálnych čísel R sa zvyčajne považuje za proti-doménu.
Keď sa však funkcia preskúma, vhodnejšia sada sa môže považovať za proti-doménu, ktorá bude podmnožinou R.
Správny súbor, ktorý bol uvedený v predchádzajúcom odseku, sa zhoduje s obrázkom funkcie.
Definícia obrazu alebo rozsahu funkcie f sa vzťahuje na všetky hodnoty, ktoré pochádzajú z vyhodnotenia prvku domény v f.
Príklady
Nasledujúce príklady ilustrujú spôsob výpočtu domény funkcie a jej obrazu.
Príklad 1
Nech f je skutočná funkcia definovaná f (x) = 2.
Doménou f sú všetky skutočné čísla také, že pri hodnotení v f je výsledkom skutočné číslo. Protirečenie v tejto chvíli sa rovná R.
Pretože daná funkcia je konštantná (vždy sa rovná 2), nezáleží na tom, ktoré reálne číslo je vybrané, pretože pri hodnotení v f bude výsledok vždy rovný 2, čo je skutočné číslo.
Preto doménou danej funkcie sú všetky reálne čísla; to znamená, A = R.
Teraz, keď je známe, že výsledok funkcie je vždy rovný 2, máme obraz, že obraz funkcie je iba číslo 2, a preto je možné doménu funkcie znova definovať ako B = Img (f) = {dva}.
Preto f: R → {2}.
Príklad 2
Nech g je skutočná funkcia definovaná pomocou g (x) = √x.
Pokiaľ nie je známy obrázok g, protikladom g je B = R.
Pri tejto funkcii je potrebné vziať do úvahy, že druhé odmocniny sú definované iba pre nezáporné čísla; to znamená pre čísla väčšie alebo rovné nule. Napríklad √-1 nie je skutočné číslo.
Preto doménou funkcie g musia byť všetky čísla väčšie alebo rovné nule; to znamená x ≥ 0.
Preto A = [0, + ∞).
Na výpočet rozsahu je potrebné poznamenať, že akýkoľvek výsledok g (x), pretože je druhou odmocninou, bude vždy väčší alebo rovný nule. To znamená, B = [0, + ∞).
Na záver, g: [0, + ∞) → [0, + ∞).
Príklad 3
Ak máme funkciu h (x) = 1 / (x-1), máme túto funkciu nedefinovanú pre x = 1, pretože v menovateli by sme dostali nulu a delenie nulou nie je definované.
Na druhej strane, pri akejkoľvek inej skutočnej hodnote bude výsledkom skutočné číslo. Doména je preto všetka realita okrem jednej; to znamená, A = R \ {1}.
Rovnakým spôsobom je možné pozorovať, že jediná hodnota, ktorá sa nedá získať ako výsledok, je 0, pretože ak sa má zlomok rovnať nule, čitateľ musí byť nula.
Preto je obraz funkcie množina všetkých skutočností okrem nuly, takže B = R \ {0} sa považuje za protichodnú.
Na záver h: R \ {1} → R \ {0}.
vyjadrenie
Doména a obrázok nemusia byť rovnaké, ako je uvedené v príkladoch 1 a 3.
Keď je funkcia graficky znázornená na karteziánskej rovine, doména je reprezentovaná osou X a protiľahlá doména alebo oblasť je reprezentovaná osou Y.
Referencie
- Fleming, W., a Varberg, DE (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W., a Varberg, DE (1989). Prekalkulová matematika: riešenie problémov (2, ilustrované vydanie). Michigan: Prentice Hall.
- Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra a trigonometria s analytickou geometriou. Pearson Education.
- Larson, R. (2010). Precalculus (8. vydanie). Cengage Learning.
- Leal, JM, a Viloria, NG (2005). Analytická geometria roviny. Mérida - Venezuela: Editorial Editorial Venezolana CA
- Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
- Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Calculus (deviate vydanie). Prentice Hall.
- Saenz, J. (2005). Diferenciálny počet s včasnými transcendentnými funkciami pre vedu a techniku (2. vydanie, vydanie). Prepona.
- Scott, CA (2009). Karteziánska rovinná geometria, časť: Analytický kužeľ (1907) (tlač vyd.). Zdroj blesku.
- Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson Education.