- vzorec
- Charakteristiky normálneho rozdelenia
- Intervaly spoľahlivosti
- Aplikácie normálneho rozdelenia
- príklad
- Cvičenie bolo vyriešené
- Referencie
Normálne distribúcie alebo Gaussova rozdelenie je rozdelenie pravdepodobnosti v kontinuálnej premennej, v ktorom je funkcia hustoty pravdepodobnosti popísaného exponenciálne funkcie kvadratické a negatívne argumentu, ktorý vedie k vzniku tvare zvonu.
Názov normálneho rozdelenia vychádza zo skutočnosti, že toto rozdelenie je také, ktoré platí pre najväčší počet situácií, keď je v danej skupine alebo populácii zahrnutá nejaká súvislá náhodná premenná.
Obrázok 1. Normálne rozdelenie N (x; μ, σ) a jeho hustota pravdepodobnosti f (s; μ, σ). (Vlastné spracovanie)
Príklady, pri ktorých sa uplatňuje bežné rozdelenie, sú: výška mužov alebo žien, odchýlky v mierke určitej fyzickej veľkosti alebo v merateľných psychologických alebo sociologických vlastnostiach, ako je intelektuálny kvocient alebo spotrebiteľské návyky určitého výrobku.
Na druhej strane sa to nazýva gaussovské rozdelenie alebo gaussovský zvon, pretože práve vďaka tomuto objavu sa tomuto nemeckému matematickému géniovi pripisuje, že ho opísal štatistickú chybu astronomických meraní už v roku 1800.
Uvádza sa však, že toto štatistické rozloženie predtým uverejnil ďalší veľký matematik francúzskeho pôvodu, napríklad Abraham de Moivre, už v roku 1733.
vzorec
Normálna distribučná funkcia v spojitej premennej x s parametrami μ a σ sa označuje:
N (x; μ, σ)
a je to výslovne napísané takto:
N (x; μ, σ) = ∫ -∞ x f (s; μ, σ) ds
kde f (u; μ, σ) je funkcia hustoty pravdepodobnosti:
f (s; μ, σ) = (1 / (σ√ (2π)) Exp (- s 2 / (2σ 2 ))
Konštanta, ktorá znásobuje exponenciálnu funkciu vo funkcii hustoty pravdepodobnosti, sa nazýva normalizačná konštanta a bola vybraná tak, aby:
N (+ ∞, μ, σ) = 1
Predchádzajúci výraz zaisťuje, že pravdepodobnosť, že náhodná premenná x je medzi -∞ a + ∞, je 1, to znamená 100% pravdepodobnosť.
Parameter μ je aritmetický priemer spojitej náhodnej premennej x a σ smerodajná odchýlka alebo druhá odmocnina rozptylu tej istej premennej. V prípade, že μ = 0 a σ = 1, potom máme štandardné normálne rozdelenie alebo typické normálne rozdelenie:
N (x; μ = 0, σ = 1)
Charakteristiky normálneho rozdelenia
1 - Ak náhodná štatistická premenná nasleduje normálne rozdelenie hustoty pravdepodobnosti f (s; μ, σ), väčšina údajov je zoskupená okolo strednej hodnoty μ a rozptýlená okolo nej takým spôsobom, že o niečo viac ako ⅔ údajov sú medzi μ - σ a μ + σ.
2- Štandardná odchýlka σ je vždy kladná.
3- Tvar funkcie hustoty f je podobný tvaru zvonku, preto sa táto funkcia často nazýva gaussovský zvon alebo gaussovská funkcia.
4 - V gaussovskom rozdelení sa priemer, medián a režim zhodujú.
5- Inflexné body funkcie pravdepodobnostnej hustoty sú presne v μ - σ a μ + σ.
6- Funkcia f je symetrická vzhľadom na os prechádzajúcu jej strednou hodnotou μ a má asymptoticky nulu pre x ⟶ + ∞ a x ⟶ -∞.
7- Čím vyššia je hodnota σ, tým väčšie je rozptyl, šum alebo vzdialenosť údajov okolo strednej hodnoty. Inými slovami, čím vyšší je tvar zvonu otvorenejší. Na druhej strane σ malý naznačuje, že kocky sú blízko priemeru a tvar zvončeka je viac uzavretý alebo špicatý.
8- Distribučná funkcia N (x; μ, σ) naznačuje pravdepodobnosť, že náhodná premenná je menšia alebo rovná x. Napríklad na obrázku 1 (vyššie) je pravdepodobnosť P, že premenná x je menšia alebo rovná 1,5, 84% a zodpovedá ploche pod funkciou hustoty pravdepodobnosti f (x; μ, σ) od -∞ až x.
Intervaly spoľahlivosti
9 - Ak údaje sledujú normálne rozdelenie, potom 68,26% z nich je medzi μ - σ a μ + σ.
10 - 95,44% údajov, ktoré nasledujú za normálnym rozdelením, sú medzi μ - 2σ a μ + 2σ.
11 - 99,74% údajov, ktoré nasledujú za normálnym rozdelením, sú medzi μ - 3σ a μ + 3σ.
12 - Ak náhodná premenná x nasleduje distribúciu N (x; μ, σ), potom táto premenná
z = (x - μ) / σ zodpovedá štandardnej normálnej distribúcii N (z; 0,1).
Zmena z premennej x na z sa nazýva štandardizácia alebo typizácia a je veľmi užitočná pri použití tabuliek štandardného rozdelenia na údaje, ktoré nasledujú neštandardnom normálnom rozdelení.
Aplikácie normálneho rozdelenia
Na použitie normálneho rozdelenia je potrebné prejsť výpočtom integrálu hustoty pravdepodobnosti, ktorý z analytického hľadiska nie je ľahký a nie je vždy k dispozícii počítačový program, ktorý by umožňoval jeho numerický výpočet. Na tento účel sa používajú tabuľky normalizovaných alebo štandardizovaných hodnôt, ktoré nie sú ničím iným ako normálnym rozdelením v prípade μ = 0 a σ = 1.
Normalizovaná normálna distribučná tabuľka (časť 1/2)
Normalizovaná normálna distribučná tabuľka (časť 2/2)
Je potrebné poznamenať, že tieto tabuľky neobsahujú záporné hodnoty. Použitím symetrických vlastností Gaussovej pravdepodobnostnej hustoty však možno získať zodpovedajúce hodnoty. Vyriešené cvičenie uvedené nižšie naznačuje použitie tabuľky v týchto prípadoch.
príklad
Predpokladajme, že máte množinu náhodných údajov x, ktoré sa riadia normálnym rozdelením priemerov 10 a štandardnou odchýlkou 2. Žiadame vás, aby ste našli pravdepodobnosť, že:
a) Náhodná premenná x je menšia alebo rovná 8.
b) je menšie alebo sa rovná 10.
c) že premenná x je pod 12.
d) Pravdepodobnosť, že hodnota x je medzi 8 a 12.
Riešenie:
a) Na zodpovedanie prvej otázky stačí vypočítať:
N (x; μ, σ)
S x = 8, μ = 10 a σ = 2. Uvedomujeme si, že je to integrál, ktorý nemá analytické riešenie v základných funkciách, ale riešenie je vyjadrené ako funkcia chybovej funkcie erf (x).
Na druhej strane existuje možnosť riešenia integrálu v numerickej podobe, čo robí veľa kalkulačiek, tabuliek a počítačových programov, ako je GeoGebra. Na nasledujúcom obrázku je numerické riešenie zodpovedajúce prvému prípadu:
Obrázok 2. Hustota pravdepodobnosti f (x; μ, σ). Šrafovaná oblasť predstavuje P (x ≤ 8). (Vlastné spracovanie)
a odpoveď je, že pravdepodobnosť, že x je pod 8, je:
P (x ≤ 8) = N (x = 8; μ = 10, σ = 2) = 0,1587
b) V tomto prípade sa snažíme zistiť pravdepodobnosť, že náhodná premenná x je pod priemerom, ktorý v tomto prípade má hodnotu 10. Odpoveď nevyžaduje žiadny výpočet, pretože vieme, že polovica údajov je pod priemer a druhá polovica nad priemerom. Odpoveď je preto:
P (x ≤ 10) = N (x = 10; μ = 10, σ = 2) = 0,5
c) Na zodpovedanie tejto otázky musíme vypočítať N (x = 12; μ = 10, σ = 2), ktoré je možné vykonať pomocou kalkulačky, ktorá má štatistické funkcie alebo pomocou softvéru, ako je GeoGebra:
Obrázok 3. Hustota pravdepodobnosti f (x; μ, σ). Šrafovaná oblasť predstavuje P (x ≤ 12). (Vlastné spracovanie)
Odpoveď na časť c je znázornená na obrázku 3 a je:
P (x <12) = N (x = 12; μ = 10, 8 = 0,8413).
d) Na zistenie pravdepodobnosti, že náhodná premenná x je medzi 8 a 12, môžeme použiť výsledky častí a a c takto:
P (8 <x <12) = P (x <12) - P (x <8) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6826 = 68,26%.
Cvičenie bolo vyriešené
Priemerná cena akcií spoločnosti je 25 USD so štandardnou odchýlkou 4 USD. Určite pravdepodobnosť, že:
a) Náklady na akciu sú nižšie ako 20 dolárov.
b) To má cenu vyššiu ako 30 dolárov.
c) Cena je medzi 20 a 30 $.
Na nájdenie odpovedí použite štandardné normálne distribučné tabuľky.
Riešenie:
Na použitie tabuliek je potrebné prejsť na normalizovanú alebo napísanú premennú z:
20 dolárov v normalizovanej premennej sa rovná z = (20 - 25 $) / 4 $ = -5/4 = -1,25 a
30 USD v normalizovanej premennej sa rovná z = (30 - 25 $) / 4 $ = +5/4 = +1,25.
a) $ 20 sa v normalizovanej premennej rovná -1,25, ale tabuľka nemá záporné hodnoty, preto kladieme hodnotu +1,25, ktorá prinesie hodnotu 0,8944.
Ak sa od tejto hodnoty odpočíta 0,5, výsledkom bude plocha medzi 0 a 1,25, ktorá je mimochodom rovnaká (symetriou) ako plocha medzi -1,25 a 0. Výsledkom odpočtu je 0,8944 - 0,5 = 0,3944, čo je oblasť medzi -1,25 a 0.
Zaujímavá je však oblasť od -∞ do -1,25, ktorá bude 0,5 - 0,3944 = 0,1056. Dospelo sa preto k záveru, že pravdepodobnosť, že zásoby sú nižšie ako 20 USD, je 10,56%.
b) 30 USD v zadanej premennej z je 1,25. Pre túto hodnotu tabuľka uvádza číslo 0,8944, čo zodpovedá ploche od -∞ do +1,25. Plocha medzi +1,25 a + ∞ je (1 - 0,8944) = 0,1056. Inými slovami, pravdepodobnosť, že cena akcie presiahne 30 dolárov, je 10,56%.
c) Pravdepodobnosť, že akcia má náklady medzi 20 a 30 $, sa vypočíta takto:
100% -10,56% - 10,56% = 78,88%
Referencie
- Štatistika a pravdepodobnosť. Normálne rozdelenie. Obnovené z: projectdescartes.org
- Geogebra. Klasická geogebra, pravdepodobnostný počet. Získané z geogebra.org
- MATHWORKS. Gaussovo rozdelenie. Obnovené z: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Štatistika pre riadenie a ekonomiku. 3 .. vydanie. Grupo Editorial Iberoamérica.
- Stat Trek. Naučte sa štatistiku. Poissonova distribúcia. Získané z: stattrek.com,
- Triola, M. 2012. Elementary Statistics. 11 .. Ed. Pearson Education.
- Univerzita Vigo. Hlavné nepretržité distribúcie. Obnovené z: anapg.webs.uvigo.es
- Wikipedia. Normálne rozdelenie. Obnovené z: es.wikipedia.org