Binomické rozdelenie je rozdelenie pravdepodobnosti, s ktorou sa počíta pravdepodobnosť výskytu udalostí, za predpokladu, že sa vyskytujú v dvoch formách: úspech alebo neúspech.
Tieto označenia (úspech alebo zlyhanie) sú úplne svojvoľné, pretože to nevyhnutne neznamená dobré alebo zlé veci. V tomto článku si ukážeme matematickú formu binomického rozdelenia a potom bude podrobne vysvetlený význam každého pojmu.
Obrázok 1. Valec matrice je jav, ktorý sa dá modelovať pomocou binomického rozdelenia. Zdroj: Pixabay.
rovnice
Rovnica je nasledovná:
S x = 0, 1, 2, 3… .n, kde:
- P (x) je pravdepodobnosť, že medzi n pokusmi alebo pokusmi bude presne x úspechov.
- x je premenná, ktorá opisuje fenomén záujmu, ktorý zodpovedá počtu úspechov.
- n počet pokusov
- p je pravdepodobnosť úspechu v jednom pokuse
- q je pravdepodobnosť zlyhania pri jednom pokuse, preto q = 1 - p
Výkričník „!“ sa používa pre faktoriálny zápis, takže:
0! = 1
one! = 1
dva! = 2,1 = 2
3! = 3,2 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
A tak ďalej.
pojem
Binomické rozdelenie je veľmi vhodné na opis situácií, v ktorých sa udalosť vyskytuje alebo sa nevyskytuje. Ak sa vyskytne, je to úspech a ak nie, je to zlyhanie. Pravdepodobnosť úspechu musí tiež zostať konštantná.
Tieto javy vyhovujú javom, napríklad hodom mince. V tomto prípade môžeme povedať, že „úspech“ sa stáva tvárou. Pravdepodobnosť je ½ a nemení sa, bez ohľadu na to, koľkokrát sa minca vyhodí.
Role čestnej matrice je ďalším dobrým príkladom, rovnako ako rozdelenie určitej výroby na dobré kusy a chybné kusy a získanie červenej namiesto čiernej pri otáčaní kolesa.
vlastnosti
Charakteristiky binomického rozdelenia môžeme zhrnúť takto:
- Každá udalosť alebo pozorovanie sa získava z nekonečnej populácie bez náhrady alebo z konečnej populácie s náhradou.
- Ako sa uvádza na začiatku, zvažujú sa iba dve možnosti, ktoré sa vzájomne vylučujú: úspech alebo neúspech.
- Pri každom pozorovaní musí byť pravdepodobnosť úspechu konštantná.
- Výsledok akejkoľvek udalosti je nezávislý od akejkoľvek inej udalosti.
- Priemer binomického rozdelenia je np
- Štandardná odchýlka je:
Príklad aplikácie
Zoberme si jednoduchú udalosť, ktorá môže trvať 2 hlavy 5 tým, že trikrát zahodí úprimnú kostru. Aká je pravdepodobnosť, že v 3 hodoch sa získajú 2 hlavy z 5?
Existuje niekoľko spôsobov, ako to dosiahnuť, napríklad:
- Prvé dve uvedenia na trh sú 5 a posledné nie.
- Prvý a posledný je 5, ale nie ten stredný.
- Posledné dva hody sú 5 a prvé nie.
Vezmime si prvú sekvenciu opísanú ako príklad a vypočítajte jej pravdepodobnosť výskytu. Pravdepodobnosť získania 5 hláv na prvom hode je 1/6 a tiež na druhom, pretože ide o nezávislé udalosti.
Pravdepodobnosť získania inej hlavy ako 5 na poslednom hode je 1 - 1/6 = 5/6. Pravdepodobnosť, že táto sekvencia vyjde, je teda výsledkom pravdepodobností:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
A čo ďalšie dve sekvencie? Majú rovnakú pravdepodobnosť: 0,023.
A keďže máme celkom 3 úspešné sekvencie, celková pravdepodobnosť bude:
Príklad 2
Jedna univerzita tvrdí, že 80% študentov absolventa univerzitného basketbalového tímu. Vyšetrovanie skúma akademický záznam 20 študentov patriacich k uvedenému basketbalovému mužstvu, ktorí sa na univerzitu prihlásili pred nejakým časom.
Z týchto 20 študentov 11 ukončilo štúdium a 9 ukončilo štúdium.
Obrázok 2. Takmer všetci študenti, ktorí hrajú o absolventa vysokoškolského tímu. Zdroj: Pixabay.
Ak je vyhlásenie univerzity pravdivé, počet študentov, ktorí hrajú basketbal a absolvent, z 20, by mal mať binomické rozdelenie s n = 20 a p = 0,8. Aká je pravdepodobnosť absolvovania presne 11 z 20 hráčov?
Riešenie
V binomickom rozdelení:
Príklad 3
Vedci vykonali štúdiu s cieľom zistiť, či existujú významné rozdiely v miere absolvovania medzi študentmi medicíny prijatými v rámci špeciálnych programov a študentmi medicíny prijatými na základe bežných prijímacích kritérií.
Zistilo sa, že miera absolvovania bola 94% pre študentov-lekárov prijatých prostredníctvom špeciálnych programov (na základe údajov z časopisu Journal of American Medical Association).
Ak je náhodne vybraných 10 študentov špeciálnych programov, nájdite pravdepodobnosť, že najmenej 9 z nich absolvovalo štúdium.
b) Bolo by neobvyklé náhodne vybrať 10 študentov zo špeciálnych programov a zistiť, že iba 7 z nich má ukončené štúdium?
Riešenie
Pravdepodobnosť, že študent prijatý v špeciálnom programe absolvuje, je 94/100 = 0,94. Zo špeciálnych programov vyberieme n = 10 študentov a chceme zistiť pravdepodobnosť, že najmenej 9 z nich absolvuje štúdium.
V binomickom rozdelení sa potom nahradia tieto hodnoty:
b)
Referencie
- Berenson, M. 1985. Štatistika pre riadenie a ekonomiku. Interamericana SA
- MATHWORKS. Binomické rozdelenie. Obnovené z: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Štatistika pre riadenie a ekonomiku. 3 .. vydanie. Grupo Editorial Iberoamérica.
- Moore, D. 2005. Aplikované základné štatistiky. 2 .. Vydanie.
- Triola, M. 2012. Elementary Statistics. 11 .. Ed. Pearson Education.
- Wikipedia. Binomické rozdelenie. Obnovené z: es.wikipedia.org