ROZDIEL KOCIEK: VZORCE, ROVNICE, PRÍKLADY, CVIČENIA - MATEMATIKA - 2026

Rozdiel kociek je binomickej algebraický výraz v podobe A ³ - b ³ , kde výrazy A a B môžu byť reálne čísla alebo algebraické výrazy rôznych typov. Príklad rozdielu v kockách je: 8 - x ³ , pretože 8 možno písať ako 2 ³ .

Geometricky môžeme uvažovať o veľkej kocke so stranou a, od ktorej sa odpočíta malá kocka so stranou b, ako je znázornené na obrázku 1:

Obrázok 1. Rozdiel v kockách. Zdroj: F. Zapata.

Objem výslednej figúry je presne rozdiel v kockách:

V = a ³ - b ³

Aby sa našiel alternatívny výraz, pozoruje sa, že tento údaj možno rozložiť na tri hranoly, ako je uvedené nižšie:

Obrázok 2. Rozdiel kociek (vľavo od rovnosti) sa rovná súčtu čiastkových objemov (vpravo). Zdroj: F. Zapata.

Hranol má objem daný produktom jeho troch rozmerov: šírka x výška x hĺbka. Výsledný objem je takto:

V = a ³ - b ³ = a ² .B + b ³ + ab ²

Faktor b je pravý. Ďalej na obrázku uvedenom vyššie platí, že:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

Preto možno povedať, že: b = a - b. teda:

Tento spôsob vyjadrenia rozdielu kociek bude veľmi užitočný v mnohých aplikáciách a bol by získaný rovnakým spôsobom, aj keby strana chýbajúcej kocky v rohu bola odlišná od b = a / 2.

Všimnite si, že druhé zátvorky sa veľmi podobajú pozoruhodnému súčtu druhej mocniny súčtu, ale krížový člen sa nevynásobí 2. Čitateľ môže rozšíriť pravú stranu, aby overil, či sa skutočne získa ³ - b ³ .

Príklady

Existuje niekoľko rozdielov kociek:

1 - m ⁶

⁶ b ³ - 8Z ¹² a ⁶

(1/125) .x ⁶ - 27r. ⁹

Analyzujme každú z nich. V prvom príklade 1 môže byť napísané ako 1 = 1 ³ a termín m ⁶ sa stáva: (m ² ) ³ . Oba termíny sú dokonalé kocky, preto ich rozdiel je:

1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ³

V druhom príklade sa výrazy prepisujú:

A ⁶ b ³ = (a ² b) ³

8Z ¹² y ⁶ = 2 ³ (z ⁴ ) ³ (y ² ) ³ = (2Z ⁴ y ² ) ³

Rozdiel týchto kociek je: (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³ .

Nakoniec sa frakcia (1/125) je (1/5 ³ ) x ⁶ = (x ² ) ³ , 27 = 3 ^3, a y ⁹ = (y ³ ) ³ . Nahradením toho všetkého v pôvodnom výraze získate:

(1/125) .x ⁶ - 27y ⁹ = ³ - (3y ³ ) ³

Faktoring rozdielu kocky

Faktoring rozdielu kocky zjednodušuje mnoho algebraických operácií. Ak to chcete urobiť, použite vzorec odvodený vyššie:

Obrázok 3. Faktorizovanie rozdielu kociek a vyjadrenie pozoruhodného kvocientu. Zdroj: F. Zapata.

Postup uplatňovania tohto vzorca v súčasnosti pozostáva z troch krokov:

- Najprv sa získa kockový koreň každej z podmienok rozdielu.

- Potom sa skonštruujú binomické a trinomiálne znaky, ktoré sa nachádzajú na pravej strane vzorca.

- Nakoniec sa binomické a trinomiálne nahradia, aby sa získala konečná faktorizácia.

Predstavme si použitie týchto krokov s každým z vyššie uvedených príkladov rozdielov kocky a získame ich ekvivalentný faktor.

Príklad 1

Faktor vyjadrte 1 - m ⁶ podľa opísaných krokov. Začneme prepisovaním výrazu ako 1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ^3, aby sme vyťažili príslušné korene kocky každého výrazu:

Ďalej sú skonštruované binomické a trinomiálne:

a = 1

b = m ²

takže:

a - b = 1 - m ²

(a ² + ab + b ² ) = 1 ² + ¹ m ² + (m ² ) ² = 1 + m ² + m ⁴

Nakoniec je vo vzorci a ³ - b ³ = (ab) (a ² + ab + b ² ) nahradený :

1 - m ⁶ = (1 - m ² ) (1 + m ² + m ⁴ )

Príklad 2

Factoriz:

A ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b) ³ - (2Z ⁴ y ² ) ³

Pretože ide o perfektné kocky, korene kocky sú okamžité: a ² ba 2z ⁴ a ² , z toho vyplýva, že:

- Binomická: a ² b - 2z ⁴ a ²

- Trinomiálne: (a ² b) ² + a ² b. 2z ⁴ y ² + (a ² b + 2z ⁴ y ² ) ²

A teraz sa vytvára požadovaná faktorizácia:

A ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ² ). =

= (A ² b - 2z ⁴ y ² ).

Faktoring je v zásade pripravený, ale často je potrebné každý termín zjednodušiť. Potom sa vyvinie pozoruhodný produkt - štvorec súčtu -, ktorý sa objaví na konci, a potom sa pridajú podobné výrazy. Pamätajte, že druhá mocnina súčtu je:

Pozoruhodný produkt napravo je vyvinutý takto:

(A ² b + 2z ⁴ a ² ) ² = a ⁴ b ² + 4 a ² b.z ⁴ a ² + 4z ⁸ a ⁴

Nahradenie expanzie získanej pri faktorizácii rozdielu kociek:

A ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ² ). =

Nakoniec, zoskupením podobných výrazov a zoskupením číselných koeficientov, ktoré sú všetky párne, získame:

(A ² b - 2z ⁴ y ² ). = 2 (a ² b - 2z ⁴ y ² ).

Príklad 3

Faktoring (1/125) x ⁶ - 27 rokov ⁹ je oveľa ľahší ako v predchádzajúcom prípade. Najprv sa identifikujú ekvivalenty a a b:

a = (1/5) x ²

b = 3y ³

Potom sú priamo substituované vo vzorci:

(1/125) .x ⁶ - 27r ⁹ =.

Cvičenie bolo vyriešené

Ako sme povedali, rozdiel v kockách má v Algebre rôzne aplikácie. Pozrime sa na niektoré z nich:

Cvičenie 1

Vyriešte nasledujúce rovnice:

a) x ⁵ - 125 x ² = 0

b) 64 - 729 x ³ = 0

Riešenie

Najprv je rovnica faktorizovaná takto:

x ² (x ³ - 125) = 0

Pretože 125 je perfektná kocka, zátvorky sa píšu ako rozdiel v kockách:

x ² . (x ³ - 5 ³ ) = 0

Prvým riešením je x = 0, ale zistíme viac, ak urobíme x ³ - 5 ³ = 0, potom:

x ³ = 5 ³ → x = 5

Riešenie b

Ľavá strana rovnice sa prepíše ako 64 - 729 x ³ = 4 ³ - (9x) ³ . teda:

4 ³ - (9x) ³ = 0

Keďže exponent je rovnaký:

9x = 4 → x = 9/4

Cvičenie 2

Faktor výraz:

(x + y) ³ - (x - y) ³

Riešenie

Tento výraz je rozdiel v kockách, ak si vo faktoringovom vzorci všimneme, že:

a = x + y

b = x- y

Najprv sa skonštruuje binomický súbor:

a - b = x + y - (x- y) = 2r

A teraz trojičný:

a ² + ab + b ² = (x + y) ² + (x + y) (xy) + (xy) ²

Vyvíjajú sa významné produkty:

Ďalej musíte nahradiť a obmedziť podobné podmienky:

a ² + ab + b ² = x ² + 2xy + y ² + x ² - y ² + x ² - 2xy + y ² = 3x ² + y ²

Výsledkom faktoringu je:

(x + y) ³ - (x - y) ³ = 2r. (3x ² + y ² )

Referencie

1. Baldor, A. 1974. Algebra. Editorial Cultural Venezolana SA
2. Nadácia CK-12. Súčet a rozdiel kociek. Obnovené z: ck12.org.
3. Khan Academy. Faktoring rozdielov v kockách. Obnovené z: es.khanacademy.org.
4. Matematika je zábava pokročilá. Rozdiel dvoch kociek. Obnovené z: mathsisfun.com
5. UNAM. Faktoring rozdielu kocky. Získané z: dcb.fi-c.unam.mx.