POSTUPNÉ DERIVÁTY (S VYRIEŠENÝMI CVIČENIAMI) - MATEMATIKA - 2026

Tieto po sebe nasledujúce deriváty sú odvodené z jednej funkcie po druhej derivácie. Postup na výpočet po sebe idúcich derivátov je nasledujúci: máme funkciu f, ktorú môžeme odvodiť, a teda získať derivačnú funkciu f '. Túto deriváciu f môžeme odvodiť znova a získame (f ')'.

Táto nová funkcia sa nazýva druhá derivácia; všetky deriváty vypočítané z druhej sú za sebou idúce; Tieto, nazývané tiež vyššie poradie, majú vynikajúce aplikácie, ako napríklad poskytovanie informácií o grafe funkcie, testovanie druhého derivátu na relatívne extrémy a určenie nekonečných radov.

definícia

Použitím Leibnizovej notácie máme to, že derivát funkcie "y" vzhľadom na "x" je dy / dx. Aby sme vyjadrili druhú deriváciu y pomocou Leibnizovej notácie, píšeme takto:

Všeobecne môžeme nasledujúce výrazy vyjadriť nasledujúcim Leibnizovým zápisom, kde n predstavuje poradie derivátu.

Ďalšie použité zápisy sú tieto:

Niektoré príklady, kde vidíme rôzne notácie, sú:

Príklad 1

Získajú sa všetky deriváty funkcie f definované:

Použitím obvyklých derivačných techník máme derivát f:

Opakovaním postupu môžeme získať druhý derivát, tretí derivát atď.

Všimnite si, že štvrtý derivát je nula a derivát nula je nula, takže máme:

Príklad 2

Vypočítajte štvrtý derivát nasledujúcej funkcie:

Výsledkom je daná funkcia:

Rýchlosť a zrýchlenie

Jednou z motivácií, ktoré viedli k objavu derivátu, bolo hľadanie definície okamžitej rýchlosti. Formálna definícia je nasledovná:

Nech y = f (t) je funkcia, ktorej graf opisuje trajektóriu častice v čase t, jej rýchlosť v čase t je daná:

Po získaní rýchlosti častice môžeme vypočítať okamžité zrýchlenie, ktoré je definované nasledovne:

Okamžité zrýchlenie častice, ktorej dráha je daná y = f (t), je:

Príklad 1

Častica sa pohybuje pozdĺž línie podľa funkcie polohy:

Kde "y" sa meria v metroch a "t" v sekundách.

- V akom okamihu je jeho rýchlosť 0?

- V akom okamihu je jeho zrýchlenie 0?

Pri odvodzovaní polohovej funkcie «a» máme, že jej rýchlosť a zrýchlenie sú dané:

Na zodpovedanie prvej otázky stačí určiť, kedy sa funkcia v stane nulou; toto je:

Analogickým spôsobom pristupujeme k nasledujúcej otázke:

Príklad 2

Častica sa pohybuje pozdĺž línie podľa nasledujúcej rovnice pohybu:

Stanovte „t, y“ a „v“, keď a = 0.

S vedomím, že rýchlosť a zrýchlenie sú dané

Postupujeme k odvodeniu a získaniu:

Takže a = 0, máme:

Z ktorého môžeme odvodiť, že hodnota t pre a, ktorá sa má rovnať nule, je t = 1.

Po vyhodnotení polohovej a rýchlostnej funkcie pri t = 1 máme:

aplikácia

Explicitné odvodenie

Následné deriváty sa môžu získať aj implicitnou deriváciou.

príklad

Nájdite nasledujúcu elipsu a nájdite písmeno „y“:

Implicitne odvodené s ohľadom na x, máme:

Potom implicitné opätovné odvodenie vzhľadom na x nám poskytne:

Nakoniec máme:

Relatívne extrémy

Ďalšie použitie derivátov druhého rádu je použitie pri výpočte relatívnych extrémov funkcie.

Kritérium prvého derivátu pre lokálne extrémy nám hovorí, že ak máme spojitú funkciu f na intervale (a, b) a existuje c, ktoré patrí do uvedeného intervalu tak, že f 'zmizne v c (to znamená, že c je kritický bod), môže sa vyskytnúť jeden z troch prípadov:

- Ak f´ (x)> 0 pre akékoľvek x patriace do (a, c) a f´ (x) <0 pre x patriace do (c, b), potom f (c) je miestne maximum.

- Ak f´ (x) <0 pre akékoľvek x patriace do (a, c) a f´ (x)> 0 pre x patriace do (c, b), potom f (c) je miestne minimum.

- Ak má f´ (x) rovnaké znamienko (a, c) a (c, b), znamená to, že f (c) nie je miestnym extrémom.

Na základe kritéria druhého derivátu vieme, či kritické číslo funkcie je lokálne maximum alebo minimum, bez toho, aby sme museli vidieť, aké je znamenie funkcie v uvedených intervaloch.

Kritérium druhého posunu hovorí, že ak f´ (c) = 0 a že f´´ (x) je spojité v (a, b), stáva sa, že ak f´´ (c)> 0, potom f (c) je miestne minimum a ak f´´ (c) <0, potom f (c) je miestne maximum.

Ak f´´ (c) = 0, nemôžeme dospieť k záveru.

príklad

Vzhľadom na funkciu f (x) = x ⁴ + (4/3) x ³ - 4x ² nájdite relatívne maximá a minimá f pomocou kritéria druhej derivácie.

Najprv vypočítame f´ (x) a f´´ (x) a máme:

f´ (x) = 4x ³ + 4x ² - 8x

f´´ (x) = 12x ² + 8x - 8

Teraz, f´ (x) = 0 vtedy a iba vtedy, keď 4x (x + 2) (x - 1) = 0, a to sa stane, keď x = 0, x = 1 alebo x = - 2.

Aby bolo možné určiť, či získané kritické čísla sú relatívnymi extrémami, stačí vyhodnotiť v f´´ a teda pozorovať jeho znamenie.

f´´ (0) = - 8, takže f (0) je lokálne maximum.

f´´ (1) = 12, takže f (1) je miestne minimum.

f´´ (- 2) = 24, takže f (- 2) je lokálne minimum.

Taylorova séria

Nech f je funkcia definovaná takto:

Táto funkcia má polomer konvergencie R> 0 a má deriváty všetkých rádov v (-R, R). Následné deriváty f:

Ak x = 0, môžeme získať hodnoty c _n ako funkciu ich derivátov nasledovne:

Ak vezmeme an = 0 ako funkciu f (tj f ^ 0 = f), môžeme túto funkciu prepísať takto:

Teraz uvažujme o funkcii ako sérii mocností na x = a:

Ak vykonáme analýzu analogickú s predchádzajúcou, mali by sme, že môžeme napísať funkciu f ako:

Tieto série sú známe ako Taylorove série od f po a. Keď a = 0, máme konkrétny prípad nazývaný Maclaurínová séria. Tento typ sérií má veľký matematický význam najmä v numerickej analýze, pretože vďaka nim môžeme definovať funkcie v počítačoch ako e ^x , sin (x) a cos (x).

príklad

Získajte sériu Maclaurin pre e ^x .

Všimnite si, že ak f (x) = e ^x , potom f ⁽ⁿ⁾ (x) = e ^x af ⁽ⁿ⁾ (0) = 1, tak jeho séria maklaurínov je:

Referencie

1. Frank Ayres, J. a Mendelson, E. (nd). Výpočet 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Výpočet s analytickou geometriou. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Kalkulácia. Mexiko: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Diferenciálny počet. Prepona.
5. Saenz, J. (nd). Integrálny počet. Prepona.