- Metóda syntetického delenia
- Riešené cvičenia
- - Príklad 1
- Riešenie
- - Príklad 2
- Riešenie
- - Príklad 3
- - Príklad 4
- Referencie
Syntetický rozdelenie je jednoduchý spôsob delenia polynómu p (x) niektorý z tvaru d (x) = x - c. Napríklad polynómu P (x) = (x 5 + 3 4 -7x 3 + 2x 2 -8x + 1) môže byť reprezentovaný ako násobok dvoch najjednoduchších polynómov (x + 1) a (x 4 + 2x 3 ).
Je to veľmi užitočný nástroj, pretože okrem rozdelenia polynómov nám tiež umožňuje vyhodnotiť polynóm P (x) v ľubovoľnom čísle c, čo nám zase presne povie, či je toto číslo nulou polynómu alebo nie.
Vďaka deliacemu algoritmu vieme, že ak máme dva nekonštantné polynómy P (x) a d (x), existujú jedinečné polynómy q (x) a r (x), takže je pravda, že P (x) = q (x) d (x) + r (x), kde r (x) je nula alebo menej ako q (x). Tieto polynómy sú známe ako kvocient a zvyšok alebo zvyšok.
V prípadoch, keď má polynóm d (x) tvar x- c, syntetické delenie nám poskytuje krátky spôsob, ako zistiť, kto q (x) a r (x) sú.
Metóda syntetického delenia
Nech P (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 polynóm, ktorý chceme rozdeliť, a d (x) = xc deliteľ. Pri delení metódou syntetického delenia postupujeme nasledovne:
1- Píšeme koeficienty P (x) v prvom riadku. Ak sa neobjaví žiadna mocnina X, dáme jej koeficient.
2 - V druhom riadku naľavo od a n umiestnime c a nakreslíme deliace čiary, ako je znázornené na nasledujúcom obrázku:
3- Znížime počiatočný koeficient do tretieho radu.
V tomto výraze b n-1 = a n
4- Vynásobíme c koeficientom vodivosti b n-1 a výsledok napíšeme do druhého riadku, ale do jedného stĺpca doprava.
5 - Pridáme stĺpec, v ktorom píšeme predchádzajúci výsledok a výsledok umiestnime pod túto sumu; to znamená v tom istom stĺpci, tretí riadok.
Pri sčítaní máme ako výsledok n-1 + c * b n-1 , ktorý pre zjednodušenie zavoláme b n-2
6- Vynásobíme c predchádzajúcim výsledkom a výsledok zapíšeme do jeho druhého riadku doprava.
7- Opakujeme kroky 5 a 6, až kým nedosiahneme koeficient na 0 .
8- píšeme odpoveď; to znamená kvocient a zvyšok. Pretože delíme polynóm stupňa n polynómom stupňa 1, máme kvocient, ktorý bude mať stupeň n-1.
Koeficienty kvocientu polynómu budú čísla v treťom riadku okrem posledného, ktorým bude zvyškový polynóm alebo zvyšok delenia.
Riešené cvičenia
- Príklad 1
Vykonajte nasledujúce rozdelenie metódou syntetického delenia:
(X 5 + 3 4 -7x 3 + 2x 2 -8x + 1): (x + 1).
Riešenie
Najprv napíšeme koeficienty dividendy nasledovne:
Potom napíšeme c na ľavú stranu, do druhého riadku, spolu s deliacimi čiarami. V tomto príklade c = -1.
Znížime počiatočný koeficient (v tomto prípade b n-1 = 1) a vynásobíme ho -1:
Výsledok zapíšeme do druhého riadku doprava, ako je to znázornené nižšie:
Do druhého stĺpca pridávame čísla:
Vynásobíme 2 koeficientom -1 a výsledok napíšeme do tretieho stĺpca v druhom riadku:
Do tretieho stĺpca pridávame:
Rovnakým spôsobom postupujeme, až kým nedosiahneme posledný stĺpec:
Máme teda, že posledné získané číslo je zvyškom delenia a zostávajúce čísla sú koeficienty kvocientu kvocientu. Toto je napísané takto:
Ak chceme overiť správnosť výsledku, stačí overiť, či je platná nasledujúca rovnica:
P (x) = q (x) * d (x) + r (x)
Môžeme teda skontrolovať, či je získaný výsledok správny.
- Príklad 2
Vykonajte nasledujúce rozdelenie polynómov metódou syntetického delenia
(7x 3- x + 2): (x + 2)
Riešenie
V tomto prípade máme, že sa výraz x 2 neobjaví, takže ako jeho koeficient zapíšeme 0. To znamená, že by sa polynóm 7x 3 + 0x 2 -X + 2.
Ich koeficienty zapíšeme do riadku, toto je:
Na ľavú stranu druhého riadku napíšeme hodnotu C = -2 a nakreslíme deliace čiary.
Znížime počiatočný koeficient b n-1 = 7 a vynásobíme ho koeficientom -2 a jeho výsledok zapíšeme do druhého riadku doprava.
Pridávame a pokračujeme, ako sme už vysvetlili, až kým nedosiahneme posledný termín:
V tomto prípade je zvyšok je R (x) = - 52 a kvocient získaný q (x) = 7x 2 -14x + 27.
- Príklad 3
Ďalším spôsobom použitia syntetického delenia je nasledujúci: predpokladajme, že máme polynóm P (x) stupňa n a chceme vedieť, aká hodnota je jeho vyhodnotením pri x = c.
Pomocou deliaceho algoritmu môžeme písať polynóm P (x) nasledujúcim spôsobom:
V tomto výraze sú q (x) a r (x) kvocient a zvyšok. Teraz, ak d (x) = x- c, pri hodnotení v c v polynóme dostaneme nasledujúce:
Zostáva teda iba nájsť ar (x), a to môžeme dosiahnuť vďaka syntetickému deleniu.
Napríklad, máme polynómu P (x) = x 7 -9x 6 + 19x 5 + 12x 4 -3x 3 + 19x 2 -37x-37 a chceme vedieť, čo jeho hodnota na základe vyhodnotenia to u x = 5. K tomu vykonajte robiť delenie medzi P (x) a d (x) = x -5 metódou syntetického delenia:
Po dokončení operácií vieme, že môžeme písať P (x) nasledujúcim spôsobom:
P (x) = (x 6 -4x 5 -X 4 + 7x 3 + 32x 2 + 179x + 858) * (X-5) + 4253
Preto pri jej hodnotení musíme:
P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253
P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253
P (5) = 0 + 4253 = 4253
Ako vidíme, je možné použiť syntetické delenie na nájdenie hodnoty polynómu jeho vyhodnotením v c namiesto jednoduchého nahradenia c za x.
Ak by sme sa pokúsili hodnotiť P (5) tradičným spôsobom, boli by sme nútení vykonať niektoré výpočty, ktoré sa často stanú únavné.
- Príklad 4
Algoritmus delenia pre polynómy platí aj pre polynómy s komplexnými koeficientmi, a preto máme metódu syntetického delenia pre také polynómy. Uvidíme príklad uvedený nižšie.
Použijeme metódu syntetického delenia, aby sme ukázali, že z = 1+ 2i je nula polynómu P (x) = x 3 + (1 + i) x 2 - (1 + 2i) x + (15 + 5i); to znamená, že zvyšok divízie P (x) za d (x) = x - z sa rovná nule.
Postupujeme ako predtým: v prvom riadku zapíšeme koeficienty P (x), potom v druhom opíšeme z a nakreslíme deliace čiary.
Vykonávame rozdelenie ako predtým; toto je:
Môžeme pozorovať, že zvyšok je nula; preto sme dospeli k záveru, že z = 1+ 2i je nula P (x).
Referencie
- Baldor Aurelio. algebra Grupo Editorial Patria.
- Demana, Waits, Foley a Kennedy. Precalculus: Grafické, numerické, algebraické 7. vydanie, Pearson Education.
- Flemming W & Varserg D. Algebra a trigonometria s analytickou geometriou. Prentická sála
- Michael Sullivan. Precalculus 4. vydanie. Pearson Education.
- Red. Armando O. Algebra 1, 6. vydanie. The Athenaeum.