POISSONOVO ROZDELENIE: VZORCE, ROVNICE, MODEL, VLASTNOSTI - DUDAS - 2026

Poisson distribúcie je diskrétny rozdelenia pravdepodobnosti, pomocou ktorých je možné zistiť pravdepodobnosť, že vo veľkej veľkosti vzorky a v určitom intervale, udalosti, ktorej pravdepodobnosť je malá dôjde.

Poissonovo rozdelenie sa často môže použiť namiesto binomického rozdelenia, ak sú splnené tieto podmienky: veľká vzorka a malá pravdepodobnosť.

Obrázok 1. Graf Poissonovho rozdelenia pre rôzne parametre. Zdroj: Wikimedia Commons.

Siméon-Denis Poisson (1781-1840) vytvoril toto rozdelenie, ktoré nesie jeho meno, veľmi užitočné, pokiaľ ide o nepredvídateľné udalosti. Poisson zverejnil svoje výsledky v roku 1837, čo je práca vyšetrovania pravdepodobnosti výskytu chybných trestov.

Neskôr iní ​​vedci upravili distribúciu v iných oblastiach, napríklad počet hviezd, ktoré sa dajú nájsť v určitom objeme priestoru, alebo pravdepodobnosť, že vojak zomrie pri kope koňa.

Vzorec a rovnice

Matematická forma Poissonovho rozdelenia je nasledovná:

- μ (tiež označovaný ako λ) je priemer alebo parameter distribúcie

- Eulerovo číslo: e = 2,71828

- Pravdepodobnosť získania y = k je P

- k je počet úspechov 0, 1,2,3 …

- n je počet testov alebo udalostí (veľkosť vzorky)

Diskrétne náhodné premenné, ako naznačuje ich názov, závisia od náhody a prijímajú iba diskrétne hodnoty: 0, 1, 2, 3, 4…, k.

Priemer distribúcie je daný:

Rozptyl σ, ktorý meria šírenie údajov, je ďalším dôležitým parametrom. Pre Poissonovu distribúciu je to:

σ = μ

Poisson zistil, že keď n → ∞ a p → 0, priemerný μ - tiež nazývaný očakávaná hodnota - má tendenciu ku konštante:

- Uvažované udalosti alebo udalosti sú na sebe nezávislé a vyskytujú sa náhodne.

- Pravdepodobnosť P určitej udalosti, ktorá sa vyskytne počas určitého časového obdobia, je veľmi malá: P → 0.

- Pravdepodobnosť výskytu viac ako jednej udalosti v časovom intervale je 0.

- Priemerná hodnota sa približuje konštante danej: μ = np (n je veľkosť vzorky)

- Pretože disperzia σ je rovná μ, pretože prijíma väčšie hodnoty, variabilita sa tiež zvyšuje.

- Udalosti musia byť rovnomerne rozložené v použitom časovom intervale.

- Súbor možných hodnôt udalosti y je: 0,1,2,3,4….

- Súčet premenných i, ktoré nasledujú po Poissonovej distribúcii, je tiež ďalšou Poissonovou premennou. Jeho priemerná hodnota je súčtom priemerných hodnôt týchto premenných.

Rozdiely v binomickom rozdelení

Poissonovo rozdelenie sa líši od binomického rozdelenia nasledujúcimi dôležitými spôsobmi:

- Binomické rozdelenie je ovplyvnené veľkosťou vzorky aj pravdepodobnosťou P, ale Poissonovo rozdelenie je ovplyvnené iba priemernou μ.

- V binomickom rozdelení sú možné hodnoty náhodnej premennej y 0,1,2, …, N, zatiaľ čo v Poissonovom rozdelení pre tieto hodnoty nie je horná hranica.

Príklady

Poisson spočiatku uplatňoval svoju slávnu distribúciu na právne prípady, ale na priemyselnej úrovni bolo jedným z jeho prvých použití pri výrobe piva. V tomto procese sa kvasinkové kultúry používajú na fermentáciu.

Kvasinky sa skladajú zo živých buniek, ktorých populácia sa časom mení. Pri výrobe piva je potrebné pridať potrebné množstvo, takže je potrebné poznať počet buniek na jednotku objemu.

Počas druhej svetovej vojny sa Poissonova distribúcia použila na zistenie, či Nemci vlastne namierili na Londýn z Calais alebo náhodne strieľali. Pre spojencov bolo dôležité určiť, ako dobrá bola nacistom dostupná technológia.

Praktické aplikácie

Aplikácie Poissonovej distribúcie sa vždy vzťahujú na počty v čase alebo počty v priestore. A keďže pravdepodobnosť výskytu je nízka, je známa aj ako „zákon zriedkavých udalostí“.

Tu je zoznam udalostí, ktoré patria do jednej z týchto kategórií:

- registrácia častíc v rádioaktívnom rozklade, ktorý je, podobne ako rast kvasinkových buniek, exponenciálna funkcia.

- Počet návštev určitej webovej stránky.

- príchod ľudí na linku, ktorá má zaplatiť alebo sa na nej zúčastniť (teória frontov).

- počet automobilov, ktoré prejdú určitým bodom na ceste počas daného časového intervalu.

Obrázok 2. Počet áut prechádzajúcich bodom zhruba sleduje Poissonovo rozdelenie. Zdroj: Pixabay.

-Mutácie utrpeli v určitom reťazci DNA po vystavení ožiareniu.

- Počet meteoritov s priemerom väčším ako 1 m klesol za rok.

-Defektuje látku na meter štvorcový.

- Množstvo krviniek v centimetri kubickom.

- Výzvy za minútu na telefónnu ústredňu.

- Čokoládové lupienky prítomné v 1 kg koláča.

- Počet stromov infikovaných určitým parazitom na 1 ha lesa.

Všimnite si, že tieto náhodné premenné predstavujú počet prípadov, ku ktorým dôjde počas stanoveného časového obdobia (hovory za minútu na telefónnu ústredňu), alebo v danej oblasti priestoru (defekty látky na meter štvorcový).

Tieto udalosti, ako už boli stanovené, sú nezávislé od času, ktorý uplynul od posledného výskytu.

Aproximácia binomického rozdelenia s Poissonovým rozdelením

Poissonovo rozdelenie je dobrou aproximáciou k binomickému rozdeleniu, pokiaľ:

- Veľkosť vzorky je veľká: n ≥ 100

- Pravdepodobnosť p je malá: p ≤ 0,1

- μ je rádovo: np ≤ 10

V takýchto prípadoch je Poissonova distribúcia vynikajúcim nástrojom, pretože v týchto prípadoch môže byť ťažké uplatniť binomické rozdelenie.

Riešené cvičenia

Cvičenie 1

Seizmologická štúdia zistila, že za posledných 100 rokov bolo na celom svete 93 veľkých zemetrasení, z toho najmenej 6,0 Richterovej stupnice - logaritmické -. Predpokladajme, že distribúcia Poisson je v tomto prípade vhodným modelom. Nájsť:

a) Priemerný výskyt veľkých zemetrasení za rok.

b) Ak P (y) je pravdepodobnosť výskytu zemetrasení počas náhodne vybraného roka, nájdite tieto pravdepodobnosti:

Je to menej ako P (2).

Výsledky sú uvedené nižšie:

P (0) = 0,395, P (1) = 0,367, P (2) = 0,171, P (3) = 0,0529, P (4) = 0,0123, P (5) = 0,00229, P (6) = 0,000355, P (7) = 0,0000471.

Napríklad by sme mohli povedať, že existuje 39,5% pravdepodobnosť, že v danom roku nenastane žiadne väčšie zemetrasenie. Alebo sa v tom roku vyskytlo 5,29% z 3 veľkých zemetrasení.

Riešenie c)

c) Frekvencie sa analyzujú vynásobením n = 100 rokov:

39,5; 36,7; 17,1; 5,29; 1,23; 0,229; 0,0355 a 0,00471.

Napríklad:

- Frekvencia 39,5 naznačuje, že za 39,5 zo 100 rokov sa vyskytne 0 veľkých zemetrasení, môžeme povedať, že je to takmer skutočný výsledok 47 rokov bez väčšieho zemetrasenia.

Poďme porovnať ďalší výsledok Poisson so skutočnými výsledkami:

- Získaná hodnota 36,7 znamená, že za 37 rokov dôjde k 1 veľkému zemetraseniu. Skutočným výsledkom je, že za 31 rokov došlo k 1 veľkému zemetraseniu, čo je dobrý zápas s modelom.

- Očakáva sa 17,1 roka pri 2 veľkých zemetraseniach a je známe, že za 13 rokov, čo je blízka hodnota, sa skutočne vyskytli dve veľké zemetrasenia.

Poissonov model je preto v tomto prípade prijateľný.

Cvičenie 2

Jedna spoločnosť odhaduje, že počet komponentov, ktoré zlyhajú pred dosiahnutím 100 prevádzkových hodín, nasleduje poissonovské rozdelenie. Ak je priemerný počet porúch v danom čase 8, nájdite nasledujúce pravdepodobnosti:

a) že komponent zlyhá do 25 hodín.

b) Porucha menej ako dvoch komponentov za 50 hodín.

c) Porucha najmenej troch komponentov za 125 hodín.

Riešenie)

a) Je známe, že priemerný počet porúch za 100 hodín je 8, preto sa za 25 hodín očakáva štvrtina porúch, to znamená 2 porúch. Bude to parameter μ.

Vyžaduje sa pravdepodobnosť, že 1 komponent zlyhá, náhodná premenná je „komponenty, ktoré zlyhajú pred 25 hodinami“ a jej hodnota je y = 1. Nahradením funkcie pravdepodobnosti:

Otázkou však je pravdepodobnosť, že za menej ako 50 hodín dôjde k zlyhaniu menej ako dvoch zložiek, nie že za dve hodiny dôjde k zlyhaniu presne dvoch komponentov, preto musíme pridať pravdepodobnosti, že:

-Nie zlyhať

- Iba porucha 1

Parameter μ distribúcie je v tomto prípade:

μ = 8 + 2 = 10 porúch za 125 hodín.

P (zlyhanie 3 alebo viacerých komponentov) = 1- P (0) - P (1) - P (2) =

Referencie

1. MATHWORKS. Poissonova distribúcia. Obnovené z: es.mathworks.com
2. Mendenhall, W. 1981. Štatistika pre riadenie a ekonomiku. 3 .. vydanie. Grupo Editorial Iberoamérica.
3. Stat Trek. Naučte sa štatistiku. Poissonova distribúcia. Získané z: stattrek.com,
4. Triola, M. 2012. Elementary Statistics. 11 .. Ed. Pearson Education.
5. Wikipedia. Poissonova distribúcia. Obnovené z: en.wikipedia.org