PRIEMER: SYMBOLY A VZORCE, AKO HO ZÍSKAŤ, OBVOD - MATEMATIKA - 2026

Priemer je priamka, ktorá prechádza stredom uzavreté ploché krivke, alebo hodnoty v dvoch alebo troch rozmeroch, a že tiež pripojí svoje protiľahlé body. Zvyčajne je to kruh (plochá krivka), kruh (plochý obrázok), guľa alebo pravý kruhový valec (trojrozmerné objekty).

Aj keď sa obvod a kruh obyčajne považujú za synonymá, medzi týmito dvoma pojmami je rozdiel. Obvod je uzavretá krivka, ktorá uzatvára kruh, ktorý spĺňa podmienku, že vzdialenosť medzi ktorýmkoľvek z jeho bodov a stredom je rovnaká. Táto vzdialenosť nie je iná ako polomer obvodu. Namiesto toho je kruh plochý obrazec ohraničený obvodom.

Obrázok 1. Priemer kolies bicykla je dôležitým prvkom ich konštrukcie. Zdroj: Pixabay.

V prípade obvodu, kružnice a gule je priemer rovný segment, ktorý obsahuje najmenej tri body: stred plus dva body okraja obvodu alebo kruhu alebo povrch gule.

A čo sa týka pravého kruhového valca, priemer sa vzťahuje na prierez, ktorý spolu s výškou sú jeho dvoma charakteristickými parametrami.

Priemer obvodu a kružnice, označený ø alebo jednoducho písmenom „D“ alebo „d“, súvisí s jeho obvodom, obrysom alebo dĺžkou, ktorá je označená písmenom L:

L = π.D = π. alebo

Kedykoľvek existuje obvod, kvocient medzi jeho dĺžkou a priemerom je iracionálne číslo π = 3,14159…, týmto spôsobom:

π = L / D

Ako získať priemer?

Ak máte nakreslený obvod alebo kruh alebo priamo kruhový objekt, napríklad mincu alebo prsteň, je ľahké nájsť priemer pomocou pravítka. Musíte sa len uistiť, že hrana pravítka sa súčasne dotýka dvoch bodov na obvode a jeho stredu.

Hmatadlo, posuvné meradlo alebo posuvné meradlo je veľmi vhodné na meranie vonkajšieho a vnútorného priemeru mincí, obručí, krúžkov, orechov, trubíc a ďalších.

Obrázok 2. Digitálny vernier merajúci priemer mince. Zdroj: Pixabay.

Ak namiesto objektu alebo jeho výkresu máme údaje, ako je polomer R, potom vynásobením 2 máme priemer. A ak je známa dĺžka alebo obvod obvodu, je možné zistiť priemer aj zúčtovaním:

Ďalším spôsobom, ako zistiť priemer, je znalosť plochy kruhu, sférického povrchu, prierezu valca, zakrivenej oblasti valca alebo objemov gule alebo valca. Všetko záleží na tom, aký geometrický útvar je. Priemer sa napríklad týka nasledujúcich oblastí a objemov:

- povrch kruhu : π. (D / 2) ²
- oblasť sférického povrchu : 4π. (D / 2) ^{2 -}
objem gule : (4/3) π. (D / 2) ^{3 -}
objem gule pravý kruhový valec : π. (D / 2) ^2. H (H je výška valca)

Čísla s konštantnou šírkou

Kruh je plochý obrázok s konštantnou šírkou, pretože kdekoľvek sa naň pozriete, je šírkou priemer D. Existujú však aj iné, možno menej známe obrázky, ktorých šírka je tiež konštantná.

Najprv sa pozrime na to, čo sa rozumie pod šírkou obrázku: je to vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami - podpornými čiarami -, ktoré sú naopak kolmé na daný smer a ktoré väznia obrázok, ako je to znázornené na ľavom obrázku:

Obrázok 3. Šírka ľubovoľného plochého obrázku (vľavo) a Reuleauxovho trojuholníka, obrázok s konštantnou šírkou (vpravo). Zdroj: F. Zapata.

Vedľa doprava je trojuholník Reuleaux, ktorý je postavou konštantnej šírky a ktorý spĺňa stav uvedený na ľavom obrázku. Ak je šírka obrázku D, jeho obvod je daný Barbierovou vetou:

L = π.D

Kanalizácia mesta San Francisco v Kalifornii má tvar Reuleauxovho trojuholníka, pomenovaného pre nemeckého inžiniera Franza Reuleauxa (1829 - 1905). Týmto spôsobom viečka nemôžu padať cez otvor a na ich výrobu sa používa menej materiálu, pretože ich plocha je menšia ako plocha kruhu:

A = (1- √3) .πD ² = 0.705.D ²

Zatiaľ čo pre kruh:

A = π. (D / 2) ² = (π / 4), D ² = 0,785. D ²

Tento trojuholník však nie je jediný údaj s konštantnou šírkou. Môžete vytvoriť takzvané Reuleauxské polygóny s ostatnými polygónmi, ktoré majú nepárny počet strán.

Priemer obvodu

Na nasledujúcom obrázku sú prvky kruhu definované takto:

Chord : úsečka, ktorá spája dva body na obvode. Na obrázku je akord, ktorý spája body C a D, ale je možné nakresliť nekonečné akordy, ktoré spájajú ľubovoľný pár bodov na obvode.

Priemer : akord prechádza stredom a spája dva body obvodu so stredom O. Je to najdlhší akord obvodu, preto sa nazýva „hlavný akord“.

Polomer : úsečka, ktorá spája stred s ktorýmkoľvek bodom po obvode. Jeho hodnota, rovnako ako priemer, je konštantná.

Obvod : je to množina všetkých bodov vzdialených od O.

Oblúk : je definovaný ako obvodový úsek ohraničený dvoma polomermi (na obrázku nie sú nakreslené).

Obrázok 4. Časti obvodu vrátane priemeru, ktoré prechádzajú stredom. Zdroj: Wikimedia Commons.

- Príklad 1

Zobrazené obdĺžnik je vysoké 10 palcov, ktoré po valcovaní tvoria pravý kruhový valec, ktorého priemer je 5 palcov. Odpovedaj na nasledujúce otázky:

Obrázok 5. Valcovaný obdĺžnik sa stáva pravým kruhovým valcom. Zdroj: Jiménez, R. Matematika II. Geometria a trigonometria. 2 .. Vydanie. Pearson.

a) Aký je obrys trubice?
b) Nájdite plochu obdĺžnika
c) Nájdite plochu prierezu valca.

Riešenie

Obrys trubice je L = π.D = 5π in = 15,71 in.

Riešenie b

Plocha obdĺžnika je základňa x výška, pričom základňa L je už vypočítaná a výška je podľa vyjadrenia 10 palcov:

A = 15,71 v x 10 na = 157,1 v ² .

Riešenie c

Nakoniec sa požadovaná plocha vypočíta takto:

A = π. (D / 2) ² = (π / 4), D ² = (π / 4) x (5 in.) ² = do oblasti 19,63 . ² .

- Príklad 2

Vypočítajte zatienenú plochu na obrázku 5a. Štvorec má stranu L.

Obrázok 6. Nájdite tieňovanú oblasť na ľavom obrázku. Jiménez, R. Matematika II. Geometria a trigonometria. 2 .. Vydanie. Pearson.

Riešenie

Na obrázku 5b boli nakreslené dva polkruhy rovnakej veľkosti v ružovej a modrej farbe, ktoré prekrývajú pôvodný obrázok. Medzi nimi vytvárajú úplný kruh. Ak nájdete oblasť štvorca a odpočítate plochu kruhu, vytvorte na obrázku 5b tieňovanú oblasť. A pozorne sa ukazuje, že je to polovica zo zatienenej oblasti v 5a.

-Čtyřhranná plocha: L ²
-priemer polkruhu: L
-are kruhu :. Π (L / 2) ² = (π / 4), L ²
-Difference plôch = polovica z tieňované plochy =

L ² - (π / 4), L ² = L ² = 0,2146 L ²

-Shaded plocha = 2 x 0,2146 L ² = 0.4292L2

Koľko priemerov má obvod?

Môžete nakresliť nekonečné priemery do kruhu a každý z nich meria to isté.

Referencie

1. Antonio. Reuleauxove trojuholníky a iné krivky s konštantnou šírkou. Obnovené z: divulgators.com.
2. Baldor, A. 2002. Rovinná a priestorová geometria a trigonometria. Kultúrna skupina Patria.
3. Jiménez, R. Matematika II. Geometria a trigonometria. 2 .. Vydanie. Pearson.
4. Wikipedia. Reuleauxov trojuholník. Obnovené z: es.wikipedia.org.
5. Wolfram MathWorld. Priemer. Obnovené z: mathworld.wolfram.com.