- Príklady
- Faktoring rozdielu kocky
- Príklad 1
- Príklad 2
- Príklad 3
- Cvičenie bolo vyriešené
- Cvičenie 1
- Riešenie
- Riešenie b
- Cvičenie 2
- Riešenie
- Referencie
Rozdiel kociek je binomickej algebraický výraz v podobe A 3 - b 3 , kde výrazy A a B môžu byť reálne čísla alebo algebraické výrazy rôznych typov. Príklad rozdielu v kockách je: 8 - x 3 , pretože 8 možno písať ako 2 3 .
Geometricky môžeme uvažovať o veľkej kocke so stranou a, od ktorej sa odpočíta malá kocka so stranou b, ako je znázornené na obrázku 1:

Obrázok 1. Rozdiel v kockách. Zdroj: F. Zapata.
Objem výslednej figúry je presne rozdiel v kockách:
V = a 3 - b 3
Aby sa našiel alternatívny výraz, pozoruje sa, že tento údaj možno rozložiť na tri hranoly, ako je uvedené nižšie:

Obrázok 2. Rozdiel kociek (vľavo od rovnosti) sa rovná súčtu čiastkových objemov (vpravo). Zdroj: F. Zapata.
Hranol má objem daný produktom jeho troch rozmerov: šírka x výška x hĺbka. Výsledný objem je takto:
V = a 3 - b 3 = a 2 .B + b 3 + ab 2
Faktor b je pravý. Ďalej na obrázku uvedenom vyššie platí, že:
b = (a / 2) ⇒ a = b + b
Preto možno povedať, že: b = a - b. teda:
Tento spôsob vyjadrenia rozdielu kociek bude veľmi užitočný v mnohých aplikáciách a bol by získaný rovnakým spôsobom, aj keby strana chýbajúcej kocky v rohu bola odlišná od b = a / 2.
Všimnite si, že druhé zátvorky sa veľmi podobajú pozoruhodnému súčtu druhej mocniny súčtu, ale krížový člen sa nevynásobí 2. Čitateľ môže rozšíriť pravú stranu, aby overil, či sa skutočne získa 3 - b 3 .
Príklady
Existuje niekoľko rozdielov kociek:
1 - m 6
6 b 3 - 8Z 12 a 6
(1/125) .x 6 - 27r. 9
Analyzujme každú z nich. V prvom príklade 1 môže byť napísané ako 1 = 1 3 a termín m 6 sa stáva: (m 2 ) 3 . Oba termíny sú dokonalé kocky, preto ich rozdiel je:
1 - m 6 = 1 3 - (m 2 ) 3
V druhom príklade sa výrazy prepisujú:
A 6 b 3 = (a 2 b) 3
8Z 12 y 6 = 2 3 (z 4 ) 3 (y 2 ) 3 = (2Z 4 y 2 ) 3
Rozdiel týchto kociek je: (a 2 b) 3 - (2z 4 y 2 ) 3 .
Nakoniec sa frakcia (1/125) je (1/5 3 ) x 6 = (x 2 ) 3 , 27 = 3 3, a y 9 = (y 3 ) 3 . Nahradením toho všetkého v pôvodnom výraze získate:
(1/125) .x 6 - 27y 9 = 3 - (3y 3 ) 3
Faktoring rozdielu kocky
Faktoring rozdielu kocky zjednodušuje mnoho algebraických operácií. Ak to chcete urobiť, použite vzorec odvodený vyššie:

Obrázok 3. Faktorizovanie rozdielu kociek a vyjadrenie pozoruhodného kvocientu. Zdroj: F. Zapata.
Postup uplatňovania tohto vzorca v súčasnosti pozostáva z troch krokov:
- Najprv sa získa kockový koreň každej z podmienok rozdielu.
- Potom sa skonštruujú binomické a trinomiálne znaky, ktoré sa nachádzajú na pravej strane vzorca.
- Nakoniec sa binomické a trinomiálne nahradia, aby sa získala konečná faktorizácia.
Predstavme si použitie týchto krokov s každým z vyššie uvedených príkladov rozdielov kocky a získame ich ekvivalentný faktor.
Príklad 1
Faktor vyjadrte 1 - m 6 podľa opísaných krokov. Začneme prepisovaním výrazu ako 1 - m 6 = 1 3 - (m 2 ) 3, aby sme vyťažili príslušné korene kocky každého výrazu:


Ďalej sú skonštruované binomické a trinomiálne:
a = 1
b = m 2
takže:
a - b = 1 - m 2
(a 2 + ab + b 2 ) = 1 2 + 1 m 2 + (m 2 ) 2 = 1 + m 2 + m 4
Nakoniec je vo vzorci a 3 - b 3 = (ab) (a 2 + ab + b 2 ) nahradený :
1 - m 6 = (1 - m 2 ) (1 + m 2 + m 4 )
Príklad 2
Factoriz:
A 6 b 3 -8z 12 y 6 = (a 2 b) 3 - (2Z 4 y 2 ) 3
Pretože ide o perfektné kocky, korene kocky sú okamžité: a 2 ba 2z 4 a 2 , z toho vyplýva, že:
- Binomická: a 2 b - 2z 4 a 2
- Trinomiálne: (a 2 b) 2 + a 2 b. 2z 4 y 2 + (a 2 b + 2z 4 y 2 ) 2
A teraz sa vytvára požadovaná faktorizácia:
A 6 b 3 -8z 12 y 6 = (a 2 b - 2z 4 y 2 ). =
= (A 2 b - 2z 4 y 2 ).
Faktoring je v zásade pripravený, ale často je potrebné každý termín zjednodušiť. Potom sa vyvinie pozoruhodný produkt - štvorec súčtu -, ktorý sa objaví na konci, a potom sa pridajú podobné výrazy. Pamätajte, že druhá mocnina súčtu je:
Pozoruhodný produkt napravo je vyvinutý takto:
(A 2 b + 2z 4 a 2 ) 2 = a 4 b 2 + 4 a 2 b.z 4 a 2 + 4z 8 a 4
Nahradenie expanzie získanej pri faktorizácii rozdielu kociek:
A 6 b 3 -8z 12 y 6 = (a 2 b - 2z 4 y 2 ). =
Nakoniec, zoskupením podobných výrazov a zoskupením číselných koeficientov, ktoré sú všetky párne, získame:
(A 2 b - 2z 4 y 2 ). = 2 (a 2 b - 2z 4 y 2 ).
Príklad 3
Faktoring (1/125) x 6 - 27 rokov 9 je oveľa ľahší ako v predchádzajúcom prípade. Najprv sa identifikujú ekvivalenty a a b:
a = (1/5) x 2
b = 3y 3
Potom sú priamo substituované vo vzorci:
(1/125) .x 6 - 27r 9 =.
Cvičenie bolo vyriešené
Ako sme povedali, rozdiel v kockách má v Algebre rôzne aplikácie. Pozrime sa na niektoré z nich:
Cvičenie 1
Vyriešte nasledujúce rovnice:
a) x 5 - 125 x 2 = 0
b) 64 - 729 x 3 = 0
Riešenie
Najprv je rovnica faktorizovaná takto:
x 2 (x 3 - 125) = 0
Pretože 125 je perfektná kocka, zátvorky sa píšu ako rozdiel v kockách:
x 2 . (x 3 - 5 3 ) = 0
Prvým riešením je x = 0, ale zistíme viac, ak urobíme x 3 - 5 3 = 0, potom:
x 3 = 5 3 → x = 5
Riešenie b
Ľavá strana rovnice sa prepíše ako 64 - 729 x 3 = 4 3 - (9x) 3 . teda:
4 3 - (9x) 3 = 0
Keďže exponent je rovnaký:
9x = 4 → x = 9/4
Cvičenie 2
Faktor výraz:
(x + y) 3 - (x - y) 3
Riešenie
Tento výraz je rozdiel v kockách, ak si vo faktoringovom vzorci všimneme, že:
a = x + y
b = x- y
Najprv sa skonštruuje binomický súbor:
a - b = x + y - (x- y) = 2r
A teraz trojičný:
a 2 + ab + b 2 = (x + y) 2 + (x + y) (xy) + (xy) 2
Vyvíjajú sa významné produkty:
Ďalej musíte nahradiť a obmedziť podobné podmienky:
a 2 + ab + b 2 = x 2 + 2xy + y 2 + x 2 - y 2 + x 2 - 2xy + y 2 = 3x 2 + y 2
Výsledkom faktoringu je:
(x + y) 3 - (x - y) 3 = 2r. (3x 2 + y 2 )
Referencie
- Baldor, A. 1974. Algebra. Editorial Cultural Venezolana SA
- Nadácia CK-12. Súčet a rozdiel kociek. Obnovené z: ck12.org.
- Khan Academy. Faktoring rozdielov v kockách. Obnovené z: es.khanacademy.org.
- Matematika je zábava pokročilá. Rozdiel dvoch kociek. Obnovené z: mathsisfun.com
- UNAM. Faktoring rozdielu kocky. Získané z: dcb.fi-c.unam.mx.
