Prísada rozklad na kladné celé číslo sa skladá z vyjadrením ako súčet dvoch alebo viacerých kladných celých čísel. Máme teda, že číslo 5 možno vyjadriť ako 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 alebo 5 = 1 + 2 + 2. Každý z týchto spôsobov písania čísla 5 sa nazýva aditívny rozklad.

Ak budeme venovať pozornosť, môžeme vidieť, že výrazy 5 = 2 + 3 a 5 = 3 + 2 predstavujú rovnaké zloženie; obaja majú rovnaké čísla. Avšak len pre lepšiu orientáciu je každý z doplnkov obvykle písaný podľa kritéria od najnižšej po najvyššiu.

Aditívny rozklad

Ako ďalší príklad môžeme vziať číslo 27, ktoré môžeme vyjadriť ako:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Aditívny rozklad je veľmi užitočný nástroj, ktorý nám umožňuje posilniť naše vedomosti o systémoch číslovania.

Kanonický rozklad aditív

Ak máme čísla s viac ako dvoma číslicami, ich konkrétnym spôsobom je rozložiť na násobky 10, 100, 1000, 10 000 atď., Ktoré ich tvoria. Tento spôsob písania ľubovoľného čísla sa nazýva kanonický aditívny rozklad. Napríklad číslo 1456 možno rozložiť nasledovne:

1456 = 1 000 + 400+ 50 + 6

Ak máme číslo 20 846 295, bude jeho kanonickým aditívnym rozkladom:

20 846 295 = 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6 000 + 200 + 90 +5.

Vďaka tomuto rozkladu vidíme, že hodnota danej číslice je daná pozíciou, ktorú zaujíma. Zoberme si napríklad čísla 24 a 42:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Tu vidíme, že v roku 24 majú 2 hodnotu 20 jednotiek a 4 hodnotu 4 jednotky; na druhej strane, v 42 má 4 hodnotu 40 jednotiek a 2 z dvoch jednotiek. Teda, aj keď obe čísla používajú rovnaké číslice, ich hodnoty sú úplne odlišné v dôsledku polohy, ktorú zaujímajú.

aplikácia

Jednou z aplikácií, ktoré môžeme dať aditívnemu rozkladu, sú určité typy dôkazov, v ktorých je veľmi užitočné vidieť kladné celé číslo ako súčet ostatných.

Príklad vety

Zoberme si ako príklad nasledujúcu vetu s jej príslušnými dôkazmi.

- Nech Z je 4-ciferné celé číslo, potom je Z deliteľné 5, ak je jeho zodpovedajúca hodnota jednotkám nula alebo päť.

demonštrácie

Pamätajme, čo je deliteľnosť. Ak máme celé čísla "a" a "b", hovoríme, že "a" delí "b", ak existuje celé číslo "c", takže b = a * c.

Jedna z vlastností deliteľnosti nám hovorí, že ak sú „a“ a „b“ deliteľné „c“, potom je tiež možné deliť „ab“.

Nech Z je 4-ciferné celé číslo; preto môžeme písať Z ako Z = ABCD.

Pomocou rozkladu kanonického aditíva máme:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Je zrejmé, že A * 1000 + B * 100 + C * 10 je deliteľné 5. Z tohto dôvodu je Z deliteľné 5, ak Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) je deliteľné 5.

Ale Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D a D je jednociferné číslo, takže jediný spôsob, ako sa dá deliť 5, je, že bude 0 alebo 5.

Z je preto deliteľné 5, ak D = 0 alebo D = 5.

Všimnite si, že ak Z má n číslic, dôkaz je presne rovnaký, iba sa zmení, že teraz napíšeme Z = A ₁ A ₂ … A _n a cieľom by bolo dokázať, že A _n je nula alebo päť.

priečky

Hovoríme, že oblasť kladného celého čísla je jedným zo spôsobov, ako môžeme napísať číslo ako súčet kladných celých čísel.

Rozdiel medzi rozkladom aditív a oddielom je ten, že zatiaľ čo prvý z nich usiluje, aby sa aspoň mohol rozložiť na dva alebo viac aditív, oddiel nemá toto obmedzenie.

Máme teda nasledujúce:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Vyššie uvedené sú oddiely po 5.

To znamená, že každý aditívny rozklad je oddiel, ale nie každý oddiel je nevyhnutne aditívny rozklad.

V teórii čísel základná veta aritmetiky zaručuje, že každé celé číslo možno jedinečne napísať ako výsledok prvočísel.

Pri štúdiu oblastí je cieľom určiť, koľko spôsobov možno celé číslo napísať ako súčet iných celých čísel. Preto definujeme funkciu oddielu tak, ako je to uvedené nižšie.

definícia

Funkcia oddielu p (n) je definovaná ako počet spôsobov, ako je možné celé číslo n napísať ako súčet kladných celých čísel.

Vrátime sa k príkladu 5 a máme nasledujúce:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Teda p (5) = 7.

grafika

Geometricky môžu byť reprezentované tak oddiely, ako aj aditívne rozklady čísla n. Predpokladajme, že máme aditívny rozklad n. V tomto rozklade môžu byť doplnky usporiadané tak, že členovia sumy sú usporiadaní od najmenšej po najvyššiu. Dobre:

n = a ₁ + a ₂ + a ₃ + … + a _r s

a ₁ ≤ a ₂ ≤ ₃ ≤… ≤ a _r .

Tento rozklad môžeme graficky znázorniť nasledujúcim spôsobom: v prvom riadku označíme _1- bod, potom v ďalšom označíme _2- bod a tak ďalej, až kým nedosiahneme _r .

Zoberme si napríklad číslo 23 a jeho nasledujúci rozklad:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Tento rozklad objednávame a máme:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Jeho zodpovedajúci graf by bol: